UDC 711.4 MAZAEV A. G

Métodos y criterios de optimización en la teoría moderna de asentamientos

El artículo analiza el concepto de optimización en la planificación urbana. Se muestra el origen del término "optimización", su conexión con los principales términos en el campo de la metodología de la ciencia y, en particular, la economía. Se muestran las posibilidades de un mayor desarrollo del concepto de optimización en la planificación urbana. Como conclusión, se propone un conjunto de criterios de optimización aplicados al urbanismo.

Palabras clave: optimización en urbanismo, teoría de la optimización, criterios y métodos de optimización, criterio de Pareto.

OPTIMIZACIÓN DE MÉTODOS Y CRITERIOS EN LA TEORÍA MODERNA DEL ACUERDO

En la cláusula se considera el concepto de optimización urbanística. Se muestra el origen del término optimización, su comunicación con los conceptos básicos en el campo de la metodología de una ciencia, la economía. Se examinan las posibilidades del desarrollo del concepto de la optimización en el urbanismo moderno. Se propone el conjunto de criterios de optimización que es posible en la actividad urbanística moderna.

Palabras clave: optimización en urbanismo, teoría de la optimización, oriteria y métodos de optimización, criterio de Pareto.

Mazaev Anton

Grigorievich

Doctor en Arquitectura, Asesor de RAASN, Jefe. laboratorio de la Rama de la Institución Presupuestaria del Estado Federal "TsNIIP del Ministerio de Construcción de Rusia" UralNIIproekt

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El propósito de este artículo es presentar una consideración teórica del concepto de "optimización" en relación con los objetos de desarrollo urbano: ciudades y sistemas de asentamiento. La optimización del asentamiento de una gran región de Rusia en el ejemplo del Distrito Federal de los Urales es el tema de la investigación realizada por el autor. La relevancia de este tema está asociada a la urgente cuestión de agilizar el desarrollo de los sistemas regionales de asentamiento del Sistema Nacional de Rusia, cuyo desarrollo ha adquirido un carácter incontrolable y no equilibrado. La metodología para el desarrollo del tema se basa en la teoría actualmente formada del desarrollo geopolítico de los asentamientos.

Concepto de optimización en la ciencia moderna

Es necesario aclarar el concepto de optimización en la teoría de la ciencia, y luego dar su definición en relación con la teoría del asentamiento. Inicialmente, el término "optimización" se originó en matemáticas: "Optimización - en matemáticas, informática e investigación de operaciones, el problema de encontrar un extremo (mínimo o máximo) de una función objetivo en una determinada región de un espacio vectorial de dimensión finita, limitado por un conjunto de igualdades y / o desigualdades lineales y / o no lineales. Se estudia la teoría y los métodos para resolver el problema de optimización.

programación matemática ... (It) trata con métodos matemáticos para resolver problemas de encontrar las mejores opciones posibles ". La Gran Enciclopedia Soviética especifica: “La optimización es el proceso de encontrar el extremo (máximo o mínimo global) de una determinada función o elegir la mejor opción (óptima) entre muchas posibles. La forma más confiable de encontrar la mejor opción es comparar todas las opciones (alternativas) posibles ”. En otras palabras, puede haber muchos criterios de optimización en relación con un mismo fenómeno, sistema. Puede optimizar cualquier cosa y una cantidad significativa de criterios de optimización. Además, estos criterios pueden estar en conflicto entre sí, y para la optimización es necesario decidir sobre ellos, de lo contrario, la solución al problema de optimización resultará incorrecta, es decir, falsa, peligrosa e ineficaz. Las fuentes interpretan de diferentes maneras el contenido de la optimización, basándose en las metas y objetivos de una disciplina científica en particular. Por ejemplo, el diccionario de economía interpreta este concepto de la siguiente manera: “La optimización es la determinación de los valores de los indicadores económicos en los que se alcanza el óptimo, es decir, el óptimo, mejor estado del sistema. Muy a menudo, el óptimo corresponde al logro del resultado más alto con el consumo de recursos dado.

o lograr un resultado dado con costos mínimos de recursos ”. En otras palabras, la optimización está asociada con los costos de los recursos y la eficiencia de su uso.

Concepto de optimización en teoría económica

Es en economía donde las cuestiones de optimización se plantean con mayor frecuencia como un problema científico y práctico urgente. En el marco de las teorías económicas, se ha desarrollado una teoría de optimización desarrollada, y la economía y la teoría del asentamiento tienen un objeto de estudio similar: la sociedad en su conjunto, sus necesidades económicas, con la diferencia de que la teoría del asentamiento se ocupa de la aspecto espacial de la vida humana.

Los economistas dan una gran cantidad de definiciones de optimizaciones, que pueden extenderse a cuestiones de la teoría del asentamiento. "La optimización es la maximización del bienestar económico de la sociedad en relación con los objetivos macroeconómicos". De esto podemos deducir la comprensión de la optimización como un aumento de un determinado recurso, que se identifica con el bien. En este caso, estamos hablando del bienestar económico como beneficio clave, y la optimización está asociada a la consecución no de un valor óptimo o de un conjunto de valores, sino a un aumento ilimitado de este beneficio.

La definición más amplia y profunda de optimización la dio en su tiempo V. Pareto: "... Cualquier cambio que no perjudique a nadie y que beneficie a algunas personas (según su propia valoración) es una mejora". Este criterio tiene un significado muy amplio: se utiliza cuando se resuelven problemas cuando la optimización significa mejorar algunos indicadores, siempre que otros no se deterioren, así como cuando se implementa un enfoque compositivo para la construcción de un plan para el desarrollo de un sistema económico, teniendo en cuenta en cuenta los intereses de sus subsistemas constituyentes (grupos de objetos económicos). La definición anterior se puede formalizar con el siguiente enunciado: el estado de la economía S * se considera mejor, según V. Pareto, que otro estado B1, si al menos una entidad económica prefiere S *, y todos los demás, al menos , no distingue entre estos estados, pero al mismo tiempo no hay nadie que prefiera 81; según V. Pareto, el estado 8 * es indiferente al estado B1, si todos los sujetos económicos no distinguen entre ellos; finalmente, es óptimo si no existe un estado aceptable de la economía que sea mejor que ese. El criterio de optimización de Pareto es de gran importancia metodológica, ya que permite comprender qué cambio en el sistema económico se puede llamar positivo, es decir, orientado a su mejora general, y cuál no. El crecimiento del bienestar económico de unas entidades a expensas de otras no puede reconocerse como positivo según este criterio. La Figura 1 muestra el efecto del criterio B de Pareto en forma de gráfico, muestra el área de "valores aceptables", que proporcionan una mejora en al menos un indicador, sin llevar al deterioro del resto.

Creemos que es imposible dar una única definición detallada de optimización para todos los tipos de actividad humana debido a su naturaleza fundamentalmente diferente. La investigación sobre problemas de optimización se ha desarrollado significativamente en la URSS debido a la naturaleza planificada de su economía. Los problemas de optimización de la economía ocuparon a los científicos soviéticos hasta la transición a una economía de mercado. Además, la gravedad del problema

Figura 1. Optimidad según V. Pareto

La optimización de la economía no disminuyó debido al rápido crecimiento de la gama de productos manufacturados, la ubicación de un número significativo de industrias en un gran territorio, como resultado, un gran volumen de tráfico de mercancías. Los científicos occidentales se enfrentaron a cuestiones similares, especialmente durante la Segunda Guerra Mundial, cuando surgió la necesidad de un control centralizado similar de grandes volúmenes de tropas, equipo y equipo. Durante las últimas décadas, se han desarrollado muchas técnicas de optimización teóricas y aplicadas, que se presentan de forma sistemática en la Figura 2.

Concepto de optimización en la ciencia de la planificación urbana.

Este concepto se utilizó en la planificación urbana en el período soviético en varios sentidos. En primer lugar, se asoció con el concepto de optimización económica, al servicio de los intereses económicos. La planificación urbana se entendió como una de las herramientas de optimización, cuya tarea es conciliar los intereses del complejo industrial con los intereses de la población. Surgieron varios conceptos de optimización, el más importante de los cuales debe atribuirse al concepto de GSNM - sistemas de grupos de áreas pobladas. Fue un intento de optimizar el asentamiento mediante la reducción multifactorial de sus desventajas: el aislamiento de la población rural de los lugares de empleo y los centros culturales, la expansión urbana excesiva, que crea una enorme carga en la biosfera.

La implementación del concepto GSNM se llevó a cabo en el marco del Esquema General de Asentamiento de la URSS, desarrollado en la década de 1970. Se suponía que la creación del GSNM optimizaría el proceso de aglomeración de ciudades grandes y medianas, que había ganado en ese momento. En lugar de una "fusión" arbitraria de asentamientos, debería haberse creado su organización jerárquica. Otra consecuencia de la optimización en el planeamiento urbanístico

Figura 2. Métodos básicos para resolver problemas de optimización. Generalización sistemática de sus diversas técnicas.

Fue la aclaración de la pregunta sobre el llamado "tamaño óptimo" de las ciudades. Se entendió que dado que hay una sobrepoblación excesiva de algunas ciudades, es decir, su valor óptimo, que puede ser calculado por la ciencia urbanística. “... El concepto de una ciudad“ óptima ”siguió siendo uno de los elementos más esenciales de la política de planificación urbana soviética. No cabía duda de que existía tal óptimo. Los desacuerdos comenzaron al intentar determinar qué población debería considerarse óptima. En la década de 1920. La población de 50.000 parecía óptima. Fue suficiente para mostrar los beneficios de las economías de escala y la infraestructura urbana, pero no tan grande como para destruir el sentido de comunidad y la ética comunal socialista. A mediados de la década de 1950. las estimaciones del óptimo fluctuaban entre 150 mil y 200 mil, y para 1960 ya habían saltado a 250-300 mil personas, y la propia legitimidad de este concepto. ha sido cuestionado ". La disputa resultó ser escolástica, porque la optimalidad del tamaño de la ciudad no depende del peso absoluto de la ciudad.

el disfraz del tamaño de su población, y de la posición económica y geográfica en el sistema de asentamiento. En otras palabras, no es el tamaño absoluto sino el relativo de la ciudad lo que importa, que es diferente en cada caso específico.

La cuestión de este tamaño óptimo de la ciudad se agudizó de una manera nueva en las décadas de 1960 y 1970, cuando el número de ciudades grandes y grandes comenzó a crecer en la URSS y sus deficiencias se hicieron evidentes. Un artículo con el característico título “Tamaño máximo de ciudad” (1970) decía: “Desde el punto de vista de la economía urbana, las ciudades más económicas son aquellas en las que la suma de inversiones de capital y costos operativos por habitante es menor. Tanto las ciudades demasiado pequeñas como las ciudades gigantes resultan antieconómicas. En la construcción urbana se manifiesta un principio común a todos los ámbitos de la economía, según el cual una gran unidad económica es más eficiente que una pequeña. En las ciudades pequeñas con una población de hasta 20 mil habitantes, es necesario crear pequeñas empresas de servicios públicos y hogares de baja productividad. A medida que las ciudades crecen, se vuelven más económicas.<.>Con un mayor crecimiento de la población, la situación empeora,<.>imposible

para asegurar el funcionamiento normal de la ciudad sin ingeniería y construcción técnica a gran escala y sin los tipos de transporte que antes no eran necesarios ".

Los autores del artículo creen que lograron encontrar una respuesta al problema de optimización: “Sopesando todos los pros y los contras, en muchos países, incluida la URSS, urbanistas y economistas llegaron a la conclusión de que en la actualidad es necesario limitar el crecimiento de ciudades con un millón de habitantes, estimulando el desarrollo de ciudades medianas (cursiva nuestra - AM) ".

