24. Dolazni tok zahtjeva

24.1 Struktura QS-a

Proučavanje QS-a počinje analizom dolaznog toka zahtjeva. Tijek dolaznih zahtjeva predstavlja skup zahtjeva koji ulaze u sustav i treba ih servisirati. Proučava se dolazni tok zahtjeva kako bi se utvrdili obrasci tog toka i dodatno poboljšala kvaliteta usluge.

U većini slučajeva, dolazni tok je nekontroliran i ovisi o nizu slučajnih čimbenika. Broj zahtjeva koji pristignu u jedinici vremena je slučajna varijabla. Slučajna varijabla je i vremenski interval između susjednih dolaznih zahtjeva. Međutim, pretpostavlja se da su dani prosječan broj primljenih zahtjeva po jedinici vremena i prosječni vremenski interval između susjednih dolaznih zahtjeva.

Poziva se prosječan broj zahtjeva koji ulaze u servisni sustav po jedinici vremena intenzitet zahtjeva a određena je sljedećom relacijom:

Gdje T - prosječna vrijednost intervala između pristizanja sljedećih zahtjeva.

Za mnoge stvarne procese, tok zahtjeva je prilično dobro opisan Poissonovim zakonom distribucije. Takav tok se zove najjednostavniji.

Najjednostavniji tok ima sljedeća važna svojstva:

Svojstvo stacionarnosti, koji izražava nepromjenjivost probabilističkog režima toka u vremenu. To znači da bi broj zahtjeva koji ulaze u sustav u jednakim vremenskim intervalima u prosjeku trebao biti konstantan. Na primjer, broj automobila koji u prosjeku dnevno stižu na utovar trebao bi biti isti za različita vremenska razdoblja, na primjer, na početku i na kraju desetljeća.

Bez posljedica,što određuje međusobnu neovisnost prijema jednog ili drugog broja zahtjeva za uslugu u vremenskim razdobljima koja se ne preklapaju. To znači da broj pristiglih zahtjeva u određenom vremenskom razdoblju ne ovisi o broju servisiranih zahtjeva u prethodnom vremenskom razdoblju. Na primjer, broj vozila koja stižu po materijale desetog dana u mjesecu ne ovisi o broju servisiranih vozila četvrtog ili bilo kojeg drugog prethodnog dana u mjesecu.

Svojstvo običnosti,što izražava praktičnu nemogućnost istovremenog dolaska dva ili više zahtjeva (vjerojatnost takvog događaja je nemjerljivo mala u odnosu na razmatrani vremenski period, kada potonji teži nuli).

Budući da je svrha rada svakog uslužnog sustava zadovoljenje zahtjeva (zahtjeva) za uslugom, tijek zahtjeva (zahtjeva) je jedan od osnovnih i najvažnijih koncepata teorije čekanja. Morate naučiti kako kvantitativno opisati dolazni tok zahtjeva, ali da biste to učinili morate saznati njegovu prirodu i strukturu.

Gotovo svaki tok zahtjeva koji ulaze u servisni sustav je nasumičan proces. Dapače, ako prihvatimo t=0 za početni trenutak, tada je u mnogim tokovima (osim u slučaju kada zahtjevi stižu striktno po rasporedu) ili nemoguće ili prilično teško točno predvidjeti trenutak dolaska sljedećeg zahtjeva, kao i trenutke dolaska sljedećih zahtjeva . Na primjer, nemoguće je točno naznačiti trenutke dolaska klijenata u studio, pacijenata u bolnicu, poziva u automatsku telefonsku centralu, opreme u servis itd.

Slijedom toga, trenuci zaprimanja zahtjeva, kao i razmaci između njih, općenito su neovisne slučajne varijable. Tada proces primanja zahtjeva u sustav čekanja treba promatrati kao probabilistički ili slučajni proces. Označimo takav proces sa X(t). Ova funkcija određuje broj zahtjeva koje je sustav primio u određenom vremenskom razdoblju . Za svaku fiksnu t funkcija X(t) postoji slučajna varijabla. Naime, ako odaberete vremenske intervale čak i jednakog trajanja, tada u tom slučaju ne možete biti sigurni da će u svakom od tih intervala stići isti broj zahtjeva.

Tijekom određenog vremenskog razdoblja Moguće je da nema primljenih prijava ili može biti primljena 1, 2,... prijave. No bez obzira koju duljinu vremenskih intervala odaberemo, broj prijava bit će samo cijeli broj.

Tijek zahtjeva može se prikazati kao graf jedne od implementacija slučajne varijable funkcije X(t), uzeti samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti. U ovom slučaju, grafikon (Sl. 24.2) predstavlja stepenastu liniju sa skokovima jednakim jednoj ili nekoliko jedinica, ovisno o tome dolaze li zahtjevi jedan po jedan ili u skupinama. Dakle slučajni proces X(t), ima sljedeće karakteristike.

