Was sind unendlich kleine Funktionen?

Allerdings kann eine Funktion nur an einem bestimmten Punkt infinitesimal sein. Wie in Abbildung 1 dargestellt, ist die Funktion nur am Punkt 0 infinitesimal.

Abbildung 1. Infinitesimalfunktion

Wenn der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen 1 ergibt, werden die Funktionen als äquivalente Infinitesimale bezeichnet, da x zum Punkt a tendiert.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definition

Wenn die Funktionen f(x), g(x) für $x > a$ infinitesimal sind, dann:

• Eine Funktion f(x) heißt Infinitesimal höherer Ordnung bezüglich g(x), wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Eine Funktion f(x) heißt Infinitesimal der Ordnung n bezüglich g(x), wenn sie von 0 verschieden ist und der Grenzwert endlich ist:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Beispiel 1

Die Funktion $y=x^3$ ist im Vergleich zur Funktion y=5x eine Infinitesimalzahl höherer Ordnung für x>0, da der Grenzwert ihres Verhältnisses 0 ist, was durch die Tatsache erklärt wird, dass die Funktion $y=x ^3$ neigt dazu, den Wert schneller auf Null zu setzen:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x=0\]

Beispiel 2

Die Funktionen y=x2-4 und y=x2-5x+6 sind Infinitesimale derselben Ordnung für x>2, da der Grenzwert ihres Verhältnisses ungleich 0 ist:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ zu 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2 ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Eigenschaften äquivalenter Infinitesimalzahlen

1. Die Differenz zwischen zwei äquivalenten Infinitesimalen ist relativ zu jedem von ihnen ein Infinitesimal höherer Ordnung.
2. Wenn wir aus der Summe mehrerer Infinitesimalzahlen unterschiedlicher Ordnung Infinitesimalzahlen höherer Ordnung verwerfen, dann entspricht der verbleibende Teil, der Hauptteil genannt wird, der Gesamtsumme.

Aus der ersten Eigenschaft folgt, dass äquivalente Infinitesimalzahlen mit einem beliebig kleinen relativen Fehler annähernd gleich werden können. Daher wird das Zeichen ≈ sowohl zur Bezeichnung der Äquivalenz von Infinitesimalzahlen als auch zur Angabe der ungefähren Gleichheit ihrer hinreichend kleinen Werte verwendet.

Beim Finden von Grenzwerten ist es aus Gründen der Geschwindigkeit und Bequemlichkeit der Berechnungen sehr oft erforderlich, äquivalente Funktionen zu ersetzen. Die Tabelle der äquivalenten Infinitesimalzahlen ist unten dargestellt (Tabelle 1).

Die Äquivalenz der in der Tabelle angegebenen Infinitesimalzahlen lässt sich anhand der Gleichheit beweisen:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabelle 1

Beispiel 3

Beweisen wir die Äquivalenz von unendlich kleinen ln(1+x) und x.

Nachweisen:

1. Finden wir die Grenze des Mengenverhältnisses
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Dazu wenden wir die Eigenschaft des Logarithmus an:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Da wir wissen, dass die logarithmische Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist, können wir das Vorzeichen des Grenzwerts und der logarithmischen Funktion vertauschen:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ Rechts)\]
4. Da x eine unendlich kleine Größe ist, geht der Grenzwert gegen 0. Das bedeutet:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ rechts)=\ln e=1\]

(wende die zweite wunderbare Grenze an)

Infinitesimalfunktionen.

Wir setzen die Bildungsreihe „Grenzen für Dummies“ fort, die mit Artikeln eröffnet wurde Grenzen. Beispiele für Lösungen Und Wunderbare Grenzen. Wenn Sie zum ersten Mal auf der Website sind, empfehle ich Ihnen, auch die Lektion zu lesen Methoden zur Lösung von Grenzen, was Ihr Schülerkarma deutlich verbessern wird. Im dritten Handbuch haben wir uns angeschaut unendlich große Funktionen, ihr Vergleich, und jetzt ist es an der Zeit, sich mit einer Lupe zu bewaffnen, damit Sie nach dem Land der Riesen in das Land der Liliputaner blicken können. Ich habe die Neujahrsferien in der Kulturhauptstadt verbracht und bin sehr gut gelaunt zurückgekehrt, sodass die Lektüre besonders interessant zu werden verspricht.