Vemos que una ciudad mediana con una población de 50 mil a 100 mil habitantes es reconocida como óptima. V.I. Perevedentsev no está de acuerdo con esta conclusión, que ve la solución del problema nuevamente en el ámbito de la economía, pero más profundamente. Demuestra el carácter no lineal de las dependencias de la eficiencia económica del tamaño de la ciudad: “Una ciudad no es solo casas donde vive la gente, sino también fábricas donde trabaja. ¿El tamaño de una ciudad tiene un impacto en la productividad laboral? Sí, lo hace. Una gran ciudad es rentable en términos de producción. Estos son los beneficios de compartir

instalaciones de energía, transporte, abastecimiento de agua y alcantarillado. Esta es la provisión de mano de obra calificada ... La concentración territorial de la industria aumenta la productividad laboral. Por lo tanto, la propia gran ciudad crea las condiciones previas para una mayor concentración de la producción ". Además, el autor señala que el "mantenimiento" de una persona en una ciudad muy grande es más caro que el promedio, pero el rendimiento de una persona en esa ciudad, en su opinión, es mayor. Él señala: “La comprensión actualmente aceptada del tamaño óptimo de una ciudad, en mi opinión, es fundamental y metodológicamente errónea. Si tenemos en cuenta no solo el consumo, sino también la producción, entonces la ciudad óptima no será la ciudad en la que el mantenimiento de una persona sea más económico, sino aquella en la que se diferencie lo que una persona da y lo que se gasta en ella. será el más grande ”[Ibid]. El resultado es un modelo de costo-costo para un residente de una ciudad determinada, que muestra que el crecimiento de la eficiencia económica puede ser de muy largo plazo a medida que crece el tamaño de la ciudad, ya que debido al efecto cooperativo, la productividad laboral puede crecer dentro de amplios límites. En otras palabras, el tamaño óptimo de una ciudad puede ser tan grande como se desee, si continúa la tendencia hacia un aumento en los rendimientos económicos de cada individuo.

Al mismo tiempo, el autor crea el concepto de optimalidad del tamaño de la ciudad. Desde su punto de vista, la optimalidad del tamaño de una ciudad está determinada generalmente por el criterio de cumplimiento del tamaño de la ciudad con sus valores preplanificados. “... La mayoría de los inconvenientes de una gran ciudad no están relacionados con su tamaño en sí, sino con errores de planificación urbana. Se trata de errores en la previsión del crecimiento de la ciudad, la discrepancia entre el "equipamiento" de la ciudad y su tamaño, errores puramente de planificación y, finalmente, un enfoque estrictamente económico del sector de servicios. A menudo, la construcción está planeada para medio millón de habitantes y la ciudad crece a un millón. Al mismo tiempo, todas las comunicaciones, todos los servicios públicos, la estructura de la ciudad y su diseño siguen siendo básicamente los mismos que se planearon en el proyecto inicial ". De hecho, esta declaración cierra la discusión sobre el tamaño óptimo de la ciudad: se reconoce la ciudad óptima, cuyo desarrollo corresponde a su propio plan maestro.

Hay que decir que es muy difícil encontrar las ciudades óptimas según este criterio, porque, como muestran numerosos estudios, las disposiciones clave de los planes directores casi nunca se han cumplido. Resulta que las ciudades rusas están crónicamente en un estado "no optimizado".

Como conclusión de esta discusión, vale la pena citar la queja sintomática de V.I. en 1959 había de 400 a 600 mil personas, más del 35 por ciento. De acuerdo con las opiniones predominantes en nuestra planificación urbana, las ciudades con una población de 50 a 200 mil personas se consideran óptimas, permisibles, hasta 400 mil. Esto significa que las ciudades de más rápido crecimiento fueron aquellas que fueron más allá de lo "permisible". Las ciudades "óptimas" también crecieron rápidamente, volviéndose subóptimas (cursiva nuestra - AM) ".

Desde nuestro punto de vista, esta discusión es muy fructífera desde el punto de vista científico, aunque sus resultados prácticos resultaron ser negativos, ya que nunca se encontró el tamaño óptimo de la ciudad. Sin embargo, puede aislar su resultado teórico:

1 El concepto de optimización de la ciudad en términos de un parámetro clave, el tamaño de la población, no ha recibido una confirmación teórica y práctica adecuada. No fue posible formular y justificar claramente ese valor. No se ha creado una metodología que guíe eficazmente el desarrollo de las ciudades hacia valores óptimos.

2 La cuestión de si existe tal valor óptimo en principio permanece abierta y aún no resuelta. Para resolverlo se requieren nuevos enfoques metodológicos, los cuales se configuran en el marco de la investigación en curso sobre la optimización del sistema de asentamiento del Distrito Federal Ural.

3 Ha surgido una nueva comprensión del concepto de tamaño óptimo de una ciudad, una especie de valor no absoluto, sino relativo, que no está asociado con indicadores absolutos, sino relativos. Además, se propone considerar la correspondencia del tamaño de la ciudad con sus parámetros especificados en el plan general como el indicador más claro.

4 Los autores del concepto de optimización de la ciudad simplemente abordaron su pregunta a un nivel que no era adecuado al problema. Nos parece que la forma más probable de resolverlo no es la optimización de una ciudad separada, sino del sistema de asentamiento, regional y nacional. Esto se debe al hecho de que cualquier ciudad existe solo como un elemento de un sistema de nivel superior, es decir, un sistema de asentamiento, y optimizarlo aisladamente de este sistema parece ser una tarea poco factible. La escala real a la que es posible la formulación y solución del problema de optimización es la escala del sistema de liquidación. Determinar el tamaño y el nivel de este sistema es un desafío teórico adicional.

Tipos de tareas de optimización en urbanismo

Fue posible señalar varios criterios clave mediante los cuales es necesario evaluar el problema de la optimización del asentamiento. La combinación de estos criterios es una especie de matriz que debe revelar la esencia del problema de optimización de los sistemas de liquidación.

1 Por la presencia o ausencia de un límite al crecimiento del recurso optimizado. Para algunos problemas de optimización, es posible un crecimiento teóricamente ilimitado del indicador que debe optimizarse. O, por el contrario, hay un cierto nivel final, después del cual el crecimiento del indicador se vuelve imposible. En nuestro caso, creemos preliminarmente que el problema de la optimización del asentamiento pertenece a la primera opción, ya que el aumento en el indicador de optimización está asociado con el tamaño de la población, y este indicador teóricamente puede crecer indefinidamente.

2 Por la presencia de un óptimo o varios óptimos (conjunto óptimo). Dependiendo del tipo de problema, puede tener un óptimo o un conjunto de óptimos. En nuestro caso, podemos describir preliminarmente que el problema tiene varios óptimos debido al hecho de que son posibles varias opciones para optimizar la distribución en una superficie plana delimitada.

3 Según el cumplimiento del criterio de Pareto (un aumento en el parámetro de optimización para algunos elementos no va debido a una disminución del mismo para otros elementos). En esta situación, debe responder la pregunta: ¿es posible aumentar el nivel de

mización de algunos elementos del sistema de asentamiento, nunca rebajándolo en otros. La práctica de la planificación urbana muestra que el desarrollo de un gran sistema de asentamientos con el cumplimiento del criterio de Pareto parece imposible. El desarrollo de los elementos del sistema de asentamiento se produce, entre otras cosas, debido al desbordamiento de la población a lo largo de la jerarquía de asentamientos (por regla general, desde el nivel inferior al superior).

4 ¿Cuántos criterios se deben utilizar para la optimización? Uno o varios. Si la optimización debe ser de varios criterios o de un solo criterio es el mayor problema teórico. Para solucionarlo, es necesario involucrar el aparato metodológico ya desarrollado: en primer lugar, es necesario señalar que a nivel macro la actividad vital de la sociedad se forma como resultado de la interacción de sus tres subsistemas principales. En el orden de aparición, se pueden enumerar en el siguiente orden:

1) Subsistema natural y ecológico.

2) Subsistema sociodemográfico.

3) El subsistema económico.

En el curso del desarrollo histórico, estos subsistemas se han generado constantemente entre sí. El subsistema natural-ecológico, que originalmente existió durante un tiempo inconmensurablemente más largo que el hombre mismo, lo dio a luz en el curso de su desarrollo evolutivo. La principal dirección de la actividad humana como ser racional fue el deseo de asegurar su supervivencia y desarrollo a través del uso más eficiente de los recursos naturales y, al mismo tiempo, esforzarse por minimizar su dependencia de los desastres naturales. Debido a este deseo, el subsistema sociodemográfico creado por el hombre ha adquirido una autonomía significativa en relación con el subsistema natural-ecológico. Entre ellos, comenzaron a formarse vínculos directos y de retroalimentación y se desarrollaron contradicciones. Para superarlos, una persona ha creado un subsistema económico que le permite a una persona aumentar dramáticamente el volumen de bienes producidos y consumidos y así consolida su separación del subsistema natural-ecológico. Cabe señalar que el tema en este sistema, por supuesto, es un desarrollo social

un subsistema geográfico, que es una colección de individuos humanos unidos en varias comunidades de acuerdo con características étnicas, raciales, religiosas y otras. A lo largo de su historia, la humanidad ha vivido y desarrollado en este triángulo de fuerzas: naturaleza - sociedad - economía.

Como puede ver, hay tres criterios por los cuales puede optimizar el sistema de asentamiento, dependiendo de la prioridad de desarrollo que elija la sociedad. Al mismo tiempo, en el marco de un estudio anterior, se planteó la siguiente afirmación: el sistema de asentamiento territorial, en nuestra opinión, es un elemento que aglutina los tres subsistemas del desarrollo de la sociedad humana. Esto sucede por varias razones.

En primer lugar, porque la humanidad en su conjunto y cualquier comunidad humana, en particular, surge y se desarrolla en un territorio formado evolutivamente (principalmente tierra), que es, en primer lugar, un espacio de biosfera, una zona adecuada para la existencia de especies biológicas. Así, la creación de cualquier asentamiento humano ocurre siempre, en primer lugar, por el rechazo y uso del territorio perteneciente a la biosfera. El subsistema ecológico natural también desempeña una función muy importante de limitar el desarrollo de otros subsistemas y establece las características específicas de su desarrollo en determinadas condiciones.

En segundo lugar, el desarrollo del sistema de asentamiento territorial es un reflejo directo de las actividades del subsistema sociodemográfico. El sistema territorial de asentamiento refleja de forma concentrada los rasgos específicos de la sociedad, su historia y presente, el nivel de desarrollo alcanzado por ella y la estructura demográfica. Estas características se manifiestan espacialmente a través de indicadores tales como el número y la densidad de la población, la proporción y distribución de la población rural y urbana, la dirección e intensidad de los flujos migratorios.

En tercer lugar, el subsistema económico, al ser un derivado del subsistema sociodemográfico, es su continuación espacial directa, desempeñando varias funciones básicas en términos espaciales. Esta es la provisión de la producción necesaria

procesos de gestión, organización de enlaces de transporte entre asentamientos, extracción de los recursos naturales necesarios. El subsistema económico, como el subsistema sociodemográfico que le dio origen, sólo puede existir y desarrollarse en el marco del subsistema natural-ecológico. Su desarrollo reduce aún más el espacio del sistema natural-ecológico, tanto directamente por sus objetos materiales ubicados en el espacio, como por las consecuencias de su actividad. El sistema de asentamiento territorial es un elemento de conexión de todos los subsistemas de la sociedad humana, y en esta capacidad es su síntesis. Fuera y sin un sistema de asentamiento territorial, estos subsistemas simplemente no pueden existir.

