24. Sissetulev nõuete voog

24.1 QS-i struktuur

QS-i uurimine algab sissetuleva nõuetevoo analüüsiga. Sissetulevate nõuete voog esindab nõuete kogumit, mis sisenevad süsteemi ja vajavad hooldust. Uuritakse sissetulevat nõuete voogu, et teha kindlaks selle voo mustrid ja veelgi parandada teenuse kvaliteeti.

Enamasti on sissetulev voog kontrollimatu ja sõltub mitmest juhuslikust tegurist. Ajaühiku kohta saabuvate päringute arv on juhuslik suurus. Juhuslik muutuja on ka ajavahemik külgnevate sissetulevate päringute vahel. Siiski eeldatakse, et on antud keskmine vastuvõetud päringute arv ajaühiku kohta ja keskmine ajavahemik külgnevate sissetulevate päringute vahel.

Helistatakse keskmist teenindussüsteemi sisenevate päringute arvu ajaühiku kohta taotluste intensiivsus ja see määratakse järgmise seosega:

Kus T - järgnevate päringute saabumise vahelise intervalli keskmine väärtus.

Paljude reaalsete protsesside puhul kirjeldab nõuete voogu üsna hästi Poissoni jaotusseadus. Sellist voolu nimetatakse kõige lihtsam.

Lihtsaimal voolul on järgmised olulised omadused:

Statsionaarne omadus, mis väljendab tõenäosusliku voolurežiimi muutumatust ajas.

See tähendab, et võrdsete ajavahemike järel süsteemi sisenevate päringute arv peaks olema keskmiselt konstantne. Näiteks päevas keskmiselt laadimisele saabuvate autode arv peaks erinevatel ajaperioodidel olema sama, näiteks kümnendi alguses ja lõpus.

Ei mingit järelmõju, mis väljendab kahe või enama nõudmise samaaegse saabumise praktilist võimatust (sellise sündmuse tõenäosus on mõõtmatult väike vaadeldava ajaperioodi suhtes, mil viimane kipub olema null).

Kuna iga teenindussüsteemi toimimise eesmärk on rahuldada teenusele esitatavaid rakendusi (nõudeid), on rakenduste (nõuete) voog järjekorrateooria üks põhilisi ja olulisemaid mõisteid. Peate õppima, kuidas sissetulevat nõuete voogu kvantitatiivselt kirjeldada, kuid selleks peate välja selgitama selle olemuse ja struktuuri.

Peaaegu iga teenindussüsteemi sisenev päringute voog on juhuslik protsess. Tõepoolest, kui me nõustume t=0 esialgseks hetkeks, siis paljudes voogudes (välja arvatud juhul, kui nõudmised saabuvad rangelt graafiku alusel) on järgmise päringu saabumise hetke, aga ka järgnevate päringute saabumise hetki kas võimatu või üsna raske täpselt ennustada . Näiteks on võimatu täpselt näidata hetki, millal kliendid stuudiosse saabuvad, patsiendid haiglasse jõuavad, kõned automaatsesse telefonikeskjaama, seadmed remonditöökotta jne.

Järelikult on avalduste laekumise hetked ja ka nendevahelised intervallid üldiselt sõltumatud juhuslikud suurused. Seejärel tuleks päringute järjekorrasüsteemi vastuvõtmise protsessi käsitleda kui tõenäosuslikku või juhuslikku protsessi. Tähistame sellist protsessi tähisega X(t). See funktsioon määrab süsteemi teatud aja jooksul vastuvõetud päringute arvu . Iga fikseeritud t funktsiooni jaoks X(t) on juhuslik muutuja. Tõepoolest, kui valida kasvõi ühepikkused ajaintervallid, siis sellisel juhul ei saa te olla kindel, et igasse intervalli saabub sama arv nõudeid.

Üle teatud aja Avaldust ei pruugi olla üks või saabuda 1, 2,... avaldust. Kuid olenemata sellest, millise ajavahemike pikkuse me valime, on rakenduste arv ainult täisarv.