In diesem Artikel wird ausführlich darauf eingegangen Infinitesimalfunktionen, die Ihnen tatsächlich schon oft begegnet sind, und deren Vergleich. Viele Ereignisse stehen in engem Zusammenhang mit unsichtbaren Ereignissen nahe Null. wunderbare Grenzen, wunderbare Äquivalenzen, und der praktische Teil der Lektion ist hauptsächlich der Berechnung von Grenzwerten anhand bemerkenswerter Äquivalenzen gewidmet.

Infinitesimalfunktionen. Vergleich von Infinitesimalzahlen

Was soll ich sagen... Gibt es eine Grenze, dann wird die Funktion aufgerufen unendlich klein an einem Punkt.

Der wesentliche Punkt der Aussage ist die Tatsache, dass Die Funktion kann unendlich klein sein nur an einem bestimmten Punkt .

Zeichnen wir eine bekannte Linie:

Diese Funktion unendlich klein an einer einzigen Stelle:
Es ist zu beachten, dass an den Punkten „plus Unendlich“ und „minus Unendlich“ dieselbe Funktion enger ist unendlich groß: . Oder in einer kompakteren Schreibweise:

An allen anderen Punkten ist der Grenzwert der Funktion gleich einer endlichen Zahl ungleich Null.

Auf diese Weise, Es gibt keine solche Sache als „nur eine unendlich kleine Funktion“ oder „nur eine unendlich große Funktion“. Eine Funktion kann unendlich klein oder unendlich groß sein nur an einem bestimmten Punkt .

! Notiz : Der Kürze halber sage ich oft „infinitesimale Funktion“, was bedeutet, dass sie an dem betreffenden Punkt infinitesimal ist.

Es kann mehrere und sogar unendlich viele solcher Punkte geben. Zeichnen wir eine Art nicht erschreckende Parabel:

Die vorgestellte quadratische Funktion ist an zwei Punkten infinitesimal – an „eins“ und an „zwei“:

Wie im vorherigen Beispiel ist diese Funktion im Unendlichen unendlich groß:

Die Bedeutung von Doppelzeichen :

Die Schreibweise bedeutet: wann und wann.

Die Schreibweise bedeutet, dass sowohl at als auch at .
Das kommentierte Prinzip der „Entschlüsselung“ von Doppelzeichen gilt nicht nur für Unendlichkeiten, sondern auch für beliebige Endpunkte, Funktionen und eine Reihe anderer mathematischer Objekte.

Und jetzt der Sinus. Dies ist ein Beispiel, wo die Funktion unendlich klein an unendlich vielen Punkten:

Tatsächlich „näht“ die Sinuskurve die x-Achse durch jedes „pi“:

Beachten Sie, dass die Funktion nach oben/unten beschränkt ist und es keinen Punkt gibt, an dem sie sich befinden würde unendlich groß, der Sinus kann sich nur ewig die Lippen lecken.

Ich beantworte noch ein paar einfache Fragen:

Kann eine Funktion im Unendlichen infinitesimal sein?

Sicherlich. Es gibt eine Wagenladung solcher Exemplare und einen kleinen Wagen.
Ein elementares Beispiel: . Die geometrische Bedeutung dieser Grenze wird übrigens im Artikel erläutert Graphen und Eigenschaften von Funktionen.

Kann eine Funktion NICHT unendlich klein sein?
(an jedem Punkt Definitionsbereich)

Ja. Ein offensichtliches Beispiel ist eine quadratische Funktion, deren Graph (Parabel) die Achse nicht schneidet. Die gegenteilige Aussage ist übrigens generell falsch – die Hyperbel aus der vorherigen Frage schneidet zwar nicht die x-Achse, aber unendlich klein im Unendlichen.