Por tanto, estamos ante una situación ambigua. Por un lado, existen tres criterios para optimizar el asentamiento: ecológico, social y económico. Al mismo tiempo, se introduce en el estudio como clave un criterio de optimalidad completamente nuevo, el geopolítico. Se da el concepto primario de este criterio de optimización, su contenido se divulga de la siguiente manera: el nivel más adecuado de consideración del desarrollo de los sistemas de asentamiento territorial es el nivel nacional. Y la unidad real del sistema de asentamiento territorial es el sistema de asentamiento nacional. Son los límites estatales los que son los límites claros y justificados del sistema de asentamiento.

En este sentido, se plantea la pregunta: ¿qué papel juega el sistema de asentamiento nacional en el funcionamiento del Estado, y no en general de alguna comunidad humana abstracta? En nuestra opinión, el objetivo principal de la existencia y funcionamiento del sistema de asentamiento territorial nacional es asegurar el control más efectivo y de largo plazo sobre el territorio nacional del estado existente y la nación que lo habita. El sistema de asentamiento territorial es una especie de "estructura de dominación" que asegura el desarrollo más eficiente del territorio y los recursos disponibles en él, asegurando la mayor eficiencia

desarrollo de esta sociedad nacional particular en su conjunto y sus miembros individuales. Y además de esto, asegurar la mayor estabilidad de la nación frente a posibles influencias externas adversas. El cumplimiento o incumplimiento de este criterio principal de control espacial efectivo es clave para evaluar la calidad del sistema de asentamiento territorial.

Conclusión

Por lo tanto, teóricamente tenemos hasta cuatro opciones para responder a la pregunta planteada sobre cuál debería ser la naturaleza de la optimización en la planificación urbana:

1 La optimización es posible de acuerdo con cualquiera de los tres parámetros separados: ecológico, social o económico, que en realidad se intentó realizar en el período soviético dentro del marco del sistema de planificación distrital, cuando se asumió que era posible lograr la optimización del sistema de asentamiento según el parámetro económico, en su comprensión socialista.

2 La optimización es posible (al menos teóricamente) para los tres parámetros separados simultáneamente, suavizando las contradicciones que existen entre ellos. En su esencia, dicha optimización está cerca del concepto de desarrollo sostenible, que se basa en el deseo de equilibrar las necesidades socioeconómicas de la sociedad y las posibilidades ambientales de garantizarlas.

3 Optimización según el parámetro geopolítico, al asegurar el control más efectivo y duradero sobre el territorio nacional del estado existente y la nación que lo habita se convierte en la piedra angular. Este tipo de optimización corresponde a la metodología de este estudio y parece ser la más prometedora.

4 Optimización por los cuatro parámetros a la vez, cuando se logra la optimización simultánea de los parámetros ecológicos, sociales, económicos y geopolíticos. Este tipo de optimización se puede llamar superoptimización, cuando todos los parámetros se optimizan simultáneamente. El logro de tal estado parece muy dudoso, pero debe tenerse en cuenta.

como el resultado final perfecto.

Lista de literatura usada

1 Shuper V.A. abierto un-t. M., 1995.

2 Pokshishevsky V.V. Asentamiento de Siberia. Ensayos históricos y geográficos. M., 1951.

3 Brazovskaya N. V. Métodos de optimización: libro de texto. subsidio / estado de Altai. tecnología un-t ellos. II Polzunova [Distancia al centro. aprendiendo]. Barnaul, 2000.

4 Gran enciclopedia soviética. 3ª ed. M., 1975, T. 19.

5 Raizberg BA, Lozovsky L. Sh., Starodubtseva EB Diccionario económico moderno. 2da ed., Rev. M., 1999.

6 Economía: Diccionario explicativo. M., 2000.

7 Perevedentsev V.I., Métodos de estudio de la migración de la población, M., 1975.

8 Dubrovsky P.N. El tamaño máximo de la ciudad // Ciencia y tecnología. 1970. No. 6.

9 Mazaev A.G. El sistema de asentamiento territorial nacional como factor de control: enfoque geopolítico // Boletín Académico UralNIIproekt RAASN. 2008. No. 1. S. 32-37.

10 Mazaev A.G. Formación y desarrollo del sistema de asentamiento de los Urales (siglos XVII-XIX): etapas y características geopolíticas // Boletín académico UralNIIproekt RAASN. 2014 No 1.P.10.

11 Mazaev A.G. Análisis del desarrollo de la estructura del sistema de asentamiento de los Urales (finales de los siglos XIV - XX) por el método de medias móviles // Boletín Académico UralNIIproekt RAASN. 2014 No 3.P.34.

Parámetros para una estructura de objeto dada, entonces se llama optimización paramétrica... El problema de elegir la estructura óptima es optimización estructural.

El problema estándar de optimización matemática se formula de esta manera. Entre los elementos χ que forman el conjunto Χ, encuentre un elemento χ * que proporcione el valor mínimo f (χ *) de una función dada f (χ). Para formular correctamente el problema de optimización, es necesario configurar:

1. Conjunto admisible- un montón de $\backslash \; mathbb\; (X)\; =\; \backslash \; (\backslash \; vec\; (x)\; |\; \backslash ;\; g\_i\; (\backslash \; vec\; (x))\; \backslash \; leq\; 0,\; \backslash ;\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; m\; \backslash )\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; mathbb\; (R)\; ^\; n$;
2. Función objetiva- monitor $f:\; \backslash ;\; \backslash \; mathbb\; (X)\; \backslash \; a\; \backslash \; mathbb\; (R)$;
3. Criterio de búsqueda(máximo o mínimo).

Entonces resuelve el problema $f\; (x)\; \backslash \; a\; \backslash \; min\; \_\; (\backslash \; vec\; (x)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; (X))$ significa uno de:

1. Mostrar que $\backslash \; mathbb\; (X)\; =\; \backslash \; varnothing$.
2. Demuestre que la función objetivo $f\; (\backslash \; vec\; (x))$ no limitado desde abajo.
3. Encontrar $\backslash \; vec\; (x)\; ^\; *\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; (X):\; \backslash ;\; f\; (\backslash \; vec\; (x)\; ^\; *)\; =\; \backslash \; min\; \_\; (\backslash \; vec\; (x)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; (X))\; f\; (\backslash \; vec\; (\; x))$.
4. Si $\backslash \; nexists\; \backslash \; vec\; (x)\; ^\; *$ entonces busca $\backslash \; inf\; \_\; (\backslash \; vec\; (x)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; (X))\; f\; (\backslash \; vec\; (x))$.

Si la función a minimizar no es convexa, a menudo se limita a la búsqueda de mínimos y máximos locales: puntos $x\_0$ tal que en todas partes en algunos de sus vecindarios $f\; (x)\; \backslash \; ge\; f\; (x\_0)$ por el mínimo y $f\; (x)\; \backslash \; le\; f\; (x\_0)$ para el máximo.

Si el conjunto admisible $\backslash \; mathbb\; (X)\; =\; \backslash \; mathbb\; (R)\; ^\; n$, entonces ese problema se llama problema de optimización sin restricciones, de lo contrario - problema de optimización condicional.

Clasificación de métodos de optimización

El registro general de problemas de optimización especifica una amplia variedad de sus clases. La selección del método (la eficiencia de su solución) depende de la clase del problema. La clasificación de problemas viene determinada por: la función objetivo y el área admisible (establecida por un sistema de desigualdades e igualdades o un algoritmo más complejo).

Los métodos de optimización se clasifican según las tareas de optimización:

• Métodos locales: convergen a algún extremo local de la función objetivo. En el caso de una función objetivo unimodal, este extremo es único y será el máximo / mínimo global.
• Métodos globales: se ocupan de funciones de destino de múltiples extremos. En una búsqueda global, la tarea principal es identificar tendencias en el comportamiento global de la función objetivo.

Los métodos de búsqueda que existen actualmente se pueden dividir en tres grandes grupos:

1. determinista
2. aleatorio (estocástico);
3. conjunto.

Según el criterio de la dimensión del conjunto admisible, los métodos de optimización se dividen en métodos optimización unidimensional y métodos optimización multidimensional.

Por el tipo de función objetivo y el conjunto factible, los problemas de optimización y los métodos para su solución se pueden dividir en las siguientes clases:

• Problemas de optimización en los que el objetivo funciona $f\; (\backslash \; vec\; (x))$ y restricciones $g\_i\; (\backslash \; vec\; (x)),\; \backslash ;\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; m$ son funciones lineales, resueltas por los llamados métodos programación lineal.
• De lo contrario, ocúpate de la tarea programación no lineal y aplicar métodos apropiados. A su vez, se distinguen dos tareas particulares de ellas:
  • si $f\; (\backslash \; vec\; (x))$ y $g\_i\; (\backslash \; vec\; (x)),\; \backslash ;\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; m$ son funciones convexas, entonces ese problema se llama problema programación convexa;
  • si $\backslash \; mathbb\; (X)\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; mathbb\; (Z)$, entonces estamos lidiando con el problema programación entera (discreta).

De acuerdo con los requisitos de suavidad y la presencia de derivadas parciales en la función objetivo, también se pueden dividir en:

• métodos directos que requieren únicamente cálculos de la función objetivo en los puntos de aproximación;
• métodos de primer orden: requieren el cálculo de las primeras derivadas parciales de la función;
• métodos de segundo orden: requieren el cálculo de las segundas derivadas parciales, es decir, el hessiano de la función objetivo.

Además, los métodos de optimización se dividen en los siguientes grupos:

• métodos analíticos (por ejemplo, el método del multiplicador de Lagrange y las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker);

Dependiendo de la naturaleza del conjunto X Las tareas de programación matemática se clasifican en:

• problemas de programación discreta (u optimización combinatoria) - si X por supuesto o contable;
• problemas de programación de enteros - si X es un subconjunto del conjunto de números enteros;
• problemas de programación no lineal si las restricciones o la función objetivo contienen funciones no lineales y X es un subconjunto de un espacio vectorial de dimensión finita.
• Si todas las restricciones y la función objetivo contienen solo funciones lineales, entonces este es un problema de programación lineal.

Además, las secciones de programación matemática son programación paramétrica, programación dinámica y programación estocástica.

La programación matemática se utiliza para resolver problemas de optimización de la investigación de operaciones.

La forma de encontrar el extremo está completamente determinada por la clase del problema. Pero antes de obtener un modelo matemático, debe realizar 4 etapas de modelado:

• Determinación de los límites del sistema de optimización.
  • Descartamos aquellas conexiones del objeto de optimización con el mundo exterior que no pueden afectar mucho el resultado de la optimización, o, más precisamente, aquellas sin las cuales se simplifica la solución.
• Seleccionar variables controladas
  • "Congelamos" los valores de algunas variables (variables no administradas). Los demás se dejan tomar cualquier valor del rango de decisiones factibles (variables controladas)
• Definición de restricciones en variables controladas
  • ... (igualdad y / o desigualdad)
• Elegir un criterio de optimización numérico (por ejemplo, un indicador de rendimiento)
  • Crea una función objetivo

Historia

Kantorovich, junto con M.K. Gavurin, desarrolló un método potencial en 1949, que se utiliza para resolver problemas de transporte. En los trabajos posteriores de Kantorovich, Nemchinov, V.V. Novozhilov, A.L. Lur'e, A. Brudno, Aganbegyan, D. B. Yudin, E. G. Golshtein y otros matemáticos y economistas, se desarrollaron aún más como una teoría matemática de la programación lineal y no lineal, y el Aplicación de sus métodos al estudio de diversos problemas económicos.