Nõuete voogu saab kujutada funktsiooni juhusliku suuruse ühe teostuse graafikuna X(t), võtta ainult mittenegatiivsed täisarvud. Sel juhul kujutab graafik (joonis 24.2) astmelist joont, mille hüpped on võrdsed kas ühe või mitme ühikuga, olenevalt sellest, kas nõuded saabuvad ükshaaval või rühmadena. Nii et juhuslik protsess X(t), on järgmised omadused.

1. Iga fikseeritud t funktsiooni X(t), võtab mittenegatiivsed täisarvud 0, 1, 2,...,R,... ja ei vähene suurenedes.

2. Teatud aja jooksul saadud taotluste arv , sõltub selle intervalli pikkusest, st t väärtusest.

3. Protsessi juurutused on kujutatud astmeliste joontega, mis on üksteisest mõnevõrra erinevad. Juhuslike protsesside teooriast on teada, et protsess on tõenäosuslikust vaatenurgast täielikult defineeritud, kui on teada kõik selle mitmemõõtmelised jaotusseadused:

Üldjuhul sellise funktsiooni leidmine on aga väga raske ja kohati lahendamatu ülesanne. Seetõttu püütakse praktikas kasutada protsesse, millel on omadused, mis võimaldavad leida lihtsamaid viise nende kirjeldamiseks. Need omadused hõlmavad järgmist:

Statsionaarsus (parem homogeensus aja jooksul);

Järelmõju puudumine (Markovity), mõnikord räägitakse mälu puudumisest;

Tavalisus.

Loetletud omadusi käsitleti eespool statsionaarsete ja Markovi protsesside uurimisel, seega tuletame siinkohal meelde ainult nende omaduste olemust järjekorrateooria seisukohalt.

Nõudmiste voogu nimetatakse ajas statsionaarseks või homogeenseks, kui teatud arvu nõudmiste saamise tõenäosus teatud aja jooksul sõltub ainult intervalli pikkusest, mitte aga selle ajalisest asukohast (teisisõnu ei sõltu päritolust). Seega on statsionaarse voolu korral tõenäosus, et intervalli jooksul jõuab täpselt kohale R nõuded on võrdne kättesaamise tõenäosusega R perioodi nõuded [a, +t] , Kus a>0, st.

See tähendab, et voolu tõenäosuslikud omadused (jaotusseaduse parameetrid) ei tohiks aja jooksul muutuda.

Paljudel tegelikel nõudluse voogudel on statsionaarsed omadused, kui arvestada neid lühikeste perioodidega. Selliste voogude hulka kuuluvad: kõnede voog automaatsesse telefonikeskjaama teatud ajavahemikel, klientide vool poodi, remonti vajavate raadioseadmete voog, reisijate liikluse intensiivsus jne. loetletud vood muutuvad päevasel ajal (öösel helistamise tõenäosus väiksem kui päeval, ühistranspordi tipptunnid).

Mõnes voos ei sõltu suvalise ajahetke järel süsteemi sisenevate päringute arv varem laekunud päringute arvust ja nende saabumise hetkedest, st päringu saabumise vahelised intervallid loetakse iseseisvateks suurusteks ja seda ei ole. seos nende vahel. Süsteemi tulevane olek ei sõltu selle minevikust. Selle omadusega voolu nimetatakse järelmõjuta vooluks või Markovi vooluks. Järelmõju puudumise (mälu puudumine) omadus on omane paljudele reaalsetele voogudele. Näiteks PBX-i kõnede voog on järelmõjuta voog, kuna reeglina saabub järgmine kõne sõltumata sellest, millal ja kui palju kõnesid enne seda hetke oli.

Paljudel juhtudel on nõuete voo olemus selline, et kahe või enama nõude samaaegne esinemine on võimatu või peaaegu võimatu. Selle omadusega voolu nimetatakse tavaliseks.

Kui R R >2 (h) - esinemise tõenäosus perioodi jooksul h rohkem kui üks nõue, siis tavalise voolu jaoks peaks olema:

,

st voolu tavapärasus eeldab, et lühikese aja jooksul tekib rohkem kui üks nõudlus h oleks lõpmata väike kogus, mis on kõrgemat järku kui h. Mõne reaalse voo puhul on see omadus ilmne, kuid teistes aktsepteerime seda kui üsna head lähedust tegelikkusele. Sellise voo klassikalised näited on kõnede voog PBX-ile ja klientide voog stuudios.