Vergleich von Infinitesimalfunktionen

Konstruieren wir eine gegen Null tendierende Folge und berechnen wir mehrere Werte des Trinoms:

Wenn die „x“-Werte abnehmen, läuft die Funktion offensichtlich schneller als alle anderen auf Null (ihre Werte sind rot eingekreist). Sie sagen Funktion statt Funktion , und auch höhere Ordnung der Kleinheit, Wie . Aber schnell zu laufen ist im Land der Liliputaner keine Tapferkeit; „den Ton gibt“ der langsamste Zwerg an, der, wie es sich für einen Boss gehört, am langsamsten von allen auf Null geht. Es hängt von ihm ab wie schnell der Betrag nähert sich Null:

Im übertragenen Sinne „absorbiert“ die Infinitesimalfunktion alles andere, was besonders deutlich im Endergebnis der dritten Zeile sichtbar ist. Manchmal sagen sie das niedrigere Ordnung der Kleinheit, Wie und deren Menge.

Im betrachteten Grenzfall spielt das alles natürlich keine große Rolle, da das Ergebnis immer noch Null ist. Allerdings beginnen die „schwergewichtigen Zwerge“ bei Limits mit Brüchen eine grundsätzlich wichtige Rolle zu spielen. Beginnen wir mit Beispielen, die, wenn auch selten, in der realen Praxis zu finden sind:

Beispiel 1

Grenzwert berechnen

Hier und ab der Einführungslektion herrscht Unsicherheit im Rahmen der Funktionen Erinnern wir uns an das allgemeine Prinzip zur Offenlegung dieser Unsicherheit: Sie müssen Zähler und Nenner faktorisieren und dann etwas reduzieren:

Im ersten Schritt entfernen wir , im Zähler und „x“ im Nenner. Im zweiten Schritt reduzieren wir Zähler und Nenner um „X“ und beseitigen so die Unsicherheit. Wir geben an, dass die verbleibenden „X“ gegen Null tendieren, und erhalten die Antwort.

Im Grenzfall ist das Ergebnis ein Lenkrad, also die Zählerfunktion höhere Ordnung der Kleinheit als die Nennerfunktion. Oder kurz gesagt: . Was bedeutet das? Der Zähler geht gegen Null Schneller, als der Nenner, weshalb er am Ende Null war.

Wie es bei unendlich große Funktionen, die Antwort lässt sich vorab herausfinden. Die Technik ist ähnlich, unterscheidet sich jedoch darin, dass Sie im Zähler und Nenner alle Terme im Geiste verwerfen müssen ÄLTERE Grad, da, wie oben erwähnt, langsame Zwerge von entscheidender Bedeutung sind:

Beispiel 2

Grenzwert berechnen

Null auf Null... Lassen Sie uns gleich die Antwort herausfinden: Lassen Sie uns mental alles verwerfen ältere Terme (schnelle Zwerge) des Zählers und Nenners:

Der Lösungsalgorithmus ist genau der gleiche wie im vorherigen Beispiel:

In diesem Beispiel Nenner höherer Kleinheitsordnung als Zähler. Mit abnehmenden „x“-Werten wird der langsamste Zwerg des Zählers (und des gesamten Limits) im Verhältnis zu seinem schnelleren Gegner zu einem echten Monster. Wenn zum Beispiel, dann - schon 40 mal mehr... Angesichts der Bedeutung von „X“ natürlich noch kein Monster, aber schon so ein Subjekt mit dickem Bierbauch.

Und ein ganz einfaches Demonstrationslimit:

Beispiel 3

Grenzwert berechnen

Finden wir die Antwort heraus, indem wir GEISTLICH alles wegwerfen ältere Zähler- und Nennerterme:

Wir entscheiden:

Das Ergebnis ist eine endliche Zahl. Der Boss des Zählers ist genau doppelt so dick wie der Boss des Nenners. Dies ist eine Situation, in der Zähler und Nenner eine Größenordnung der Kleinheit.

Tatsächlich tauchte der Vergleich von Infinitesimalfunktionen schon lange in früheren Lektionen auf:
(Beispiel Nr. 4 der Lektion Grenzen. Beispiele für Lösungen);
(Beispiel Nr. 17 der Lektion Methoden zur Lösung von Grenzen) usw.