Muchos trabajos de científicos extranjeros están dedicados a los métodos de programación lineal. En 1941, F.L. Hitchcock estableció una misión de transporte. El método principal para resolver problemas de programación lineal, el método simplex, fue publicado en 1949 por Danzig. Los métodos de programación lineal y no lineal se desarrollaron aún más en los trabajos de Kuhn ( inglés), A. Tucker ( inglés), Gass (Saul. I. Gass), Charnes (A.), Beale (E. M.) y otros.

Simultáneamente con el desarrollo de la programación lineal, se prestó mucha atención a los problemas de programación no lineal en los que la función objetivo o las restricciones, o ambas, no son lineales. En 1951, Kuhn y Tucker publicaron un artículo que proporciona las condiciones necesarias y suficientes para la optimización de la resolución de problemas de programación no lineal. Este trabajo sirvió de base para futuras investigaciones en esta área.

Desde 1955, se han publicado muchos artículos sobre programación cuadrática (trabajos de Beale, Barankin y Dorfman R., Frank M. y Wolfe P., Markowitz, etc.). Dennis J. B., Rosen J. B. y Zontendijk G. desarrollaron métodos de gradiente para resolver problemas de programación no lineal.

En la actualidad, se han desarrollado lenguajes de modelado algebraico para la aplicación efectiva de métodos de programación matemática y resolución de problemas en computadoras, cuyos representantes son AMPL y LINGO.

ver también

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Notas (editar)

Literatura

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Enlaces

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Extracto de Optimización (matemáticas)

El vagabundo se calmó y, de nuevo dirigido a la conversación, durante un largo rato habló sobre el padre Anfiloquio, que era una vida tan santa que su mano olía como la palma de su mano, y cómo los monjes que conoció en su último viaje a Kiev le dieron las llaves de las cuevas, y cómo ella, tomando con sus galletas, pasó dos días en las cuevas con los santos. “Le rezaré a uno, leeré, iré a otro. Languideceré, volveré a comer; y tal, madre, silencio, tal gracia que ni siquiera se quiere salir a la luz de Dios ".
Pierre la escuchó con atención y seriedad. El príncipe Andrés salió de la habitación. Y después de él, dejando que el pueblo de Dios terminara su té, la princesa Marya condujo a Pierre al salón.
"Eres muy amable", le dijo.
- ¡Oh, realmente no pensé en ofenderla, ya que entiendo y aprecio mucho estos sentimientos!
La princesa Marya lo miró en silencio y sonrió con ternura. “Después de todo, te conozco desde hace mucho tiempo y te amo como a un hermano”, dijo. - ¿Cómo encontraste a Andrey? Preguntó apresuradamente, sin darle tiempo a decir nada en respuesta a sus amables palabras. - Me preocupa mucho. Su salud es mejor en invierno, pero la primavera pasada la herida se abrió y el médico dijo que debía ir a ser tratado. Y moralmente tengo mucho miedo por él. No es un personaje como nosotras las mujeres para sufrir y gritar su dolor. Lo lleva dentro de sí mismo. Hoy está alegre y animado; pero fue su visita lo que le causó tal efecto: rara vez sucede así. ¡Si pudieras persuadirlo de que se fuera al extranjero! Necesita actividad, y esta vida tranquila y tranquila lo está arruinando. Otros no se dan cuenta, pero yo veo.
A las 10 en punto los camareros se apresuraron al porche, escuchando las campanas del carruaje del viejo príncipe que se acercaba. El príncipe Andrew y Pierre también salieron al porche.
- ¿Quién es? - preguntó el viejo príncipe, saliendo del carruaje y adivinando a Pierre.
- ¡AI está muy feliz! beso - dijo, habiendo aprendido quién era el joven desconocido.
El viejo príncipe estaba de buen humor y se hizo cargo de Pierre.
Antes de la cena, el príncipe Andrés, al regresar al estudio de su padre, encontró al anciano príncipe en una acalorada discusión con Pierre.
Pierre argumentó que llegará el momento en que no habrá más guerras. El viejo príncipe, bromeando pero no enojado, lo desafió.
- Deja que la sangre salga de las venas, vierte agua, entonces no habrá guerra. Tonterías de mujeres, tonterías de mujeres '', dijo, pero de todos modos le dio una suave palmada en el hombro a Pierre y se acercó a la mesa en la que el príncipe Andrey, aparentemente sin querer entrar en una conversación, estaba revisando los papeles que le traía. el príncipe de la ciudad. El viejo príncipe se le acercó y empezó a hablar de negocios.
- El líder, el conde Rostov, no entregó a la mitad de la gente. Vine a la ciudad, decidí invitarlo a cenar, - le di una cena así ... Pero mira esta ... Bueno, hermano, - el príncipe Nikolai Andreevich se volvió hacia su hijo, palmeando a Pierre en el hombro, - bien hecho tu amigo, me enamoré de él! Me mantiene en marcha. Otro dice discursos inteligentes, pero no quiero escuchar, pero está mintiendo y me enciende con el anciano. Bueno, ve, ve ", dijo," tal vez yo venga y me siente a cenar. De nuevo discutiré. Quiero a mi tonta, princesa María —le gritó a Pierre desde la puerta.
Pierre solo ahora, a su llegada a Bald Hills, apreciaba toda la fuerza y ​​el encanto de su amistad con el príncipe Andrew. Este encanto se expresó no tanto en su relación consigo mismo, como en las relaciones con todos los familiares y amigos. Pierre con el viejo y severo príncipe y con la mansa y tímida princesa Marya, a pesar de que apenas los conocía, inmediatamente se sintió como un viejo amigo. Todos lo amaban ya. No solo la Princesa Marya, sobornada por su actitud mansa hacia los vagabundos, lo miró con la mirada más radiante; pero el pequeño príncipe Nikolai de un año, como llamaba su abuelo, sonrió a Pierre y fue a sus brazos. Mikhail Ivanovich, m lle Bourienne lo miró con una sonrisa de alegría cuando hablaba con el viejo príncipe.
El anciano príncipe salió a cenar: esto fue obvio para Pierre. Estuvo con él los dos días de su estancia en Bald Hills sumamente cariñoso, y le ordenó que fuera a su casa.
Cuando Pierre se fue y todos los miembros de la familia se juntaron, comenzaron a juzgarlo, como siempre ocurre después de la partida de una nueva persona y, como rara vez ocurre, todos decían algo bueno de él.

Al regresar esta vez de las vacaciones, Rostov por primera vez sintió y aprendió hasta qué punto su conexión con Denisov y con todo el regimiento era fuerte.
Cuando Rostov condujo hasta el regimiento, experimentó una sensación similar a la que experimentó cuando conducía hasta Cook's House. Cuando vio al primer húsar con el uniforme desabotonado de su regimiento, cuando reconoció al pelirrojo Dementyev, vio los postes de caballos rojos que se enganchaban, cuando Lavrushka gritó alegremente a su amo: "¡Ha llegado el conde!" y el peludo Denisov, que estaba durmiendo en la cama, salió corriendo del dugout, lo abrazó y los oficiales convergieron hacia el recién llegado: Rostov sintió el mismo sentimiento que cuando su madre, su padre y sus hermanas lo abrazaron, y las lágrimas de alegría vinieron a su garganta le impidió hablar ... El regimiento también era un hogar, y el hogar era invariablemente dulce y caro, como el hogar de los padres.
Apareciendo ante el comandante del regimiento, habiendo sido asignado al antiguo escuadrón, entrando en servicio y buscando comida, entrando en todos los pequeños intereses del regimiento y sintiéndose privado de libertad y encadenado en un marco estrecho e inmutable, Rostov experimentó la misma calma, la misma apoyo y la misma conciencia el hecho de que él está aquí en casa, en su lugar, que sintió bajo su techo paterno. No hubo todo este lío de luz libre, en el que no pudo encontrar un lugar para sí mismo y cometió errores en las elecciones; no había Sonya, con quien era necesario o no explicar. No había forma de ir o no ir allí; no existían estas 24 horas del día, que se podían utilizar de tantas formas diferentes; no existía esta innumerable multitud de personas, de las que nadie estaba más cerca, nadie más lejos; no había una relación monetaria tan vaga e indefinida con su padre, ¡no había ningún recordatorio de la terrible pérdida de Dolokhov! Todo en el regimiento era claro y sencillo. El mundo entero estaba dividido en dos divisiones desiguales. Uno es nuestro regimiento de Pavlograd y el otro es todo lo demás. Y antes de eso, el resto no era nada. Todo en el regimiento se sabía: quién era el teniente, quién era el capitán, quién era bueno, quién era una mala persona y, lo más importante, un camarada. El comercializador cree en la deuda, el salario es un tercio; no hay nada que inventar y elegir, simplemente no hagas nada que se considere malo en el regimiento de Pavlograd; pero enviarán, harán lo que sea claro y distinto, decidido y ordenado: y todo irá bien.
Habiendo entrado nuevamente en estas ciertas condiciones de la vida del regimiento, Rostov experimentó alegría y tranquilidad, similares a las que siente una persona cansada cuando se acuesta a descansar. Esta vida de regimiento fue tanto más gratificante para Rostov en esta campaña, que después de perder ante Dolokhov (un acto que él, a pesar de todos los consuelos de sus familiares, no pudo perdonarse), decidió no servir como antes, sino hacer enmienda, servir bien y ser un camarada y un oficial absolutamente excelente, es decir, una persona excelente, que parecía tan difícil en el mundo, y en un regimiento tan posible.
Rostov, desde el momento de su pérdida, decidió que pagaría esta deuda con sus padres en cinco años. Le enviaban 10 mil al año, pero ahora decidió llevarse solo dos y dejar el resto a sus padres para pagar la deuda.

Nuestro ejército, después de repetidas retiradas, ofensivas y batallas en Pultusk, en Preussisch Eylau, se concentró cerca de Bartenstein. Esperaban la llegada del soberano al ejército y el inicio de una nueva campaña.
El regimiento de Pavlograd, que estaba en la parte del ejército que estaba en la campaña en 1805, completándose en Rusia, llegó tarde a las primeras acciones de la campaña. No estaba ni en Pultusk ni en Preussisch Eylau, y en la segunda mitad de la campaña, habiéndose unido al ejército en el campo, fue asignado al destacamento de Platov.
El destacamento de Platov operaba independientemente del ejército. Varias veces los Pavlohradianos fueron unidades en escaramuzas con el enemigo, capturaron prisioneros y una vez recapturaron incluso las tripulaciones del mariscal Oudinot. En abril, la gente de Pavlograd permaneció durante varias semanas cerca de un pueblo vacío alemán, devastado hasta el suelo, sin moverse.
Había nieve, barro, frío, los ríos se abrieron, los caminos se volvieron intransitables; durante varios días no dieron de comer ni a los caballos ni a la gente. Dado que el suministro se volvió imposible, la gente se dispersó por las aldeas desiertas abandonadas en busca de papas, pero ni siquiera eso fue suficiente. Se comió todo y todos los habitantes huyeron; los que quedaban eran peores que los mendigos, y no había nada que quitarles, e incluso un poco, los soldados compasivos a menudo, en lugar de aprovecharse de ellos, les daban lo último.

La versión más aceptable de la decisión que se toma a nivel gerencial con respecto a cualquier tema se considera óptima y el proceso de búsqueda en sí mismo se considera optimización.