1. Za bilo koji fiksni t funkcija X(t), poprima nenegativne cjelobrojne vrijednosti 0, 1, 2,...,R,... i ne opada s porastom.

2. Broj zahtjeva zaprimljenih u određenom vremenskom razdoblju , ovisi o duljini tog intervala, tj. o vrijednosti t.

3. Implementacije procesa prikazane su stepenastim linijama koje se međusobno nešto razlikuju. Iz teorije slučajnih procesa poznato je da će proces biti potpuno definiran s vjerojatnosnog gledišta ako su poznati svi njegovi višedimenzionalni zakoni raspodjele:

Međutim, pronalaženje takve funkcije u općem slučaju vrlo je težak i ponekad nerješiv zadatak. Stoga se u praksi nastoje koristiti procesi koji imaju svojstva koja omogućuju pronalaženje jednostavnijih načina za njihovo opisivanje. Ova svojstva uključuju:

Stacionarnost (bolja homogenost tijekom vremena);

Nedostatak naknadnog učinka (Markovljevo svojstvo), ponekad se govori o nedostatku pamćenja;

Običnost.

Navedena svojstva razmatrana su gore u proučavanju stacionarnih i Markovljevih procesa, pa se ovdje samo prisjećamo suštine ovih svojstava u smislu teorije čekanja.

Kaže se da je tijek zahtjeva stacionaran ili homogen u vremenu ako vjerojatnost primanja određenog broja zahtjeva tijekom određenog vremenskog razdoblja ovisi samo o duljini intervala, a ne o njegovom vremenskom položaju (drugim riječima, ovisi li ne ovisi o podrijetlu). Dakle, za stacionarni tok, vjerojatnost da tijekom intervala stići će točno R zahtjeva jednaka je vjerojatnosti primitka R zahtjevi za razdoblje [a, a +t] , Gdje a>0, tj.

To znači da se vjerojatnostne karakteristike toka (parametri zakona raspodjele) ne bi trebale mijenjati tijekom vremena.

Mnogi stvarni tokovi potražnje imaju svojstvo stacionarnosti ako ih razmatramo kroz kratka razdoblja. Takvi tokovi uključuju: protok poziva prema automatskoj telefonskoj centrali u određenim vremenskim razdobljima, protok kupaca u trgovinu, protok radijske opreme kojoj je potreban popravak, intenzitet putničkog prometa itd. Međutim, neki od navedeni tokovi se mijenjaju tijekom dana (vjerojatnost poziva noću manja nego danju, vršni sati za javni prijevoz).

U nekim tokovima broj zahtjeva koji ulaze u sustav nakon proizvoljne vremenske točke ne ovisi o broju prethodno primljenih zahtjeva i trenucima njihovog dolaska, tj. intervali između pristizanja zahtjeva smatraju se neovisnim količinama i ne postoji veza među njima. Buduće stanje sustava ne ovisi o njegovom prošlom stanju. Tok s ovim svojstvom naziva se tok bez naknadnog učinka ili Markovljev tok. Svojstvo nepostojanja naknadnog učinka (bez sjećanja) svojstveno je mnogim stvarnim tokovima. Na primjer, tijek poziva prema PBX-u je tijek bez naknadnog učinka, jer u pravilu sljedeći poziv stiže bez obzira na to kada i koliko je poziva bilo prije tog trenutka.

U nizu slučajeva, priroda tijeka zahtjeva je takva da je istovremeno pojavljivanje dvaju ili više zahtjeva nemoguće ili gotovo nemoguće. Protok s ovim svojstvom naziva se običnim.

Ako R R >2 (h) -vjerojatnost pojave tijekom razdoblja h više od jednog zahtjeva, tada bi za obični tok trebalo postojati:

,

tj. uobičajenost toka zahtijeva da je vjerojatnost pojave više od jedne potražnje u kratkom vremenskom razdoblju h bila bi infinitezimalna količina višeg reda od h. U nekim stvarnim tokovima ovo je svojstvo očito, dok ga u drugima prihvaćamo kao prilično dobru aproksimaciju stvarnosti. Klasični primjeri takvog protoka su protok poziva prema PBX-u i protok klijenata u studiju.

Tijek zahtjeva koji ima ova tri svojstva naziva se najjednostavnijim. Može se pokazati da je svaki najjednostavniji tok opisan Poissonovim procesom. U tu svrhu prisjetimo se definicije Poissonovog procesa usvojene u teoriji slučajnih funkcija.