Ich erinnere Sie gleichzeitig daran, dass „x“ nicht nur gegen Null, sondern auch gegen eine beliebige Zahl sowie gegen Unendlich tendieren kann.

Was ist bei allen betrachteten Beispielen grundsätzlich wichtig?

Erstens, Die Grenze muss an einem bestimmten Punkt überhaupt vorhanden sein. Es gibt zum Beispiel keine Begrenzung. Wenn , dann ist die Zählerfunktion nicht am Punkt „plus Unendlich“ definiert (unter der Wurzel stellt sich heraus). unendlich groß eine negative Zahl). Ähnliche, scheinbar fantasievolle Beispiele finden sich in der Praxis: Unerwarteterweise gibt es auch einen Vergleich von Infinitesimalfunktionen und „Null-zu-Null“-Unsicherheit. Tatsächlich, wenn, dann. …Lösung? Wir entfernen den vierstöckigen Bruch, ermitteln die Unsicherheit und offenbaren sie mit der Standardmethode.

Vielleicht werden diejenigen, die anfangen, sich mit den Grenzen auseinanderzusetzen, von der Frage gedrillt: „Wie ist das möglich?“ Es besteht eine Unsicherheit von 0:0, aber man kann nicht durch Null dividieren!“ Völlig richtig, es ist unmöglich. Betrachten wir die gleiche Grenze. Die Funktion ist am Punkt Null nicht definiert. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht erforderlich. wichtig sodass die Funktion ÜBERALL existiert unendlich nah an Null Punkt (oder strenger - an jedem beliebigen Punkt). infinitesimale Nachbarschaft null).

Das wichtigste Merkmal von Limit als Konzept

ist das „x“ unendlich nah nähert sich einem bestimmten Punkt, aber er ist nicht „verpflichtet“, „dahin zu gehen“! Das heißt, für die Existenz eines Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt spielt keine Rolle, ob die Funktion selbst dort definiert ist oder nicht. Mehr dazu können Sie im Artikel lesen Cauchy-Grenzen, aber kehren wir zunächst zum Thema der heutigen Lektion zurück:

Zweitens, Die Zähler- und Nennerfunktionen müssen an einem bestimmten Punkt verschwindend klein sein. So stammt der Grenzwert beispielsweise von einem ganz anderen Befehl, hier tendiert die Zählerfunktion nicht gegen Null: .

Lassen Sie uns Informationen zum Vergleich von Infinitesimalfunktionen systematisieren:

Lassen - Infinitesimalfunktionen an einem Punkt(d. h. bei ) und es gibt eine Grenze für ihre Beziehung. Dann:

1) Wenn , dann die Funktion höhere Ordnung der Kleinheit, Wie .
Das einfachste Beispiel: , also eine kubische Funktion höherer Kleinheit als eine quadratische.

2) Wenn , dann die Funktion höhere Ordnung der Kleinheit, Wie .
Das einfachste Beispiel: , also eine quadratische Funktion höherer Kleinheitsordnung als eine lineare.

3) Wenn , wo eine Konstante ungleich Null ist, dann haben die Funktionen gleiche Größenordnung der Kleinheit.
Das einfachste Beispiel: Das heißt, der Zwerg läuft genau doppelt so langsam auf Null zu und der „Abstand“ zwischen ihnen bleibt konstant.

Der interessanteste Sonderfall ist wann . Solche Funktionen werden aufgerufen unendlich klein Äquivalent Funktionen.

Bevor wir ein einfaches Beispiel geben, wollen wir über den Begriff selbst sprechen. Gleichwertigkeit. Dieses Wort ist bereits im Unterricht begegnet. Methoden zur Lösung von Grenzen, in anderen Artikeln und wird mehr als einmal erscheinen. Was ist Äquivalenz? Es gibt eine mathematische Definition von Äquivalenz, logisch, physikalisch usw., aber versuchen wir, das Wesentliche selbst zu verstehen.