La interdependencia y complejidad de los aspectos organizativos, socioeconómicos, técnicos y de otro tipo de la gestión de la producción se reduce actualmente a la toma de una decisión de gestión, que afecta a una gran cantidad de diferentes tipos de factores estrechamente entrelazados entre sí, lo que hace imposible analizar cada uno por separado. utilizando métodos analíticos tradicionales.

La mayoría de los factores son decisivos en el proceso de toma de decisiones y (en esencia) no se prestan a ninguna caracterización cuantitativa. También hay algunos que prácticamente no han cambiado. En este sentido, se hizo necesario desarrollar métodos especiales capaces de asegurar la selección de decisiones de gestión importantes en el marco de problemas organizativos, económicos y técnicos complejos (evaluaciones de expertos, investigación de operaciones y métodos de optimización, etc.).

Los métodos de investigación de operaciones se utilizan para encontrar soluciones óptimas en áreas de gestión como la organización de los procesos de producción y transporte, la planificación de la producción a gran escala, el suministro de materiales y técnicos.

Los métodos de optimización de decisiones consisten en el estudio mediante la comparación de las estimaciones numéricas de una serie de factores, cuyo análisis no puede realizarse por métodos tradicionales. La solución óptima es la mejor entre las opciones posibles para el sistema económico, y la solución más aceptable para los elementos individuales del sistema es subóptima.

La esencia de los métodos de investigación de operaciones

Como se mencionó anteriormente, forman métodos para optimizar las decisiones de gestión. Se basan en modelos matemáticos (deterministas) probabilísticos que representan el proceso, tipo de actividad o sistema investigado. Los modelos de este tipo proporcionan una caracterización cuantitativa del problema correspondiente. Sirven como base para tomar una importante decisión de gestión en el proceso de encontrar la mejor opción aceptable.

La lista de problemas que juegan un papel importante para los gerentes de producción directos y que se resuelven en el curso del uso de los métodos en consideración:

• el grado de validez de las opciones seleccionadas para las decisiones;
• cuánto mejores son que los alternativos;
• el grado en que se tienen en cuenta los determinantes;
• cuál es el criterio para la optimalidad de las soluciones seleccionadas.

Estos métodos de optimización de decisiones (gerenciales) tienen como objetivo encontrar soluciones óptimas para tantas firmas, empresas o sus divisiones como sea posible. Se basan en los logros existentes de las disciplinas estadísticas, matemáticas y económicas (teoría de juegos, colas, gráficos, programación óptima, estadística matemática).

Métodos de evaluación expertos

Estos métodos de optimización de las decisiones gerenciales se utilizan cuando la tarea no está parcial o totalmente sujeta a formalización, y además su solución no se puede encontrar por medio de métodos matemáticos.

La pericia es un estudio de cuestiones especiales complejas en la etapa de desarrollo de una determinada decisión de gestión por personas adecuadas que tienen una reserva especial de conocimiento y una experiencia impresionante para obtener conclusiones, recomendaciones, opiniones, evaluaciones. En el proceso de investigación de expertos, los últimos logros de la ciencia y la tecnología se aplican dentro de la especialización del experto.

Los métodos de optimización considerados para una serie de decisiones de gestión (evaluaciones de expertos) son eficaces para resolver las siguientes tareas de gestión en el campo de la producción:

1. Estudio de procesos complejos, fenómenos, situaciones, sistemas que se caracterizan por características cualitativas no formalizadas.
2. Ranking y determinación, según un criterio dado, de los factores esenciales que son determinantes para el funcionamiento y desarrollo del sistema productivo.
3. Los métodos de optimización considerados son especialmente efectivos para predecir las tendencias de desarrollo del sistema de producción, así como su interacción con el entorno externo.
4. Aumentar la confiabilidad de la evaluación de expertos de las funciones predominantemente objetivo, que son de naturaleza cuantitativa y cualitativa, promediando las opiniones de especialistas calificados.

Y estos son solo algunos de los métodos para optimizar una serie de decisiones de gestión (evaluación de expertos).

Clasificación de los métodos considerados

Los métodos para resolver problemas de optimización, basados ​​en el número de parámetros, se pueden dividir en:

• Métodos de optimización unidimensional.
• Técnicas de optimización multidimensional.

También se denominan "métodos de optimización numérica". Para ser precisos, estos son los algoritmos para encontrarlo.

En el marco de la aplicación de derivados, los métodos son:

• métodos de optimización directa (orden cero);
• métodos de gradiente (1er orden);
• Métodos de segundo orden, etc.

La mayoría de los métodos de optimización multidimensional están cerca del problema del segundo grupo de métodos (optimización unidimensional).

Métodos de optimización unidimensionales

Cualquier método de optimización numérica se basa en un cálculo aproximado o exacto de características tales como los valores de la función objetivo y las funciones que definen el conjunto admisible y sus derivadas. Entonces, para cada problema individual, la cuestión de la elección de las características para el cálculo puede resolverse dependiendo de las propiedades existentes de la función en consideración, las capacidades disponibles y las limitaciones en el almacenamiento y procesamiento de la información.

Existen los siguientes métodos para resolver problemas de optimización (unidimensionales):

• Método de Fibonacci;
• dicotomías;
• proporción áurea;
• doblando el paso.

Método de Fibonacci

Primero, debe establecer las coordenadas m. X en el intervalo como un número igual a la relación entre la diferencia (x - a) y la diferencia (b - a). Por lo tanto, a tiene la coordenada 0 con respecto al intervalo y b - 1, el punto medio - ½.

Si asumimos que F0 y F1 son iguales entre sí y tomamos el valor 1, F2 será igual a 2, F3 - 3, ..., entonces Fn = Fn-1 + Fn-2. Entonces, Fn son números de Fibonacci, y la búsqueda de Fibonacci es la estrategia óptima de la llamada búsqueda secuencial del máximo debido a que está bastante relacionada con ellos.

En el marco de la estrategia óptima, se acostumbra elegir xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Para cualquiera de los dos intervalos (o), cada uno de los cuales puede actuar como un intervalo de incertidumbre reducido, el punto (heredado) relativo al nuevo intervalo tendrá coordenadas o. Además, como xn - 2, se toma un punto que tiene una de las coordenadas presentadas en relación con el nuevo intervalo. Si usa F (xn - 2), el valor de la función que se hereda del intervalo anterior, es posible reducir el intervalo de incertidumbre y heredar un valor de función.

En el paso final, resultará ir a un intervalo de incertidumbre como, mientras que el punto medio se hereda del paso anterior. Como x1, se establece un punto que tiene una coordenada relativa ½ + ε, y el intervalo de incertidumbre final será o [½, 1] con respecto a.

En el primer paso, la longitud de este intervalo se redujo a Fn-1: Fn (de uno). En los pasos finales, el acortamiento de las longitudes de los intervalos correspondientes está representado por los números Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2,…, F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε). Entonces, la longitud de un intervalo como la versión final tomará el valor (1 + 2ε): Fn.

Si despreciamos ε, entonces asintóticamente 1: Fn será igual a rn, con n → ∞, y r = (√5 - 1): 2, que es aproximadamente igual a 0,6180.

Cabe señalar que, asintóticamente para n significativo, cada paso posterior de la búsqueda de Fibonacci reduce significativamente el intervalo considerado con el coeficiente anterior. Este resultado debe compararse con 0.5 (el coeficiente de reducir el intervalo de incertidumbre dentro del método de bisección para encontrar el cero de la función).

Método de dicotomía

Si imagina alguna función objetivo, primero necesita encontrar su extremo en el intervalo (a; b). Para hacer esto, el eje de abscisas se divide en cuatro partes equivalentes, luego es necesario determinar el valor de la función en consideración en 5 puntos. Entonces se selecciona el mínimo entre ellos. El extremo de la función debe estar dentro del intervalo (a "; b"), que es adyacente al punto mínimo. Los límites de búsqueda se reducen 2 veces. Y si el mínimo está ubicado en el punto aob, entonces se reduce cuatro veces. El nuevo intervalo también se divide en cuatro segmentos iguales. Debido al hecho de que los valores de esta función en tres puntos se determinaron en la etapa anterior, se requiere calcular la función objetivo en dos puntos.

Método de la sección dorada

Para valores significativos de n, las coordenadas de puntos como xn y xn-1 están cerca de 1 - r, igual a 0,3820 y r ≈ 0,6180. El impulso de estos valores está muy cerca de la estrategia óptima deseada.

Si asumimos que F (0.3820)> F (0.6180), entonces se describe el intervalo. Sin embargo, dado que 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, en este punto F ya se conoce. En consecuencia, en cada etapa, a partir de la 2, solo se necesita un cálculo de la función objetivo, y cada paso reduce la longitud del intervalo considerado en un factor de 0,6180.

A diferencia de la búsqueda de Fibonacci, este método no requiere fijar el número n antes de comenzar la búsqueda.

La "sección áurea" de una sección (a; b) es una sección en la que la razón de su longitud r a la parte más grande (a; c) es idéntica a la razón de la parte más grande r a la más pequeña, es decir , (a; c) a (c; b). Es fácil adivinar que r está determinado por la fórmula anterior. Por lo tanto, para n significativo, el método de Fibonacci pasa al dado.

Método de duplicación de pasos

La esencia es la búsqueda de la dirección de disminución de la función objetivo, movimiento en esta dirección en el caso de una búsqueda exitosa con un paso que aumenta gradualmente.

Primero, determinamos la coordenada inicial M0 de la función F (M), el valor de paso mínimo h0 y la dirección de búsqueda. Luego definimos la función en el punto M0. A continuación, damos un paso y encontramos el valor de esta función en este punto.

Si la función es menor que el valor que estaba en el paso anterior, debes dar el siguiente paso en la misma dirección, habiéndolo aumentado previamente 2 veces. Si su valor es mayor que el anterior, deberá cambiar la dirección de la búsqueda y luego comenzar a moverse en la dirección elegida con un paso h0. El algoritmo presentado se puede modificar.

Técnicas de optimización multivariante

El método de orden cero mencionado anteriormente no tiene en cuenta las derivadas de la función minimizada, por lo que su uso puede ser eficaz en caso de dificultades en el cálculo de las derivadas.

El grupo de métodos de primer orden también se llama gradiente, porque para establecer la dirección de búsqueda, se usa el gradiente de la función dada, un vector, cuyos componentes son las derivadas parciales de la función minimizada con respecto a la correspondiente optimizada. parámetros.

En el grupo de métodos de segundo orden se utilizan 2 derivadas (su uso es bastante limitado debido a la presencia de dificultades en su cálculo).

Lista de métodos de optimización sin restricciones

Cuando se utiliza la búsqueda multidimensional sin utilizar derivadas, los métodos de optimización sin restricciones son los siguientes:

• Hook and Jeeves (implementación de 2 tipos de búsqueda: patrón e investigación);
• minimización con respecto a un simplex regular (busque el punto mínimo de la función correspondiente comparando en cada iteración separada de sus valores en los vértices del simplex);
• descenso cíclico de coordenadas (utilizando vectores de coordenadas como puntos de referencia);
• Rosenbrock (basado en el uso de minimización unidimensional);
• minimización con respecto a un símplex deformado (modificación del método de minimización con respecto a un símplex regular: adición de un procedimiento de compresión, estiramiento).

En la situación de utilizar derivadas en el proceso de búsqueda multidimensional, se distingue el método de descenso más pronunciado (el procedimiento más fundamental para minimizar una función diferenciable con varias variables).

Además, todavía existen métodos que utilizan direcciones conjugadas (método de Davidon-Fletcher-Powell). Su esencia es la representación de las direcciones de búsqueda como Dj * grad (f (y)).