Slučajni proces x(t) (0≤ t<∞) cjelobrojne vrijednosti naziva se Poissonov proces ako se radi o procesu s neovisnim priraštajima ili ako je bilo koji priraštaj procesa tijekom vremenskog razdoblja h raspoređen prema Poissonovom zakonu s parametrom λ h, Gdje λ>0 oni.

Konkretno, ako t=0, X(0)=0, tada se (3) prepisuje na sljedeći način:

(4)

Ovdje V r (h) znači vjerojatnost da će se događaj koji nas zanima dogoditi točno R jednom u vremenskom razdoblju h(sa gledišta teorije čekanja V r (h) određuje vjerojatnost da tijekom određenog vremenskog razdoblja h točno će ući u servisni sustav R zahtjevi).

Značenje parametra x Lako je saznati ako pronađete matematičko očekivanje Poissonovog procesa: M [X(t)]=M. Na t = 1 dobivamo M[X(1)]=1. Stoga postoji prosječan broj primjena po jedinici vremena. Stoga vrijednost λ često se naziva intenzitet ili gustoća toka.

Tri svojstva identična gore navedenima neposredno proizlaze iz definicije Poissonovog procesa:

1) Nezavisnost prirasta. Neovisnost priraštaja za Poissonov proces znači odsutnost naknadnih učinaka—Markovljeva priroda procesa.

2) Homogenost tijekom vremena. To znači da su vjerojatnosti V r (h) ne ovise o početnom trenutku t razdoblje koje se razmatra , ali ovise samo o duljini intervala h:

3) Običnost. Uobičajena priroda Poissonovog procesa znači da je praktički nemoguće da skupina zahtjeva stigne u istom trenutku.

Dakle, istovremeni dolazak dvaju ili više zahtjeva u kratkom vremenskom razdoblju h malo je vjerojatan, stoga

što ukazuje da je Poissonov proces običan.

Tako smo ustanovili da je tok opisan Poissonovim procesom najjednostavniji. Međutim, vrijedi i suprotna pretpostavka: najjednostavnije strujanje opisuje se Poissonovim procesom. Zbog toga se najjednostavniji tok često naziva Poissonov tok. Poissonov proces u teoriji čekanja zauzima posebno mjesto, slično onom koje normalni zakon zauzima među ostalim zakonima distribucije u teoriji vjerojatnosti. I nije stvar u tome da se matematički najjednostavnije opisuje, nego da je najčešći. Poissonov tok je ograničavajući (asimptotski tok kada se kombinira veliki broj drugih tokova).

Elementi teorije čekanja

§ 1. Uvod

Teorija čekanja inače se naziva Teorija čekanja. Doista, teorija čekanja uvelike je posvećena proučavanju redova koji nastaju u različitim sustavima.

Glavne karakteristike sustava čekanja su sljedeće slučajne varijable:

prosječno vrijeme koje klijent provede u redu čekanja;

udio vremena tijekom kojeg je sustav u mirovanju (zbog odsutnosti klijenata).

Funkcionalnost sustava čekanja određuju sljedeći čimbenici:

distribucija trenutaka distribucije kupaca;

raspodjela trajanja usluge;

konfiguracija sustava posluživanja (serijsko, paralelno ili paralelno-serijsko održavanje);

disciplina u redu čekanja (usluga redoslijedom dolaska, usluga obrnutim redoslijedom, slučajni odabir klijenata);

kapacitet bloka čekanja (ograničen ili neograničen);

kapacitet ili snaga izvora potražnje (ograničena i neograničena);

neke druge karakteristike sustava (sposobnost klijenata da se pomiču s jednog reda čekanja na drugi, različita od nule vjerojatnost kvara itd.).

Glavna čimbenika su prva dva.

Svaki sustav čekanja sastoji se od sljedećih glavnih elemenata:

dolazni protok kupaca;

servisni uređaj;

disciplina u redu.

§ 2 . Ulazni tijek klijenata

Razmotrite nizove slučajnih varijabli

Hajdemo to pretvarati t o = 0 – početni trenutak rada sustava; t 1 = t o + τ 1 , t 2 = t 1 + τ 2 , …, t k = t k -1 + τ k , …., gdje τ k su nezavisne slučajne varijable koje imaju eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ.

Z ovdje t 1 – trenutak dolaska prvog klijenta, τ 1 – vremenski interval između početka rada sustava i trenutka dolaska prvog klijenta, τ 2 – vremenski razmak između dolaska prvog i drugog klijenta itd.

Naknadna slijed
, definiran na gornji način se zove najjednostavniji (Poisson) teći. Konstanta naziva se najjednostavniji parametar protoka.

Svojstva najjednostavnijeg toka

1. Pomak protoka za vrijednost T

Neka bude jednostavan tijek
s parametrom λ.

Pomicanjem toka za iznos T, dobivamo stream
, što će ujedno biti i najjednostavniji tok s istim parametrom λ. Na primjer, ako T je između I , tada novi tok izgleda ovako:

, ….