Äquivalenz ist in gewisser Hinsicht Äquivalenz (oder Äquivalenz).. Es ist Zeit, Ihre Muskeln zu dehnen und eine kleine Pause von der höheren Mathematik einzulegen. Jetzt herrscht draußen ein guter Januarfrost, daher ist eine gute Isolierung sehr wichtig. Bitte gehen Sie in den Flur und öffnen Sie den Kleiderschrank mit Kleidung. Stellen Sie sich vor, dass dort zwei identische Schaffellmäntel hängen, die sich nur in der Farbe unterscheiden. Einer ist orange, der andere lila. Hinsichtlich ihrer wärmenden Eigenschaften sind diese Schaffellmäntel gleichwertig. Sowohl im ersten als auch im zweiten Lammfellmantel werden Sie gleich warm sein, das heißt, die Wahl ist gleichwertig, ob Sie Orange oder Lila tragen – ohne zu gewinnen: „Eins zu eins ist eins.“ Aber aus Sicht der Verkehrssicherheit sind Schaffellmäntel nicht mehr gleichwertig - die orange Farbe ist für Fahrzeugführer besser sichtbar, ... und die Patrouille wird nicht aufhören, denn mit dem Besitzer solcher Kleidung ist alles klar. In diesem Zusammenhang können wir davon ausgehen, dass Schaffellmäntel „in der gleichen Größenordnung“ liegen. Relativ gesehen ist ein „orangefarbener Schaffellmantel“ doppelt so „sicher“ wie ein „lila Schaffellmantel“ („was schlimmer ist, aber auch“) im Dunkeln erkennbar“). Und wenn man nur mit Jacke und Socken in die Kälte geht, ist der Unterschied enorm, Jacke und Schaffellmantel sind also „von unterschiedlicher Größenordnung“.

...du steckst in Schwierigkeiten, du musst es auf Wikipedia mit einem Link zu dieser Lektion posten =) =) =)

Das offensichtliche Beispiel für unendlich kleine äquivalente Funktionen ist Ihnen bekannt – das sind die Funktionen erste bemerkenswerte Grenze .

Lassen Sie uns eine geometrische Interpretation der ersten bemerkenswerten Grenze geben. Machen wir die Zeichnung:

Nun, die starke Männerfreundschaft der Charts ist sogar mit bloßem Auge sichtbar. A Selbst meine eigene Mutter konnte sie nicht unterscheiden. Wenn also, dann sind die Funktionen infinitesimal und äquivalent. Was ist, wenn der Unterschied vernachlässigbar ist? Dann ist im Grenzfall der Sinus oben möglich ersetzen"X": , oder „x“ unten mit einem Sinus: . Tatsächlich stellte sich heraus, dass es sich um einen geometrischen Beweis der ersten bemerkenswerten Grenze handelte =)

Ebenso kann man es übrigens veranschaulichen jede wunderbare Grenze, was gleich eins ist.

! Aufmerksamkeit! Äquivalenz von Objekten bedeutet nicht gleichzeitige Übereinstimmung von Objekten! Orangefarbene und violette Schaffellmäntel sind gleichermaßen warm, aber es handelt sich um unterschiedliche Schaffellmäntel. Die Funktionen sind in der Nähe von Null praktisch nicht zu unterscheiden, es handelt sich jedoch um zwei verschiedene Funktionen.

Bezeichnung: Gleichwertigkeit wird durch eine Tilde angezeigt.
Zum Beispiel: – „Der Sinus von x ist äquivalent zu x“, wenn .

Aus dem oben Gesagten ergibt sich eine sehr wichtige Schlussfolgerung: Wenn zwei unendlich kleine Funktionen äquivalent sind, kann eine durch die andere ersetzt werden. Diese Technik wird in der Praxis häufig verwendet, und jetzt werden wir sehen, wie:

Bemerkenswerte Äquivalenzen innerhalb

Um praktische Beispiele zu lösen, benötigen Sie Tabelle bemerkenswerter Äquivalenzen. Ein Student kann nicht von einem einzigen Polynom leben, daher wird das Feld der weiteren Aktivitäten sehr breit sein. Lassen Sie uns zunächst anhand der Theorie der infinitesimalen Äquivalentfunktionen durch die Beispiele des ersten Teils der Lektion klicken Bemerkenswerte Grenzen. Beispiele für Lösungen, wobei folgende Grenzwerte gefunden wurden:

1) Lassen Sie uns das Limit lösen. Ersetzen wir die Funktion des Infinitesimalzählers durch die äquivalente Funktion des Infinitesimalzählers:

Warum ist ein solcher Ersatz möglich? Weil unendlich nah an Null Der Graph der Funktion stimmt praktisch mit dem Graphen der Funktion überein.