Clasificación de métodos matemáticos de optimización

Convencionalmente, en función de la dimensión de las funciones (objetivo), son:

• con 1 variable;
• multidimensional.

Dependiendo de la función (lineal o no lineal), existe una gran cantidad de métodos matemáticos destinados a encontrar un extremo para resolver el problema.

Según el criterio para la aplicación de derivadas, los métodos matemáticos de optimización se subdividen en:

• métodos para calcular 1 derivada de la función objetivo;
• multidimensional (1er gradiente de cantidad de vector derivado).

Según la eficiencia del cálculo, existen:

• métodos para el cálculo rápido del extremo;
• cálculo simplificado.

Ésta es una clasificación condicional de los métodos considerados.

Optimización de procesos comerciales

Aquí se pueden utilizar diferentes métodos, dependiendo de los problemas que se resuelvan. Es habitual destacar los siguientes métodos para optimizar los procesos comerciales:

• excepciones (reducción de los niveles del proceso existente, eliminación de las causas de interferencia y control de entrada, reducción de rutas de transporte);
• simplificación (paso de pedidos facilitado, complejidad reducida de la estructura del producto, distribución del trabajo);
• estandarización (uso de programas, métodos, tecnologías especiales, etc.);
• aceleración (ingeniería paralela, estimulación, diseño de prototipos operativos, automatización);
• cambio (cambios en el campo de las materias primas, tecnologías, métodos de trabajo, disposición del personal, sistemas de trabajo, volumen de pedidos, orden de procesamiento);
• asegurar la interacción (en relación con las unidades organizativas, el personal, el sistema de trabajo);
• selección e inclusión (en relación con los procesos, componentes necesarios).

Optimización fiscal: métodos

La legislación rusa brinda al contribuyente oportunidades muy ricas para recortes de impuestos, por lo que es habitual señalar los métodos destinados a minimizarlos como generales (clásicos) y especiales.

Los métodos generales de optimización fiscal son los siguientes:

• elaboración de la política contable de la empresa con el máximo uso posible de las oportunidades proporcionadas por la legislación rusa (el procedimiento para cancelar la IBE, la elección del método para calcular el producto de la venta de bienes, etc.);
• optimización mediante contrato (celebración de transacciones preferenciales, uso claro y competente de la redacción, etc.);
• aplicación de diversos tipos de beneficios, exenciones fiscales.

El segundo grupo de métodos también puede ser utilizado por todas las empresas, pero aún tienen un alcance bastante limitado. Los métodos especiales de optimización de impuestos son los siguientes:

• sustitución de relaciones (una operación que prevé una tributación onerosa se sustituye por otra que permite alcanzar un objetivo similar, pero que al mismo tiempo utiliza un procedimiento de tributación preferencial).
• separación de relaciones (reemplazo de solo una parte de una transacción comercial);
• aplazamiento del pago de impuestos (aplazamiento del momento en que el objeto del impuesto aparece a otro período calendario);
• reducción directa del objeto de tributación (deshacerse de muchas transacciones o bienes gravables sin afectar negativamente el negocio principal de la empresa).

Rechazo de la definición hasta ahora dominante

La teoría económica es la ciencia de cuál de los escasos recursos productivos las personas y la sociedad a lo largo del tiempo, con o sin dinero, eligen producir diversos bienes y distribuirlos para su consumo en el presente y el futuro entre diferentes personas y grupos de la sociedad.

A favor de un corto

ET es la ciencia de optimizar la economía (gestión) en todos los niveles hasta el global.

Asociado a las capacidades del concepto de optimización

OPTIMIZACIÓN (una de las formulaciones): determinación de los valores de los indicadores económicos en los que se logra el óptimo, es decir, el mejor estado del sistema. Muy a menudo, el óptimo corresponde al logro del resultado más alto a un costo de recursos dado o al logro de un resultado dado con un costo de recursos mínimo. http://slovari.yandex.ru/dict/economic

O Optimización (del latín óptimo - el mejor) - el proceso de encontrar el extremo (máximo o mínimo global) de una determinada función o elegir la mejor opción (óptima) del conjunto de posibles. La forma más confiable de encontrar la mejor opción es comparar todas las opciones posibles (alternativas).
Si el número de alternativas es grande, se suelen utilizar métodos de programación matemática para encontrar la mejor. Los métodos se pueden aplicar si hay una formulación estricta del problema: se establece un conjunto de variables, se establece el área de su posible cambio (se establecen restricciones) y el tipo de función objetivo (función, el extremo de los cuales hay que encontrar) de estas variables se determina. Este último es una medida cuantitativa (criterio) para evaluar el grado de consecución del objetivo fijado. En problemas dinámicos, cuando las restricciones impuestas a las variables dependen del tiempo, se utilizan métodos de control óptimo y programación dinámica para encontrar el mejor curso de acción.

Para encontrar la óptima entre un gran número de opciones racionales, se necesita información sobre la preferencia de varias combinaciones de valores de indicadores que caracterizan las opciones. A falta de esta información, la mejor opción de entre las racionales elige al gerente responsable de tomar la decisión ...

La introducción del concepto de optimización en la definición de teoría económica reduce las posibilidades de charla general en esta ciencia.

La teoría económica como ciencia para optimizar la economía requiere

Optimización del aparato conceptual de esta teoría;
- optimización de métodos de investigación económica;
- optimización de la consideración y definición de cada concepto;
- optimización de las decisiones económicas en todos los niveles de la vida económica;
- el uso de criterios de optimalidad en la evaluación de cualquier fenómeno económico.

Los objetivos de la educación económica:
formación de las bases del pensamiento de optimización económica;
desarrollo de la alfabetización económica funcional y la capacidad de optimizar el autodesarrollo;
la formación de habilidades prácticas para la toma de decisiones óptimas en diversas situaciones económicas;

Tareas de la educación económica:
formar conocimientos, habilidades, destrezas necesarias para optimizaciones en la vida económica;
desarrollar una cultura de pensamiento de optimización económica, enseñar cómo utilizar herramientas de optimización económica.

El clásico de la economía política reconoce el beneficio personal como criterio de optimalidad.
El neoclasicismo y las corrientes cercanas tampoco están en contra del egoísmo económico.

La economía con énfasis en la optimización admite el beneficio personal como un caso particular (aunque común) de decisiones económicas en todos los niveles.

Al mismo tiempo, dicha ET permite en todos los niveles la optimización del beneficio colectivo, el beneficio predominante de la mayoría (especialmente de todos) de los participantes de cualquier nivel de vida económica: familia (donde hay 2 o más miembros de la familia), local, regional, estatal, interestatal, global ...

Los múltiples beneficios (privados y generales) - como criterio de optimalidad - también son característicos de la naturaleza viva (http://ddarwin.narod.ru/), también incluye los beneficios de la propia supervivencia de cualquier sistema.

La teoría económica dominante (altamente competitiva, "mercado") justifica solo los beneficios privados, a menudo haciendo la vista gorda ante los esfuerzos de los países y pueblos por lograr beneficios comunes (a veces inevitablemente en detrimento de los privados) en nombre de la existencia. de sistemas económicos de diferentes niveles. Comenzando con pequeños asentamientos y familias individuales (por ejemplo, agricultores).

La ET como ciencia de optimización de la economía (gestión) en todos los niveles hasta el nivel global permite más investigación sobre la armonización de intereses personales y comunes para la supervivencia de todas las entidades comerciales.

Los grupos sociales se han involucrado en varios aspectos de la optimización económica desde tiempos primitivos. Los procesos de optimización se han intensificado en los últimos milenios durante la formación de estados, el surgimiento de grandes multietnos en China e India, Egipto y Sumer, en la inmensidad de Escitia y en otras regiones. Sin diversas formas de optimización (una u otra coordinación de intereses, a menudo violenta), la vida económica es imposible.

La optimización se relaciona con la eficiencia y la eficiencia con la optimización. Esta conexión atraviesa todos los conceptos básicos, incluso el ET hasta ahora dominante.

Necesidades y beneficios económicos, utilidad.
Recursos económicos, sus tipos, recursos limitados (y su uso óptimo).
Una elección económica. Costos de oportunidad. El principio de aumentar los costos económicos. Curva de capacidad de producción.
Concepto de eficiencia. Criterio de Pareto de eficiencia y optimalidad. Eficiencia de recursos y eficiencia de asignación.
Teoría positiva y normativa. Política económica. Sistemas economicos.
Sistema de mercado. Mercado. Competencia.
Demanda y precio. Función y curva de demanda. Factores de demanda. Ley de demanda. Beneficio para el consumidor. Demanda individual y del mercado.
Oferta y precio. Función y curva de oferta. Factores de oferta. Ley de suministro. La victoria para el fabricante.
Equilibrio de mercado de oferta y demanda. Precio de equilibrio. Déficit y superávit.
Impacto de impuestos unitarios y subsidios, distribución de la carga tributaria.
Elasticidad precio de la demanda y sus propiedades. Elasticidad del arco.
Elasticidad cruzada. Elasticidad renta de la demanda. Elasticidad precio de la oferta.
Condiciones previas para el análisis de la elección del consumidor. Utilidad. Utilidad marginal.
Equilibrio del consumidor en la teoría cardinalista.
Preferencias del consumidor. Curvas de indiferencia.
Restricción presupuestaria. La posición de equilibrio del consumidor.
Cambios en la renta del consumidor y los precios de los bienes. Efecto de sustitución. Efecto renta.
Beneficios de orden inferior. Intercambiabilidad y complementariedad de bienes.
Producción. Factores de producción. Factores de ingresos.
El concepto de función de producción.
Producto agregado, promedio y marginal.
La ley de la productividad marginal decreciente
Isoquanta y sus propiedades. Isocost. Balance del fabricante
Firma: concepto, tipos.
Costos de la empresa. Costos fijos y variables.
Costos generales. Costos medios.
Costo marginal.
Beneficio contable y económico
La renta total, media y marginal de la empresa.
Varios tipos de estructuras de mercado.
Competencia perfecta
Equilibrio de una empresa competitiva a corto plazo
Equilibrio de una empresa competitiva a largo plazo
Monopolio puro. Determinación del precio y volumen de producción en un monopolio. Indicadores de poder de mercado. Consecuencias económicas del monopolio.
Competencia monopolística. Fijar el precio y el volumen de producción en el contexto de la competencia monopolística. Competencia sin precios. Diversificación del producto.
Oligopolio. Determinación del precio y volumen de producción en un oligopolio.
Mercados de factores de producción: trabajo, capital, tierra. Formación de demanda de factores de producción, su naturaleza derivada.
Mercado de trabajo. Oferta y demanda en el mercado laboral.
Monopsonio y monopolio bilateral en el mercado laboral. El papel de los sindicatos. Salarios efectivos. Teoría del capital humano. Invertir en educación.
Mercado capital. Capital físico y monetario. Intereses de capital e intereses de préstamos. Oferta y demanda de fondos prestados.
Tipo de interés en competencia perfecta. Tipo de interés nominal y real. Tasa de interés de equilibrio.
Decisiones de inversión de empresas. Principio de descuento. Evaluación de la efectividad de las inversiones.
Equilibrio parcial y general. Equilibrio general y eficiencia de distribución.
Criterios de eficiencia en una economía de mercado.
Criterio de eficiencia y óptimo de Pareto (y aquí).
Eficiencia y justicia social, óptimo social y económico. Principio de compensación (principio de Kaldor-Hicks).
Fallas de mercado. Sistema de seguridad social.
Desigualdad, pobreza y discriminación. Distribución de los ingresos. Curva de Lorentz. Coeficiente GINI.
Bienes públicos. Oferta y demanda de bienes públicos. Análisis comparativo de bienes públicos y privados.
Costos privados y sociales. Beneficios privados (internos) y sociales (externos). El problema del mercado de bienes públicos y el rol regulador del Estado.
Ofrecimiento de bienes públicos a través de instituciones políticas. Elección pública en una democracia directa y representativa. Decisiones tomadas tras su aprobación. Reglas de mayoría. Cabildeo. Buscadores de renta política.
Externalidades: externalidades positivas y negativas.
El problema de internalizar las externalidades. Política gubernamental: ajuste de impuestos y subsidios.
La teoría de los derechos de propiedad. Teorema de Coase. Costos de transacción. Mercado de derechos de propiedad.