Nõudevoogu, millel on need kolm omadust, nimetatakse lihtsaimaks. Võib näidata, et iga kõige lihtsamat voogu kirjeldab Poissoni protsess. Selleks tuletame meelde juhuslike funktsioonide teoorias omaks võetud Poissoni protsessi definitsiooni.

Juhuslik protsess X(t) (0≤ t<∞) täisarvu väärtusi nimetatakse Poissoni protsessiks, kui see on sõltumatute juurdekasvudega protsess või kui protsessi mis tahes juurdekasv ajavahemikus h jaotatakse vastavalt Poissoni seadusele parameetriga λ h, Kus λ>0 need.

Eelkõige siis, kui t=0, X(0)=0, siis (3) kirjutatakse ümber järgmiselt:

(4)

Siin V r (h) tähendab tõenäosust, et meid huvitav sündmus toimub täpselt Rüks kord ajavahemikus h(järjekorrateooria seisukohalt V r (h) määrab tõenäosuse, et teatud aja jooksul h siseneb teenindussüsteemi täpselt R nõuded).

Parameetri tähendus X Seda on lihtne teada saada, kui leiate Poissoni protsessi matemaatilise ootuse: M [X(t)]=M. Kell t = 1 saame M[X(1)] = 1. Seetõttu on rakenduste keskmine arv ajaühiku kohta. Seetõttu väärtus λ mida sageli nimetatakse intensiivsuseks või voolutiheduseks.

Poissoni protsessi definitsioonist tulenevad kohe kolm omadust, mis on identsed ülalnimetatutega:

1) juurdekasvu sõltumatus. Poissoni protsessi juurdekasvu sõltumatus tähendab järelmõjude puudumist – protsessi Markovi olemust.

2) Homogeensus ajas. See tähendab, et tõenäosused V r (h) ei sõltu alghetkest t vaadeldav periood , kuid sõltuvad ainult intervalli pikkusest h:

3) Tavalisus. Poissoni protsessi tavapärane olemus tähendab, et nõudmiste rühma ühel ja samal hetkel saabumine on praktiliselt võimatu.

Seega on kahe või enama nõudmise samaaegne saabumine lühikese aja jooksul h ebatõenäoline

mis näitab, et Poissoni protsess on tavaline.

Seega oleme kindlaks teinud, et Poissoni protsessiga kirjeldatud voog on kõige lihtsam. Siiski kehtib ka vastupidine oletus: kõige lihtsamat voolu kirjeldab Poissoni protsess. Selle tulemusena nimetatakse kõige lihtsamat voolu sageli Poissoni vooluks. Poissoni protsess järjekorrateoorias on erilisel kohal, sarnaselt sellega, mis tõenäosusteoorias teiste jaotusseaduste hulgas on normaalseadusel. Ja asi pole selles, et seda kirjeldatakse matemaatiliselt kõige lihtsamalt, vaid selles, et see on kõige levinum. Poissoni vool on piirav (asümptootiline vool, kui kombineerida palju muid vooge).

Järjekorrateooria elemendid

§ 1. Sissejuhatus

Järjekorrateooriat nimetatakse muidu järjekorrateooriaks. Tõepoolest, järjekorrateooria on suuresti pühendatud erinevates süsteemides tekkivate järjekordade uurimisele.

Järjekorrasüsteemide peamised omadused on järgmised juhuslikud suurused:

keskmine aeg, mille klient järjekorras viibib;

aja osakaal, mille jooksul süsteem on jõude (klientide puudumise tõttu).

Järjekorrasüsteemide funktsionaalsuse määravad järgmised tegurid:

klientide jaotusmomentide jaotamine;

teenuse kestuse jaotus;

teenindava süsteemi konfiguratsioon (jada-, paralleel- või paralleelseeriahooldus);

distsipliin järjekorras (teenindus saabumise järjekorras, teenindus vastupidises järjekorras, klientide juhuslik valik);

ooteploki maht (piiratud või piiramatu);

nõudlusallika võimsus või võimsus (piiratud ja piiramatu);

mõned muud süsteemi omadused (klientide võimalus liikuda ühest järjekorrast teise, mitte-null tõenäosus rikkeks jne).