In diesem Beispiel haben wir Tabellenäquivalenz verwendet, wobei . Es ist praktisch, dass der „Alpha“-Parameter nicht nur „x“ sein kann, sondern auch eine komplexe Funktion, was gegen Null tendiert.

2) Finden wir die Grenze. Im Nenner verwenden wir die gleiche Äquivalenz, in diesem Fall:

Bitte beachten Sie, dass der Sinus zunächst unter dem Quadrat lag, daher ist es im ersten Schritt notwendig, ihn auch vollständig unter dem Quadrat zu platzieren.

Vergessen wir nicht die Theorie: In den ersten beiden Beispielen wurden endliche Zahlen erhalten, das heißt Zähler und Nenner derselben Kleinheitsordnung.

3) Finden wir die Grenze. Ersetzen wir die Funktion des Infinitesimalzählers durch die entsprechende Funktion , Wo :

Hier Zähler höherer Kleinheitsordnung als Nenner. Liliput (und das entsprechende Lilliputian) erreicht Null schneller als .

4) Finden wir die Grenze. Ersetzen wir die Funktion des Infinitesimalzählers durch eine äquivalente Funktion, wobei:

Und hier im Gegenteil der Nenner höhere Ordnung der Kleinheit, als der Zähler, entkommt der Zwerg schneller auf Null als der Zwerg (und sein äquivalenter Zwerg).

Sollten bemerkenswerte Äquivalenzen in der Praxis verwendet werden? Das sollte es, aber nicht immer. Daher ist es nicht ratsam, nicht sehr komplexe Grenzwerte (wie die gerade betrachteten) durch bemerkenswerte Äquivalenzen zu lösen. Möglicherweise wird Ihnen Hackarbeit vorgeworfen und Sie werden gezwungen, sie auf herkömmliche Weise mithilfe trigonometrischer Formeln und der ersten wunderbaren Grenze zu lösen. Mit dem jeweiligen Tool ist es jedoch sehr hilfreich, die Lösung zu überprüfen oder sogar sofort die richtige Antwort zu finden. Beispiel Nr. 14 der Lektion ist typisch Methoden zur Lösung von Grenzen:

In der finalen Version empfiehlt es sich, eine eher große Gesamtlösung mit Variablenwechsel zu erstellen. Aber die Antwort liegt nur an der Oberfläche – wir verwenden gedanklich die Äquivalenz: .

Und noch einmal die geometrische Bedeutung: Warum ist es zulässig, die Funktion im Zähler durch die Funktion zu ersetzen? Unendlich nah bei Null Ihre Diagramme können nur unter einem leistungsstarken Mikroskop unterschieden werden.

Zusätzlich zur Überprüfung der Lösung werden in zwei weiteren Fällen bemerkenswerte Äquivalenzen verwendet:

– wenn das Beispiel sehr komplex oder im Allgemeinen auf dem üblichen Weg nicht lösbar ist;
– wenn bedingt bemerkenswerte Äquivalenzen angewendet werden müssen.

Betrachten wir sinnvollere Aufgaben:

Beispiel 4

Finden Sie die Grenze

Die Agenda lautet Null-zu-Null-Unsicherheit und die Situation ist grenzwertig: Die Lösung kann auf herkömmliche Weise durchgeführt werden, aber es wird viele Transformationen geben. Aus meiner Sicht ist es durchaus angebracht, hier die wunderbaren Äquivalenzen zu verwenden:

Ersetzen wir infinitesimale Funktionen durch äquivalente Funktionen. Bei :

Das ist alles!