Parece que no hay necesidad de demostrar a los economistas modernos la promesa de la optimalidad como el principal problema de la teoría económica moderna. Casi cualquier especialista piensa en optimizar la economía a todos los niveles.

La ET moderna simplemente debería justificar estos esfuerzos de los especialistas.

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

2. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE OPTIMIZACIÓN
2.1 Parámetros del plan
2.2 Función objetivo (plan)

3. FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
3.1 Definición de una función de una variable y sus propiedades
3.2 Estudio de la función en economía. Encontrar el máximo beneficio
3.3 Determinación del extremo global
3.4 Convexidad, concavidad de una función
3.5 Criterio de optimalidad
3.6 Identificación de óptimos

4. OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL
4.1 Métodos de eliminación de espaciamiento
4.1.1 Método de escaneo
4.1.2 Método de dividir un segmento por la mitad
4.1.3 Método de proporción áurea
4.1.4 Características comparativas de los métodos para excluir intervalos
4.2 Métodos de aproximación polinomial y estimación puntual
4.2.1 Método de ajuste parabólico
4.2.2 Método Puell
4.3 Comparación de métodos de búsqueda unidimensionales

5. FUNCIONES DE MUCHAS VARIABLES
5.1 Funciones de varias variables, su notación y alcance
5.2 Algunas funciones multidimensionales utilizadas en economía
5.3 Derivadas parciales de funciones de varias variables
5.4 El significado económico de las derivadas parciales
5.5 Derivadas parciales de orden superior
5.6 Propiedades de una función de varias variables
5.7 Derivada direccional. Degradado. Líneas de nivel de función
5.8 Extremo de una función de varias variables

6. OPTIMIZACIÓN DE GRADIENTES INCONDICIONAL MULTIDIMENSIONAL
6.1 Concepto de métodos
6.2 Método de descenso por gradiente
6.3 Método de descenso más empinado

7. CRITERIOS DE OPTIMALIDAD EN PROBLEMAS CON RESTRICCIONES
7.1 Problemas con las restricciones de igualdad
7.2 multiplicadores de Lagrange
7.3 Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange
7.4 Condiciones de Kuhn-Tucker
7.4.1 Condiciones de Kuhn-Tucker y el problema de Kuhn-Tucker
7.5 Teoremas de Kuhn-Tucker
7.6 Condiciones para la existencia de un punto silla

8. MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA
8.1 El tema de la programación dinámica
8.2 Declaración del problema de programación dinámica
8.3 Principio de optimalidad y descripción matemática de un proceso de control dinámico
8.4 Esquema general de aplicación del método de programación dinámica
8.5 Modelo de asignación de recursos bidimensional
8.6 Modelo dinámico discreto de asignación óptima de recursos
8.7 Selección de la estrategia de actualización de hardware óptima
8.8 selección de la ruta óptima para el transporte de mercancías
8.9 Construyendo la secuencia óptima de operaciones en actividades comerciales

NORMAS DE EJECUCIÓN Y REGISTRO DE LA TAREA DE CÁLCULO-GRÁFICO

TAREA DE CÁLCULO-GRÁFICO 1

TAREA DE CÁLCULO-GRÁFICO 2

TAREA 3 DE CÁLCULO-GRÁFICO

LITERATURA

INTRODUCCIÓN

La matematización de diversos campos del conocimiento no es una novedad en la actualidad. La introducción generalizada de métodos matemáticos en una amplia variedad de áreas de actividad hoy en día no sorprende a nadie. No se trata solo de las ciencias técnicas y económicas, donde estos métodos llevan mucho tiempo dando sus frutos, sino también de las diversas ciencias de la gestión aplicadas que se están desarrollando en la actualidad: gestión, toma de decisiones de gestión, previsión socioeconómica, etc.

Las ciencias aplicadas se desarrollan a su manera, utilizando el aparato matemático existente para resolver problemas emergentes, e incluso por sus necesidades estimulan el desarrollo de algunas ramas de las matemáticas.

Este manual está dirigido a estudiantes de especialidades económicas que estudian métodos de optimización. Dado que para la asimilación exitosa del material de este curso, se requiere un cierto mínimo de conocimientos de cuestiones de matemáticas superiores, el manual cubre estos puntos. El material va acompañado de los correspondientes anexos económicos. Cuando las aplicaciones en economía son de interés independiente, se destacan en secciones especiales.

El tutorial no reemplaza los libros de texto académicos existentes que tratan los aspectos matemáticos de los métodos computacionales. La tarea principal es familiarizarse con los métodos computacionales como herramienta para la resolución de problemas, para tener una idea clara de la estructura lógica de los métodos presentados, así como sus ventajas y desventajas comparativas.

Al trabajar con el manual, el estudiante primero se familiariza con el material teórico, luego estudia la parte práctica, que se encuentra inmediatamente después de la parte teórica en cada sección. Cada capítulo contiene preguntas de control sobre las que el alumno puede ejercer el autocontrol. Posteriormente, el alumno procede a la implementación de la prueba, proporcionada por el programa. Luego, el trabajo de control se envía para revisión por pares. Si el revisor detecta errores, identifica lagunas en el conocimiento, se recomienda volver una vez más a las secciones relevantes y revisar el material nuevamente hasta su completa asimilación.

El manual didáctico y práctico para el sistema de educación a distancia en la disciplina "Métodos de teoría de optimización y control" está destinado al trabajo independiente de un alumno en una forma no estacionaria de control del conocimiento.

En el marco de la disciplina, los estudiantes realizan tres tareas computacionales y gráficas durante un curso de estudio de cinco años, los estudiantes que estudian durante 3.5 años realizan dos tareas computacionales y gráficas: la segunda y la tercera. La solución a problemas similares se analiza en las partes teórica y práctica del manual.

Después de completar el curso, los estudiantes obtienen crédito. Las preguntas de la prueba se basan en las preguntas de la prueba que se enumeran al final de cada sección del manual.

Capítulo 1. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

El término "optimización" se usa de manera muy amplia y, por lo tanto, puede depender del contexto. Óptimo (de Lat. óptimo - el mejor) - el conjunto de las condiciones más favorables; la mejor opción para resolver el problema o la forma de lograr el objetivo en las condiciones y recursos dados. Óptimo económico en un sentido amplio - el funcionamiento más eficiente de la producción, en un sentido estricto - el mejor uso de los recursos materiales, en el que se logra el posible efecto máximo de producción o el posible costo mínimo.

Mejoramiento Es el proceso de elegir la mejor opción o el proceso de llevar el sistema al mejor estado (óptimo), que consiste en encontrar todos los elementos maximizadores o minimizadores o puntos silla. La optimización está en el corazón del análisis económico. En los modelos económicos pasivos (como los que estudian el equilibrio general) nos interesa el comportamiento óptimo del tomador de decisiones. En modelos activos (como los modelos de crecimiento eficiente), nosotros mismos estamos interesados ​​en obtener el óptimo. En los últimos años se ha observado una tendencia a pasar de modelos input-output a modelos de análisis de procesos productivos, pasando de los modelos de crecimiento más simples a modelos que estudian las trayectorias de crecimiento óptimo y eficiente.

Métodos de optimización- Los métodos para encontrar el extremo de una función (en problemas prácticos - criterios de optimalidad) con o sin restricciones son muy utilizados en la práctica. Se trata, en primer lugar, de diseño óptimo (selección de los mejores modos tecnológicos nominales, elementos estructurales, estructura de cadenas tecnológicas, condiciones de actividad económica, aumento de la rentabilidad, etc.), control óptimo de la construcción de modelos no matemáticos de objetos de control (minimización de residuos de diversas estructuras del modelo y el objeto real) y muchos otros aspectos de la resolución de problemas económicos y sociales (por ejemplo, gestión de inventarios, recursos laborales, flujos de tráfico, etc.).

Los métodos de optimización son una sección del modelado matemático.

Estos temas cubren una amplia gama de diferentes problemas de modelización matemática que surgen en el estudio de instalaciones industriales reales, problemas económicos, financieros y otros.

Modelo- es un objeto material o mentalmente imaginado, que en el proceso de investigación reemplaza el objeto original de modo que su estudio directo proporcione nuevos conocimientos sobre el objeto original.

Para utilizar resultados matemáticos y métodos numéricos de la teoría de optimización para resolver problemas específicos, es necesario:

· Establecer los límites del sistema a optimizar;

· Definir un criterio cuantitativo a partir del cual sea posible analizar las opciones para identificar las "mejores";

· Hacer una elección de variables dentro del sistema que se utilizan para determinar las características e identificar opciones;

· Construya un modelo que refleje la relación entre variables.

Esta secuencia de acciones constituye el contenido el proceso de establecimiento del problema de optimización .

Consideremos algunos de los problemas de modelado matemático encontrados en la práctica en una interpretación matemática significativa más que formal.

Problemas de asignación de recursos óptimos. En términos generales, estas tareas se pueden describir de la siguiente manera. Existe una determinada cantidad de recursos, que pueden entenderse como fondos monetarios, recursos materiales (por ejemplo, materias primas, productos semiacabados, recursos laborales, diversos tipos de equipos, etc.). Estos recursos deben distribuirse entre diferentes objetos de su uso a intervalos separados o entre diferentes objetos para obtener la máxima eficiencia total del método de distribución elegido. Un indicador de eficiencia puede ser, por ejemplo, beneficio, producción comercializable, rendimiento de los activos (tareas de maximizar el criterio de optimización) o costes totales, coste principal, tiempo para completar una determinada cantidad de trabajo, etc. (el problema de minimizar el criterio de optimalidad).

Hay una cantidad inicial de fondos P 0 para ser distribuido durante NS años entre S empresas. Fondos y ki (k = 1, ..., n; i = 1, ..., S) asignado en k-ésimo año i-ésimo empresa, generar ingresos por la cantidad de f ki (u ki) y al final del año vuelven en cantidad j ki (u ki)... En la distribución posterior, los ingresos pueden participar (parcial o totalmente) o no participar.

Es necesario determinar la forma de asignar los recursos (la cantidad de fondos asignados a cada empresa en cada año de planificación) de modo que el ingreso total de S empresas para NS años fue el máximo. Por tanto, como indicador de la eficiencia del proceso de asignación de recursos para NS años, el ingreso total recibido de S empresas:

Número de recursos al inicio k-ésimo los años se caracterizarán por el valor P n 1(parámetro de estado). Gestión en volumen k el paso consiste en elegir variables u k 1, u k 2,…, u ks, que denota los recursos asignados en volumen k año i-ésimo empresa.

Si asumimos que el ingreso no participa en una distribución posterior, entonces la ecuación de estado del proceso tiene la forma

Si alguna parte del ingreso participa en una distribución posterior en cualquier año, entonces el valor correspondiente se agrega al lado derecho de la última igualdad.