Peamised tegurid on kaks esimest.

Iga järjekorrasüsteem koosneb järgmistest põhielementidest:

sissetulevate klientide voog;

teenindusseade;

distsipliin reas.

§ 2 . Klientide sisendvoog

Vaatleme juhuslike muutujate jadasid

Teeskleme seda t o = 0 – süsteemi töö algushetk; t 1 = t o + τ 1 , t 2 = t 1 + τ 2 , …, t k = t k -1 + τ k , …., kus τ k on sõltumatud juhuslikud muutujad, millel on eksponentsiaalne jaotus parameetriga λ.

Z siin t 1 – esimese kliendi saabumise hetk, τ 1 – ajavahemik süsteemi töö algusest kuni esimese kliendi saabumise hetkeni, τ 2 – ajavahemik esimese ja teise kliendi saabumise vahel jne.

Järjekord
, nimetatakse ülaltoodud viisil määratletud kõige lihtsam (Poisson) voolu. Konstant nimetatakse lihtsaimaks vooluparameetriks.

Lihtsaima voolu omadused

1. Voolu nihe väärtuse T järgi

Olgu lihtne vool
parameetriga λ.

Voolu nihutamisega summa võrra T, saame oja
, mis on ka kõige lihtsam voog sama parameetriga λ. Näiteks kui T on vahel Ja , siis näeb uus voog välja selline:

, ….

2. Kahe lõime ühendamine

P
Olgu kaks sõltumatut lihtsamat voolu

Koos
parameetrid λ (1) , λ (2) vastavalt. Ütleme, et voog tekkis kahe voo liitmise tulemusena, kui komplekt ( tk) on hulkade liit ( tk (1) }, {t k ( 2) ) ja komplekti elemendid ( tk) on järjestatud kasvavas järjekorras.

P
kahe sõltumatu lihtvoo liitmisel tekkiv voog on samuti parameetriga lihtvoog λ = λ (1) + λ (2) , Kus λ(j)- voolu parameeter

3. Lihtsa voo poolitamine

Olgu parameetriga lihtne voog λ,

ja sõltumatute juhuslike muutujate jada
, võttes kaks väärtust:

P(ξ i = 1) = lk, P(ξ i = 0) = q, lk  0, q  0, lk + q = 1.

Selliseid juhuslikke muutujaid nimetatakse Bernoulli(koos parameetriga lk). Voo jagamise protseduur ( tk) on järgmine: number t i viita esimesele voolule, kui ξ i= 1; kui ξ i= 0, siis arv t i viitame teisele voolule. Nimetame seda voo kaheks jagamise operatsiooni Bernoulli(koos parameetriga lk).

Elementaarvoolu Bernoulli jaotusest tulenevad voolud on sõltumatud elementaarvood vastavalt parameetritega λ (1) = λp, λ (2) = λq.

Pange tähele, et kõige lihtsama voolu nende omaduste tõendid leiate siit.

H
läbi X(t) edaspidi tähistame hetkel süsteemis olevate klientide arvu t, st.

Poissoni protsesside omadused

Poissoni protsessi juurdekasv on ühtlane.

Tähistagem poolt X((a,b])= X(b) – X(a) protsessi juurdekasv, mida saab tõlgendada kui klientide arvu, kes sisenevad süsteemi intervalli ( a,b]. Homogeensus tähendab tingimuse täitmist:

P( X((a,b]) = k) = P( X((0,b-a]) = k) = P( X(b-a) = k),

need. süsteemi sisenevate klientide arvu tõenäosusjaotus intervallis ( a,b], sõltub ainult selle intervalli pikkusest.

Poissoni protsessi sammud on sõltumatud.

Mõelge intervallile (0, b] ja oletame, et see on jagatud disjunktilisteks intervallideks (0, b 1 ], (b 1 , b 2 ], , ( b N-1, b N]. Lase b 0 = 0. Siis X((b 0 , b 1 ]), X((b 1 , b 2 ]), , X((b N-1, b N ]) – süsteemi sisenevate klientide arv vastavatel ajaperioodidel. Need kogused on sõltumatud, s.t.