Einzige technische Nuance: Ursprünglich wurde der Tangens quadriert, sodass nach der Ersetzung auch das Argument quadriert werden muss.

Beispiel 5

Finden Sie die Grenze

Dieser Grenzwert ist durch trigonometrische Formeln und lösbar wunderbare Grenzen, aber die Lösung wird wiederum nicht sehr angenehm sein. Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Seien Sie besonders vorsichtig bei der Umrechnung des Zählers. Wenn hinsichtlich der Abschlüsse Unklarheiten bestehen, stellen Sie diese als Produkt dar:

Beispiel 6

Finden Sie die Grenze

Dies ist jedoch ein schwieriger Fall, da es sehr schwierig ist, eine Lösung auf standardisierte Weise umzusetzen. Lassen Sie uns einige wunderbare Äquivalenzen verwenden:

Ersetzen wir Infinitesimalzahlen durch äquivalente. Bei :

Das Ergebnis ist unendlich, was bedeutet, dass der Nenner kleiner ist als der Zähler.

Das Training verlief zügig ohne Oberbekleidung =)

Beispiel 7

Finden Sie die Grenze

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Überlegen Sie, wie Sie mit dem Logarithmus umgehen ;-)

Es ist nicht ungewöhnlich, dass bemerkenswerte Äquivalenzen in Kombination mit anderen Methoden zur Lösung von Grenzwerten verwendet werden:

Beispiel 8

Finden Sie den Grenzwert einer Funktion mithilfe äquivalenter Infinitesimalzahlen und anderer Transformationen

Beachten Sie, dass hier einige bemerkenswerte Äquivalenzen erforderlich sind.

Wir entscheiden:

Im ersten Schritt verwenden wir bemerkenswerte Äquivalenzen. Bei :

Mit Sinus ist alles klar: . Was tun mit dem Logarithmus? Stellen wir den Logarithmus in der Form dar und wenden wir die Äquivalenz an. Wie Sie verstehen, in diesem Fall und

Im zweiten Schritt wenden wir die in der Lektion besprochene Technik an.

Wie gezeigt wurde, sind Summe, Differenz und Produkt von Infinitesimalfunktionen infinitesimal, aber das Gleiche gilt nicht für das Besondere: Die Division einer Infinitesimalfunktion durch eine andere kann zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.

Wenn zum Beispiel a(x) = 2x, p(x) = 3x, dann

Wenn a(x) = x 2, P (l;) = x 3, dann

Es empfiehlt sich, Regeln zum Vergleich von Infinitesimalfunktionen unter Verwendung geeigneter Terminologie einzuführen.

Lass an X -» A die Funktionen a(x) und p(.v) sind infinitesimal. Anschließend werden je nach Wert folgende Vergleichsmöglichkeiten unterschieden Mit Grenze an einem Punkt A ihre Beziehung:

• 1. Wenn Mit= I, dann sind a(x) und P(x) äquivalente Infinitesimalzahlen: a(x) - p(x).
• 2. Wenn Mit= 0, dann ist a(x) ein Infinitesimal höherer Ordnung als p(x) (oder hat eine höhere Kleinheitsordnung).
• 3. Wenn Mit = D* 0 (D- Zahl), dann Oh) und P(x) sind Infinitesimalzahlen derselben Ordnung.

Oft reicht es nicht aus zu wissen, dass ein Infinitesimal im Verhältnis zu einem anderen ein Infinitesimal einer höheren Kleinheitsordnung ist; man muss auch die Größe dieser Ordnung abschätzen. Daher wird die folgende Regel verwendet.

4. Wenn Mm - - =d*0, dann ist a(x) ein Infinitesimalwert l-ter Ordnung bezüglich - *->lp"(*)

buchstäblich P(x). Verwenden Sie in diesem Fall das Symbol o „o“ klein"): a(x) = o(P(x)).

Beachten Sie, dass ähnliche Regeln für den Vergleich von Infinitesimalfunktionen für x -»oo gelten, X-" -oo, X-> +«>, sowie bei einseitigen Grenzen bei x -» A links und rechts.