2. Spajanje dviju niti

P
Neka postoje dva nezavisna najjednostavnija toka

S
parametri λ (1) , λ (2) odnosno. Reći ćemo da je tok nastao kao rezultat spajanja dva toka ako je skup ( tk) je unija skupova ( tk (1) }, {t k ( 2) ) i elementi skupa ( tk) poredani su uzlaznim redoslijedom.

P
tok koji nastaje spajanjem dva neovisna jednostavna toka također je jednostavan tok s parametrom λ = λ (1) + λ (2) , Gdje λ(j)– parametar protoka

3. Razdvajanje jednostavnog toka

Neka postoji jednostavan tok s parametrom λ,

i niz nezavisnih slučajnih varijabli
, uzimajući dvije vrijednosti:

P(ξ ja = 1) = str, P(ξ ja = 0) = q, str  0, q  0, str + q = 1.

Takve slučajne varijable nazivamo Bernoulli(s parametrom str). Postupak dijeljenja streama ( tk) je sljedeći: broj t i odnose se na prvi tok ako je ξ ja= 1; ako je ξ ja= 0, zatim broj t i osvrnut ćemo se na drugi tijek. Ovu operaciju nazivamo dijeljenjem toka na dva dijela Bernoulli(s parametrom str).

Protoci koji proizlaze iz Bernoullijeve podjele elementarnog toka su neovisni elementarni tokovi s parametrima λ (1) = λp, λ (2) = λq.

Imajte na umu da se dokazi ovih svojstava najjednostavnijeg toka mogu naći u.

H
kroz X(t) u nastavku ćemo označavati broj klijenata u sustavu u ovom trenutku t, tj.

Svojstva Poissonovih procesa

Prirast Poissonovog procesa je ujednačen.

Označimo sa x((a,b])= X(b) – x(a) prirast procesa, koji se može interpretirati kao broj klijenata koji ulaze u sustav u intervalu ( a,b]. Homogenost znači ispunjenje uvjeta:

P( x((a,b]) = k) = P( x((0,b-a]) = k) = P( x(b-a) = k),

oni. distribucija vjerojatnosti broja klijenata koji ulaze u sustav u intervalu ( a,b], ovisi samo o duljini tog intervala.

Inkrementi Poissonovog procesa su neovisni.

Razmotrimo interval (0, b] i pretpostavimo da je podijeljen na disjunktne intervale (0, b 1 ], (b 1 , b 2 ], , ( b N-1, b N]. Neka b 0 = 0. Zatim x((b 0 , b 1 ]), x((b 1 , b 2 ]), , x((b N-1, b N ]) – broj klijenata koji ulaze u sustav u odgovarajućim vremenskim razdobljima. Ove su veličine nezavisne, tj.

P( x((b 0 , b 1 ]) = ja 1 , , x((b N-1, b N ]) = ja N) =

P( x((b 0 , b 1 ]) = ja 1)  P( x((b N-1, b N ]) = ja N).

Dokazi ovih svojstava mogu se naći u.

Zadaci za § 2.

2.1. Postoje dvije slučajne varijable  1 i  2. Oni su neovisni i imaju eksponencijalnu raspodjelu s parametrima  1 i  2 respektivno. Uvedimo sljedeću slučajnu varijablu:  = min(  1 ,  2). Dokažite da ta veličina ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom = 1 + 2 .

2.2. Date su dvije neovisne slučajne varijable  1 I  2 s Poissonovom distribucijom s parametrom  1 I  2 respektivno. Neka je slučajna varijabla  = 1 + 2. Dokažite da ova veličina ima Poissonovu distribuciju s parametrom  = 1 + 2 .

2.3. Neka  je broj kupaca u trgovinama i ima Poissonovu distribuciju s parametrom  . Neka svaki klijent s vjerojatnošću str kupuje u ovoj trgovini. Morate dokazati da broj kupaca koji su kupili u ovoj trgovini ima Poissonovu distribuciju s parametrom p.

2.4. Kupci dolaze u restoran prema Poissonovom protoku s prosječnom učestalošću od 20 kupaca na sat. Restoran se otvara u 11.00 sati.

a) vjerojatnost da će u 11.12 u restoranu biti 20 posjetitelja, pod uvjetom da je u 11.07 u restoranu bilo 18 posjetitelja;

b) vjerojatnost da će novi gost doći u restoran između 11.28 i 11.30, ako se zna da je prethodni gost stigao u restoran u 11.25.

2.5. Proizvodi se preuzimaju iz skladišta kapaciteta 80 jedinica uskladištenih proizvoda, sukladno Poissonovom toku s intenzitetom od 5 jedinica proizvoda dnevno.

a) vjerojatnost da će tijekom prva dva dana 10 jedinica proizvoda biti uzeto iz skladišta;

b) vjerojatnost da do kraja četvrtog dana u skladištu neće ostati niti jedna jedinica proizvoda.