P( X((b 0 , b 1 ]) = i 1, , X((b N-1, b N ]) = i N) =

P( X((b 0 , b 1 ]) = i 1)  P( X((b N-1, b N ]) = i N).

Tõendid nende omaduste kohta leiate aadressilt.

Probleemid § 2 jaoks.

2.1. Juhuslikke muutujaid on kaks  1 ja  2. Need on sõltumatud ja neil on parameetritega eksponentsiaalne jaotus  1 ja  2 vastavalt. Tutvustame järgmist juhuslikku muutujat:  = min(  1 ,  2). Tõesta, et sellel suurusel on parameetriga eksponentsiaalne jaotus = 1 + 2 .

2.2. Antud on kaks sõltumatut juhuslikku muutujat  1 Ja  2, millel on parameetriga Poissoni jaotus  1 Ja  2 vastavalt. Olgu juhuslik suurus  = 1 + 2. Tõesta, et sellel suurusel on parameetriga Poissoni jaotus  = 1 + 2 .

2.3. Lase  on klientide arv kauplustes ja sellel on parameetriga Poissoni jaotus  . Las iga klient tõenäosusega lk sooritab selles poes ostu. Peate tõestama, et selles poes ostu sooritanud klientide arvul on parameetriga Poissoni jaotus p.

2.4. Kliendid saabuvad restorani Poissoni voolu järgi keskmise sagedusega 20 klienti tunnis. Restoran avatakse kell 11.00.

a) tõenäosus, et kell 11.12 on restoranis 20 külastajat, eeldusel, et kell 11.07 oli restoranis 18 külastajat;

b) tõenäosus, et uus klient saabub restorani ajavahemikus 11.28-11.30, kui on teada, et eelmine klient saabus restorani kell 11.25.

2.5. Tooted võetakse laost, mille mahutavus on 80 ühikut ladustatud tooteid, vastavalt Poissoni voolule intensiivsusega 5 ühikut toodet päevas.

a) tõenäosus, et esimese kahe päeva jooksul võetakse laost 10 ühikut kaupa;

b) tõenäosus, et neljanda päeva lõpuks ei ole lattu enam ühtegi tooteühikut.

§

3. Surma ja paljunemise protsess

Ehitame üles surma ja paljunemise protsessi X(t) "konstruktiivselt".

Vaatleme kahte järjestust ja. Esimene vastutab klientide süsteemi sisenemise (paljundamine) ja teine ​​​​klientide teenindamise eest (surm):

Lisaks olgu antud kaks sõltumatut jada
sõltumatud juhuslikud muutujad eksponentsiaalse jaotusega parameetriga =1.

Protsess X(t) on konstrueeritud nii. Lase
, Kus
. Siis vaheajal
protsessi X t) säilitab oma väärtuse , Kus
,

.

Hetkel t 1 protsessi väärtus X(t) suureneb või väheneb ühe võrra vastavalt sellele, kumb kahest momendist
tuleb varem:

Seega oleme pannud protsessi tähenduse X t) punktis t 1 võrdne ; siis protsessi areng X(t) intervalli kohta
, Kus
Ja
, järgib sama seadust: X(t) ei muutu sellel intervallil hetkel t 2

suureneb ühe võrra, kui
, ja muidu väheneb ühe võrra.

Kui
, siis protsessi väärtus X(t) suureneb juhuslikul hetkel ühe võrra
.

Sel viisil üles ehitatud protsess
, nimetatakse ajas ühtseks surma- ja paljunemisprotsessiks; selle jaotused on täielikult määratud parameetrite komplekti ja algjaotusega X(0):

Mugav on kasutada järgmist diagramm esindama protsessi arengut X(t):

Ülaosas olevad nooled vastavad reprodutseerimisprotsessi dünaamikale: alates i- märkige, et protsess läheb ( i+1)-s olek intensiivsusega ; allolevad nooled vastavad surmaprotsessi dünaamikale: intensiivsusega protsess alates i-riik läheb ( i-1)-ndas olek.

Funktsioonide komplekt

kirjeldab protsessi jaotust X(t); Allpool esitame võrrandisüsteemi, mida need funktsioonid rahuldavad.