Aus den Vergleichsregeln ergibt sich eine wichtige Eigenschaft:

dann gibt es eine Grenze 1, und beide Grenzwerte sind gleich.

In einer Reihe von Fällen vereinfacht die bewährte Aussage die Berechnung von Grenzwerten und die Durchführung von Schätzungen.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

1. Sündenfunktionen X Und X bei X-» 0 sind aufgrund der Grenze (8.11) äquivalent zu Infinitesimalen, d.h. bei X -> 0 Sünde X ~ X.

Tatsächlich haben wir:

• 2. Sündenfunktionen kh und Sünde X sind bei q: -> 0 Infinitesimale gleicher Ordnung, da
• 3. Funktion a(x) = cos ah – cos bx (a * b) ist bei X-» 0 Infinitesimal zweiter Ordnung der Kleinheit in Bezug auf Infinitesimal.v, da

Beispiel 7. Lim finden

*-+° x + x"

Lösung. Da Sünde kh ~ kh Und X + x 2 ~ X:

Vergleich unendlich großer Funktionen

Auch für unendlich große Funktionen gelten ähnliche Vergleichsregeln, mit dem einzigen Unterschied, dass für sie anstelle des Begriffs „Ordnung der Kleinheit“ der Begriff „Ordnung des Wachstums“ verwendet wird.

Lassen Sie uns das Gesagte anhand von Beispielen erläutern.

1. Funktionen f(x) = (2 + x)/x und g(x) = 2/x bei X-» 0 sind gleichbedeutend mit unendlich groß, da

Funktionsdaten /(X) und #(*) haben die gleiche Wachstumsreihenfolge.

2. Vergleichen wir die Wachstumsordnungen der Funktionen f(x) = 2x?+Ich und g(x)= x 3 + X bei X-> warum die Grenze ihres Verhältnisses finden:

Daraus folgt die Funktion G(x) hat eine höhere Wachstumsordnung als die Funktion / (x).

3. Unendlich große Funktionen für x -» °o /(x) = 3x 3 + X und #(x) = x 3 - 4x 2 haben die gleiche Wachstumsreihenfolge, da

4. Die Funktion /(x) = x 3 + 2x + 3 ist unendlich groß für x -»

dritter Ordnung bezüglich einer unendlich großen Funktion G(x) = x - I, da

Prüfung

Disziplin: Höhere Mathematik

Thema: Grenzen. Vergleich unendlich kleiner Größen

1. Grenze der Zahlenfolge

2. Funktionsgrenze

3. Die zweite wunderbare Grenze

4. Vergleich unendlich kleiner Größen

Literatur

1. Grenze der Zahlenfolge

Die Lösung vieler mathematischer und angewandter Probleme führt zu einer auf eine bestimmte Weise spezifizierten Zahlenfolge. Lassen Sie uns einige ihrer Eigenschaften herausfinden.

Definition 1.1. Wenn für jede natürliche Zahl

Basierend auf Definition 1 ist klar, dass eine Zahlenfolge immer unendlich viele Elemente enthält. Die Untersuchung verschiedener Zahlenfolgen zeigt, dass sich ihre Mitglieder mit zunehmender Zahl unterschiedlich verhalten. Sie können auf unbestimmte Zeit ansteigen oder abnehmen, sich ständig einer bestimmten Zahl nähern oder überhaupt kein Muster aufweisen.

Definition 1.2. Nummer

Eine Folge, die einen Grenzwert hat, heißt konvergent. In diesem Fall schreiben sie

Um die Frage der Konvergenz einer Zahlenfolge zu klären, ist es natürlich notwendig, ein Kriterium zu haben, das nur auf den Eigenschaften ihrer Elemente basiert.

Satz 1.1.(Satz von Cauchy über die Konvergenz einer Zahlenfolge). Damit eine Zahlenfolge konvergent ist, ist dies für jede Zahl notwendig und ausreichend

Nachweisen. Notwendigkeit. Angesichts der Zahlenfolge

Es folgt dem

Angemessenheit. Das ist gegeben

Nehmen wir ein beliebiges

Es folgt dem