§

3. Proces umiranja i razmnožavanja

Izgradimo proces smrti i reprodukcije x(t) "konstruktivno".

Razmotrimo dva niza i. Prvi je odgovoran za ulazak klijenata u sustav (reprodukcija), a drugi je odgovoran za servisiranje klijenata (smrt):

Osim toga, neka su zadana dva nezavisna niza
nezavisne slučajne varijable s eksponencijalnom distribucijom s parametrom =1.

Postupak x(t) je konstruiran ovako. Neka
, Gdje
. Zatim na intervalu
postupak x(t) će zadržati svoju vrijednost , Gdje
,

.

U trenutku t 1 procesna vrijednost x(t) će se ili povećati ili smanjiti za jedan prema kojem od dva trenutka
doći će ranije:

Time smo stavili smisao procesa x(t) u točki t 1 jednako ; zatim evolucija procesa x(t) na intervalu
, Gdje
I
, poštuje isti zakon: x(t) trenutno se ne mijenja u ovom intervalu t 2

povećava se za jedan ako
, a inače se smanjuje za jedan.

Ako
, zatim vrijednost procesa x(t) povećava se za jedan u slučajnom trenutku
.

Ovako konstruiran proces
, naziva se vremenski jednolik proces smrti i reprodukcije; njegove distribucije su potpuno određene skupom parametara i početnom distribucijom X(0):

Prikladno je koristiti sljedeće dijagram predstavljati razvoj procesa x(t):

Strelice na vrhu odgovaraju dinamici procesa reprodukcije: od ja-stanje u koje proces ide ( ja+1)-to stanje s intenzitetom ; strelice ispod odgovaraju dinamici procesa smrti: s intenzitetom proces od ja-stanje prelazi u ( ja-1)-to stanje.

Skup značajki

opisuje distribuciju procesa x(t); U nastavku predstavljamo sustav jednadžbi kojima te funkcije zadovoljavaju.

Imajte na umu da nije svaki skup parametara
odgovara “nedegeneriranom” procesu x(t); stvar je u tome da ako brojke rastu vrlo brzo kada
, zatim proces x(t) u posljednjem trenutku t može “eksplodirati”, tj. s pozitivnom vjerojatnošću prelaska bilo koje razine i povećanja na
. Tako se, primjerice, ponaša populacija bakterija u povoljnom okruženju. Procesi koji opisuju kemijske reakcije koje dovode do eksplozije strukturirani su na sličan način.

Procesi x(t), za koje sve
, spadaju u tzv procesi čiste reprodukcije. Procesi za koje
, nazvao procesi čiste destrukcije.

Sljedeća lema daje potrebne i dovoljne uvjete na parametre
, koji jamče konačnost procesa čiste reprodukcije
s parametrima.

Lema. Neka je proces čiste reprodukcije s parametrima . Tada je da bi proces bio konačan potrebno i dovoljno da niz divergira

Neka x(t) proces smrti i reprodukcije s istim parametrima postupak , kao i parametri
. Očito je da

P( x(t)  )  P( x + (t)  ) .

Stoga dobivamo korolar iz leme.

Posljedica. Ako je za proizvoljan proces smrti reprodukcije X(t) zadovoljen uvjet
, zatim za bilo koji
pravedan P( X(t)  ) = 1, tj. proces je završen.

Dokaz leme može se naći u.

Zadaci za § 3

3.1. Razmotrimo proces smrti i reprodukcije, za koji

Potrebno je nacrtati dijagram koji odgovara ovom procesu.

3.2. Neka klijenti koji žele dobiti pomoć putem telefona formiraju jednostavan tok s parametrom. Neka svaki razgovor traje - indikativno vrijeme. Neka x(t) je broj klijenata u sustavu u trenutku t. Nacrtajte dijagram koji odgovara procesu x(t).

3.3. Neka, pod uvjetima zadatka 3.2

telefon ima memoriju za jednog klijenta: ako klijent zove i telefon je zauzet, ali je memorija telefona slobodna, tada stroj nudi spuštanje i čekanje poziva. Kada je telefon slobodan, poziv će se oglasiti;

postoji automatska centrala i dva telefona, svaki telefon ima svog operatera: ako u trenutku poziva klijenta postoji slobodan telefon, centrala automatski obraća klijenta na ovaj telefon;

prekidač (vidi točku 2)) ima memoriju za jednog klijenta;

Svaki telefon (vidi točku 2)) ima memoriju za jednog klijenta.

Za sve gore navedene slučajeve nacrtajte dijagram koji odgovara procesu x(t).