Se requiere definir n s variables no negativas y ki, satisfaciendo las condiciones (2) y maximizando la función (1).

Gestión óptima de inventarios. La clase de problemas en los que se considera la gestión óptima de inventarios es uno de los más difíciles. Esto se debe a que en los problemas de gestión de inventarios el proceso se desarrolla naturalmente en el tiempo, y el control consiste en que la decisión en un intervalo de tiempo determinado se toma teniendo en cuenta el estado al que ha llegado el sistema en periodos anteriores. Además, estos problemas están asociados, por regla general, con la naturaleza discreta de las variables y, por lo tanto, son bastante difíciles de resolver.

El problema de la gestión de inventarios es una de las áreas más importantes de aplicación práctica de métodos económicos y matemáticos, incluidos los métodos de programación matemática.

Al formular las tareas de gestión de inventarios, se utilizan los siguientes conceptos.

Acciones - Estos son los valores monetarios o materiales que se reponen periódicamente (producen, entregan, etc.) y se almacenan durante algún tiempo para gastarlos en períodos de tiempo posteriores. El nivel de inventario en un momento dado está determinado por el nivel de inventario inicial más el reabastecimiento y menos el consumo para el período desde el momento inicial hasta el actual.

La gestión de inventarios en el caso general consiste en influir en la relación entre dos factores principales: reabastecimiento y consumo. El objetivo del control es optimizar algún criterio en función de los costes de almacenamiento de existencias, el coste de los suministros, los costes asociados a la reposición, penalizaciones, etc.

En un entorno tan general, tales problemas pueden tener una amplia variedad de aplicaciones prácticas. Por ejemplo, las existencias pueden entenderse como los productos de una empresa que se producen continuamente (reabastecimiento) y se envían a los consumidores en determinados lotes discretos (consumo). En este caso, se supone que la demanda de productos está predeterminada (demanda determinista) o sujeta a fluctuaciones aleatorias (problema estocástico). La gestión de inventarios consiste en determinar el tamaño de la producción requerida para satisfacer una demanda determinada. El objetivo es minimizar el costo total de almacenamiento y reposición.

Las existencias pueden entenderse como existencias de materias primas u otros materiales suministrados en lotes discretos (reposición), que deben garantizar un consumo continuo durante el proceso de producción (consumo). El criterio de optimalidad puede ser el costo total de almacenamiento de existencias, congelación del capital de trabajo y suministro de existencias.

Los inventarios pueden ser bienes entregados a una tienda en lotes específicos y diseñados para satisfacer continuas, pero sujetas a fluctuaciones aleatorias en la demanda de los clientes. Criterio de optimización: costos totales de suministros, almacenamiento de existencias y cambios en el ritmo de producción; debido a variaciones en la demanda.

Los inventarios también pueden ser productos de temporada almacenados en un almacén de capacidad limitada. Los bienes se pueden comprar y vender en cantidades variables a precios que cambian con el tiempo. El desafío es determinar la política de compra y venta que maximice el beneficio total y es un ejemplo de desafío de almacenamiento.

Problemas de reemplazo. Uno de los importantes problemas económicos que hay que afrontar en la práctica es la determinación de la estrategia óptima para la sustitución de máquinas antiguas, naves industriales, unidades, máquinas, etc., es decir, equipos antiguos por nuevos.

El envejecimiento de los equipos incluye su estado físico y obsolescencia, por lo que aumentan los costos de producción para la producción de equipos antiguos, aumentan los costos de reparación y mantenimiento y, al mismo tiempo, disminuyen la productividad y el llamado valor de mercado.

Llega un momento en que es más rentable vender el equipo viejo, reemplazarlo por uno nuevo, que operarlo a un costo elevado. Al mismo tiempo, el equipo puede ser reemplazado por equipos nuevos del mismo tipo o por nuevos más avanzados técnicamente, teniendo en cuenta el progreso técnico.

La estrategia de reemplazo de equipo óptima es determinar el momento óptimo de reemplazo. El criterio de optimización para determinar el momento del reemplazo puede ser el beneficio de la operación del equipo, que debe maximizarse, o los costos operativos totales durante el período de tiempo considerado, que debe minimizarse.

Problemas de control óptimo. Por lo general, este tipo de tarea incluye tareas asociadas con la búsqueda de una acción de control continua distribuida en el tiempo. En economía, estas son principalmente las tareas de pronosticar tendencias de desarrollo, inversiones a largo plazo, etc. Por ejemplo, la tarea de optimizar el fondo de consumo total, donde el valor de la inversión se considera una función del tiempo (la tarea se puede formular con y sin tener en cuenta el rezago de la inversión), el problema de maximizar el consumo descontado, etc.

Todas las clases de problemas mencionadas (si bien su composición está lejos de ser completa) requieren el uso de métodos matemáticos especiales de programación lineal y no lineal, programación dinámica, el principio máximo y algunos otros para su solución. Una parte integral del trabajo computacional en la resolución de los problemas considerados pueden ser problemas de resolución de ecuaciones no lineales y sus sistemas, cálculo de integrales, resolución de ecuaciones diferenciales, etc.

Existe una gran cantidad de métodos de optimización numérica. Los principales pueden ser clasificar de la siguiente manera:

· Por la dimensión del problema que se resuelve: unidimensional y multidimensional;

Según el método de formación de un paso, los métodos multidimensionales se dividen en los siguientes tipos:

q gradiente:

o por el método de cálculo del gradiente: con muestra pareada y con muestra central;

o según el algoritmo de corrección de pasos;

o según el algoritmo para calcular un nuevo punto: un paso y varios pasos;

q sin gradiente: con cambio alterno de variables y con cambio simultáneo de variables;

q búsqueda aleatoria: con una estrategia puramente aleatoria y con una estrategia mixta;

· Por la presencia de restricciones activas;

· Sin restricciones (incondicional);

· Con restricciones (condicional);

· Con restricciones del tipo de igualdad;

· Con limitaciones como desigualdades;

· Mezclado.

Los métodos de optimización unidimensionales son la base de algunos métodos "multidimensionales". En la optimización de gradiente multivariante, se construye una secuencia de mejora dependiendo de la tasa de cambio del criterio en diferentes direcciones. En este caso, una secuencia de mejora se entiende como una secuencia x 0, x 1, ..., x i, ..., en cada punto en el que el valor del criterio de optimalidad es mejor que en el anterior. En los métodos sin gradiente, la magnitud y la dirección del paso al óptimo cuando se construye la secuencia de mejora se forma inequívocamente de acuerdo con ciertas funciones deterministas dependiendo de las propiedades del criterio de optimalidad en la vecindad del punto actual sin usar derivadas (es decir, un gradiente ). Los métodos aleatorios se utilizan en problemas de alta dimensionalidad. La optimización condicional multivariante tiene en cuenta las restricciones activas expresadas como igualdades y desigualdades. En cada una de las direcciones consideradas, hay una gran cantidad de métodos que tienen sus propias ventajas y desventajas, que dependen, en primer lugar, de las propiedades de las funciones cuyo extremo se busca. Uno de los indicadores comparativos de la calidad del método es el número de valores de función que se deben calcular para resolver el problema con un error dado. Cuanto menor sea este número, más eficaz será el método, en igualdad de condiciones.

En problemas teóricos y matemáticos, se acostumbra considerar los problemas de optimización como problemas de encontrar el mínimo de una función. Incluso los métodos tienen un nombre común: métodos de descendencia. Sin embargo, cuando se resuelven problemas prácticos reales, muy a menudo surgen problemas con el máximo (por ejemplo, maximizar los ingresos, la producción, etc.). Por supuesto, es fácil pasar de un tipo de extremo a otro cambiando el signo del criterio de optimalidad, pero esto no siempre se hace en problemas no matemáticos aplicados para no perder el hilo significativo del problema.

Preguntas para el capítulo 1

1. ¿Por qué es necesario utilizar las matemáticas en economía?

2. ¿Qué es un modelo matemático?

3. ¿Cómo se construye un modelo matemático de un fenómeno económico y un objeto? Da un ejemplo de cómo construir un modelo.

4. ¿Qué es la optimización?

5. ¿Cuáles son los métodos de optimización?

6. ¿Qué problemas económicos se resuelven mediante métodos de optimización?

Capítulo 2. BASES DE LA TEORÍA DE OPTIMIZACIÓN

El término "mejoramiento" denotar un proceso para obtener una solución refinada. Si bien el objetivo final de la optimización es encontrar la mejor o la solución "óptima", generalmente debe contentarse con mejorar las soluciones conocidas en lugar de perfeccionarlas. Por tanto, la optimización se entiende más bien como la búsqueda de la excelencia, que, quizás, no se conseguirá.

Considerando algún sistema arbitrario descrito por metro ecuaciones con norte desconocido, se pueden distinguir tres tipos principales de problemas:

· si m = n, luego s el problema se llama algebraico. Tal tarea generalmente tiene única decisión;

· si m> n, luego se redefine la tarea, generalmente no tiene soluciones;

· si metro< n , entonces el problema está indeterminado, ha infinitas soluciones.

En la práctica, la mayoría de las veces tenemos que lidiar con problemas del tercer tipo.

Introduzcamos una serie de definiciones.

2.1. Parámetros del plan

Definición. Parámetros del plan Son parámetros de variables independientes que determinan de forma completa e inequívoca el problema a resolver.

Se trata de cantidades desconocidas, cuyos valores se calculan durante el proceso de optimización. Cualquier cantidad básica o derivada que describa cuantitativamente el sistema puede servir como parámetros de diseño.

Por ejemplo, los valores de longitud, masa, tiempo, temperatura se pueden considerar como parámetros.

El número de parámetros de diseño caracteriza el grado de complejidad de una determinada tarea de diseño.

Notación. Normalmente, el número de parámetros de diseño se denota por n, x- los propios parámetros de diseño con los índices correspondientes

x 1, x 2, ..., x n - n parámetros de diseño de la tarea.

2.2. Función objetivo (plan)

Definición. Función objetiva- una expresión, cuyo valor nos esforzamos por hacer el máximo o el mínimo.

La función objetivo le permite comparar cuantitativamente dos soluciones alternativas. Desde un punto de vista matemático, la función objetivo describe algunos (n + 1)-superficie dimensional.

1) Si solo hay un parámetro de diseño, entonces la función objetivo se puede representar mediante una curva en un plano (Fig. 1).

2) Si hay dos parámetros de diseño, entonces la función objetivo será representada por una superficie en el espacio de tres dimensiones (Fig. 2).

Definición. Con tres o más parámetros de diseño, las superficies especificadas por la función objetivo se denominan hipersuperficies y no se prestan a la representación por medios convencionales.

La función objetivo en algunos casos se puede representar:

· Función suave a trozos;

· Mesa;

· Solo valores enteros;

· Dos valores: sí o no (función discreta).

Sea cual sea la forma en que se presente la función objetivo, debe ser una función inequívoca de los parámetros de diseño.

Varios problemas de optimización requieren la introducción de más de una función objetivo. A veces, uno de ellos puede ser incompatible con el otro. Un ejemplo es el diseño de aviones, donde al mismo tiempo se requiere brindar máxima resistencia, mínimo peso y mínimo costo. En tales casos, el diseñador debe introducir un sistema de prioridades. El resultado es una "función de compromiso" que permite utilizar una función objetivo compuesta en el proceso de optimización.

Preguntas para el Capítulo 2

1. ¿Qué son los parámetros del plan?

2. Dé un ejemplo de los parámetros del plan.

3. Dé la definición de la función objetivo.

4. ¿Cómo se describe la función objetivo?