3.4. Odredite jesu li procesi čiste reprodukcije konačni sa sljedećim intenzitetima reprodukcije:

A)  k =k +  ,  >0,  >0, k= 0, 1, ...

b)  0 = 1,  k +1 = (k+1) k , k = 0, 1, ...

V)  k =  k , k = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. Diferencijalne jednadžbe koje odgovaraju procesu smrti i reprodukcije

Hajdemo to pretvarati x(t) – proces umiranja i razmnožavanja s karakteristikama i. Neka za neke konačne brojeve A I B postoje nejednakosti  ja  A + Dvo, ja= 0, 1, ...Ovaj uvjet jamči konačnost procesa x(t). Pritom se slažemo da gornja strelica lijevo dolazi do svakog stanja (pa i do stanja 0), a intenzitet rađanja λ može biti jednak nuli (na primjer, λ –1 = 0); iz svakog stanja dolazi donja strelica ulijevo i intenzitet smrti μ također može biti jednaka nuli (na primjer, λ –1 = 0). Redefiniranje dijagrama na ovaj način ne mijenja bit stvari, ali će biti korisno u daljnjim raspravama. Pogledajmo dijagram koji odgovara našem procesu x(t):

Označimo, kao i prije, sa

P k (t) = P(x(t) = k), k = 0,1,…,

vjerojatnost da u fiksnom trenutku t broj klijenata x(t) bit će jednaki k.

Teorem 1.Karakteristikepostupakx(t), gore definiran, zadovoljava sljedeći sustav diferencijalnih jednadžbi

Gdje k = 0,1,…, i početni uvjeti

Vrijedno je pojasniti da je prvi red (sa k= 0) sustav jednadžbi (1) ima oblik

Dokaz. Označimo sa P k ( t+Δ) = P(x(t+ Δ) = k).

Poslužimo se definicijom derivacije funkcije jedne varijable:

.

Razmotrite sljedeće događaje:

A 0 (t, Δ) = (na segmentu [ t, t+Δ] proces x(t) nije napravio niti jedan skok);

A 1 (t, Δ) = (na segmentu [ t, t+Δ] proces x(t) napravio točno jedan skok);

A 2 (t, Δ) = (na segmentu [ t, t+Δ] proces x(t) napravio dva ili više skokova).

Onda je očito da

Označimo dalje sa

; kroz
tri eksponencijalne slučajne varijable s parametrima
. Neka su sve te veličine nezavisne. Tada je istina. Tada je očito da stacionarni (stacionarni) režim. P k (t) = P(u sustavu trenutno t nalazi se k klijenti).

Naći rješenja sustava diferencijalnih jednadžbi, kao i stacionarne vjerojatnosti.

4.2. Za procese smrti i razmnožavanja iz zadatka 3.3 napišite diferencijalne jednadžbe koje povezuju vjerojatnosti P k (t) = P(u sustavu trenutno t nalazi se k klijenti).

Pronađite stacionarne vjerojatnosti.

Prilikom rješavanja problema upravljanja, uključujući zapovijedanje i upravljanje trupama, često se pojavljuje niz sličnih problema:

• procjena kapaciteta komunikacijskog pravca, željezničkog čvora, bolnice i dr.;
• procjena učinkovitosti baze za popravak;
• određivanje broja frekvencija za radio mrežu itd.

Svi ovi zadaci slični su u smislu da uključuju veliku potražnju za uslugom. Određeni skup elemenata uključen je u zadovoljenje ovog zahtjeva, tvoreći sustav čekanja (QS) (slika 2.9).

Elementi QS-a su:

• ulaz (dolazni) protok potražnje(zahtjevi) za uslugu;
• servisni uređaji (kanali);
• red aplikacija koje čekaju uslugu;
• slobodan dan ( izlazni) protok obrađene prijave;
• tok neusluženih aplikacija;
• red slobodnih kanala (za višekanalni QS).

Dolazni protok je zbirka zahtjeva za uslugu. Često se aplikacija poistovjećuje sa svojim nositeljem. Na primjer, tok neispravne radio opreme koja ulazi u radionicu udruge predstavlja tok zahtjeva – zahtjeva za uslugu u ovom QS-u.

U pravilu se u praksi radi o takozvanim rekurentnim tokovima - tokovima koji imaju sljedeća svojstva:

• stacionarnost;
• obični;
• ograničeno naknadno djelovanje.

Ranije smo definirali prva dva svojstva. Što se tiče ograničenog naknadnog učinka, on leži u činjenici da su intervali između dolaznih aplikacija neovisne slučajne varijable.

Postoji mnogo ponavljajućih niti. Svaki intervalni zakon distribucije generira vlastiti rekurentni tok. Ponavljajući tokovi inače se nazivaju Palmovi tokovi.

Protok s potpunim odsustvom naknadnog učinka, kao što je već navedeno, naziva se stacionarni Poisson. Njegovi slučajni intervali između naloga imaju eksponencijalnu distribuciju:

ovdje je intenzitet protoka.

Naziv toka - Poisson - dolazi od činjenice da za ovo vjerojatnost protoka pojavljivanje naloga tijekom intervala određeno je Poissonovim zakonom:

Tok ove vrste, kao što je ranije navedeno, također se naziva najjednostavnijim. To je upravo tijek koji dizajneri pretpostavljaju kada razvijaju QS. To je zbog tri razloga.

Prvo, tok ove vrste u teoriji čekanja sličan je zakonu normalne distribucije u teoriji vjerojatnosti u smislu da se najjednostavniji tok postiže prelaskom na granicu za tok koji je zbroj tokova proizvoljnih karakteristika s beskonačnim povećanjem pojmova i smanjenje njihovog intenziteta. Odnosno, zbroj proizvoljnih neovisnih (bez dominacije) tokova s ​​intenzitetima je najjednostavniji tok s intenzitetom

Drugo, ako su kanali za posluživanje (uređaji) dizajnirani za najjednostavniji protok zahtjeva, tada će servisiranje drugih vrsta tokova (s istim intenzitetom) biti osigurano s ništa manjom učinkovitošću.

Treći, upravo taj tok određuje Markovljev proces u sustavu i posljedično jednostavnost analitičke analize sustava. Za ostale tokove, analiza funkcioniranja QS-a je složena.

Često postoje sustavi u kojima protok ulaznih zahtjeva ovisi o broju zahtjeva koji se servisiraju. Takvi SMO se nazivaju zatvoreno(inače - otvoren). Na primjer, rad komunikacijske radionice udruga može se prikazati QS modelom zatvorene petlje. Neka ova radionica bude namijenjena servisu radio postaja koje su u udruzi. Svaki od njih ima postotak neuspjeha. Ulazni tok pokvarene opreme imat će sljedeći intenzitet:

gdje je broj radio stanica koje su već u radionici za popravak.

Aplikacije mogu imati različite uvjete za početak usluge. U ovom slučaju kažu da aplikacije heterogena. Prednosti nekih aplikacijskih tokova u odnosu na druge određene su ljestvicom prioriteta.

Važna karakteristika ulaznog toka je koeficijent varijacije:

gdje je matematičko očekivanje duljine intervala;

Standardna devijacija slučajne varijable (duljina intervala).

Za najjednostavniji tijek

Za većinu pravih niti.

Kada je protok pravilan, deterministički.

Koeficijent varijacije- obilježje koje odražava stupanj neujednačenosti zaprimanja zahtjeva.

Servisni kanali (uređaji). QS može imati jedan ili više servisnih uređaja (kanala). Prema tome, QS se nazivaju jednokanalni ili višekanalni.

Višekanalni QS se može sastojati od iste ili različite vrste uređaja. Servisni uređaji mogu biti:

• komunikacijske linije;
• tehničari za popravke;
• uzletno-sletne staze;
• vozila;
• vezovi;
• frizeri, prodavači itd.

Glavna karakteristika kanala je vrijeme usluge. U pravilu, vrijeme usluge je slučajna vrijednost.

Tipično, praktičari vjeruju da vrijeme usluge ima eksponencijalni zakon raspodjele:

gdje je intenzitet usluge, ;

Matematičko očekivanje vremena usluge.

To jest, servisni proces je Markovljev, a to, kao što sada znamo, pruža značajnu pogodnost u analitičkom matematičkom modeliranju.

Osim eksponencijalne, postoje Erlangove distribucije, hipereksponencijalne distribucije, trokutaste distribucije i neke druge. To nas ne bi trebalo zbuniti, jer je pokazano da vrijednost QS kriterija učinkovitosti malo ovisi o vrsti zakona distribucije vremena usluge.

Kada se proučava QS, iz razmatranja se gubi bit usluge, kvaliteta usluge.

Kanali mogu biti apsolutno pouzdan, odnosno ne propasti. Ili bolje rečeno, to se može prihvatiti tijekom istraživanja. Kanali mogu imati krajnja pouzdanost. U ovom slučaju, QS model je mnogo kompliciraniji.

Prijavni red. Zbog nasumične prirode tijeka zahtjeva i usluge, pristigli zahtjev može pronaći kanal(e) zauzet servisiranjem prethodnog zahtjeva. U tom slučaju, ili će ostaviti QS neposlužen ili ostati u sustavu, čekajući da njegova usluga počne. U skladu s tim razlikuju:

• QS s kvarovima;
• SMO s iščekivanjem.

CMO s iščekivanjem karakterizira prisutnost redova čekanja. Red čekanja može imati ograničen ili neograničen kapacitet: .

Istraživača obično zanimaju sljedeće statističke karakteristike povezane s boravkom aplikacija u redu čekanja:

• prosječan broj prijava u redu čekanja tijekom intervala proučavanja;
• prosječno vrijeme provedeno (čekanja) na zahtjev u redu čekanja. QS s ograničenim kapacitetom čekanja naziva se QS mješovitog tipa.

Često postoje CMO-ovi u kojima aplikacije imaju ograničeno vrijeme u redu bez obzira na njegov kapacitet. Takvi QS-ovi se također klasificiraju kao QS-ovi mješovitog tipa.

Izlazni tok tok je servisiranih aplikacija koje napuštaju QS.

Postoje slučajevi kada zahtjevi prolaze kroz nekoliko QS-ova: tranzitna komunikacija, proizvodni transporter, itd. U ovom slučaju, odlazni tok je dolazni za sljedeći QS. Poziva se skup sekvencijalno međusobno povezanih QS-ova višefazni sustavi čekanja ili QS mreže.

Dolazni tok prvog QS-a, koji prolazi kroz sljedeće QS-ove, je iskrivljen i to komplicira modeliranje. Ipak treba imati na umu da uz najjednostavniji ulazni tok i eksponencijalnu uslugu (to jest, u Markovljevim sustavima), izlazni tok je također najjednostavniji. Ako vrijeme usluge ima neeksponencijalnu distribuciju, tada izlazni tok ne samo da nije najjednostavniji, već nije ni rekurentan.

Imajte na umu da intervali između zahtjeva odlaznog toka nisu isti kao servisni intervali. Uostalom, može se ispostaviti da nakon završetka sljedećeg servisa QS neko vrijeme miruje zbog nedostatka aplikacija. U ovom slučaju interval odlaznog toka sastoji se od vremena mirovanja QS-a i servisnog intervala prvog zahtjeva koji je stigao nakon vremena mirovanja.

Tijek ulaznih informacija

Ulazni informacijski tok je niz dokumenata i podataka primljenih za unos u informacijski sustav.

Vidi također: Sadržaj informacija

• - uređaj na ulazu u sustav koji pretvara ulazne signale za usklađivanje rada sustava s vanjskim izvorom. udarac...

  Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

• - kolosiječni signal koji štiti staze odvojene točke. Kao V. s. Mogu se koristiti semafori ili semafori. Ulazni semafor postavljen je ne bliže od 50 m, semafor nije bliže od 15 m od točke ulazne strelice...

  Tehnički željeznički rječnik

• - "...Kontrola proizvoda dobavljača koje je primio potrošač ili kupac i koji su namijenjeni za upotrebu u proizvodnji, popravku ili radu proizvoda..." Izvor: Naredba Roskartografije od 29. lipnja...

  Službena terminologija

• - kontrola usklađenosti s podacima putovnice industrijskih proizvoda koji se isporučuju za izgradnju ...

  Građevinski rječnik

• - protok materijala koji ulazi u logistički sustav izvana...

  Rječnik poslovnih pojmova

• - dokument sastavljen u posebnom obliku koji sadrži podatke namijenjene unosu u informacijski sustav Vidi. također: Informativni sadržaj  ...

  Financijski rječnik

• - skup poruka koje kruže sustavom potrebnih za provedbu procesa upravljanja...

  Veliki ekonomski rječnik

• - vanjski tok materijala koji ulazi u dani logistički sustav iz vanjskog okruženja...

  Veliki ekonomski rječnik

• - uređaj na ulazu u sustav ili uređaj koji pretvara ulazne utjecaje u signale pogodne za daljnju obradu, prijenos i snimanje ili za usklađivanje rada sustava s različitim ulazima -...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - ...

  Rječnik antonima

• - ULAZ vidi ući i...

  Ozhegovov objašnjavajući rječnik

• - ULAZ, ulaz, ulaz. pril. do ulaza. Ulazna vrata. Ulaznica. Ulaz...

  Ušakovljev objašnjavajući rječnik

• - ulaz I prid. Početni, početni, početni. II prid. 1. Davanje prava na ulazak 1. negdje. 2. Služi kao ulaz...

  Objašnjavajući rječnik Efremove

• - ulazni prid., korišten. usporediti često 1. Kada govorite o vratima, mislite na vanjska vrata koja vode u vaš dom s ulice. Netko je ušao u hodnik i otvorio ulazna vrata. 2...

  Dmitrievljev objašnjavajući rječnik

• - ulaz...

  Ruski pravopisni rječnik

• - ...

  Oblici riječi

"Ulazni tok informacija" u knjigama

Protok informacija u prirodi

Protok informacija u prirodi