Pange tähele, et mitte kõik parameetrid
vastab "mitte-mandunud" protsessile X(t); asi on selles, et kui numbrid kasvavad väga kiiresti, millal
, siis protsess X(t) viimasel hetkel t võib “plahvatada”, st. positiivse tõenäosusega ületada mis tahes taset ja suurendada kuni
.

Nii käitub näiteks bakterite populatsioon soodsas keskkonnas. Plahvatuseni viivaid keemilisi reaktsioone kirjeldavad protsessid on üles ehitatud sarnaselt. X(t Protsessid
), mille jaoks kõik , kuuluvad nn puhta paljunemise protsessid
. Protsessid, mille jaoks , kutsus.

puhta hävitamise protsessid
Järgmine lemma annab parameetritele vajalikud ja piisavad tingimused
, mis tagavad puhta paljunemise protsessi lõplikkuse

parameetritega.. Lemma

Olgu puhta reprodutseerimise protsess parameetritega . Siis selleks, et protsess oleks lõplik, on vajalik ja piisav, et seeriad lahknevad X(t Lase ) samade parameetritega surma- ja paljunemisprotsess protsessi
, samuti parameetrid

P( X(t. See on ilmne X + (t)  ) .

Seetõttu saame lemmast järelduse.

Tagajärg. Kui suvalise paljunemisprotsessi surma korral X(t) on tingimus täidetud
, siis mis tahes
õiglane P( X(t)  ) = 1, st. protsess on lõppenud.

Lemma tõestuse leiate aadressilt.

Probleemid § 3 jaoks

3.1. Vaatleme surma ja paljunemise protsessi, mille jaoks

Sellele protsessile vastav diagramm on vajalik.

3.2. Laske klientidel, kes soovivad telefoni teel abi saada, moodustada parameetriga lihtne voog. Las iga vestlus kestab - orienteeruv aeg. Lase X(t) on klientide arv süsteemis ajahetkel t. Joonistage protsessile vastav diagramm X(t).

3.3. Olgu ülesande 3.2 tingimustes

telefonis on mälu ühe kliendi jaoks: kui klient helistab ja telefon on hõivatud, kuid telefoni mälu on vaba, siis pakub masin toru katkestamist ja kõnet ootamist. Kui telefon on vaba, kostab kõne;

on automaatkilp ja kaks telefoni, igal telefonil on oma operaator: kui kliendi kõne ajal on vaba telefon, siis adresseerib jaotuskilp kliendi automaatselt sellele telefonile;

kommutaatoril (vt punkt 2) on mälu ühe kliendi jaoks;

Igas telefonis (vt punkt 2) on mälu ühe kliendi jaoks.

Kõigi ülaltoodud juhtudel joonistage protsessile vastav diagramm X(t).

3.4. Tehke kindlaks, kas puhta paljunemise protsessid on lõplikud järgmiste paljunemisintensiivsustega:

A)  k =k +  ,  >0,  >0, k= 0, 1, ...

b)  0 = 1,  k +1 = (k+1) k , k = 0, 1, ...

V)  k =  k , k = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. Surma ja sigimise protsessile vastavad diferentsiaalvõrrandid

Teeskleme seda X(t) – surma- ja paljunemisprotsess tunnustega ja. Olgu mõned lõplikud arvud A Ja B esineb ebavõrdsust  i  A + Bi, i= 0, 1, ...See tingimus tagab protsessi lõplikkuse X(t). Samal ajal nõustume, et vasakpoolne ülemine nool puudutab igat olekut (isegi olekusse 0) ja sünni intensiivsust λ võib olla võrdne nulliga (näiteks λ –1 = 0); igast olekust tuleb alumine nool vasakule ja surma intensiivsus μ võib olla ka võrdne nulliga (näiteks λ –1 = 0). Diagrammi sellisel viisil ümberdefineerimine ei muuda asja olemust, kuid see on kasulik edasistes aruteludes. Vaatame diagrammi, mis vastab meie protsessile X(t):

Tähistagem, nagu varemgi, poolt

P k (t) = P(X(t) = k), k = 0,1,…,

tõenäosus, et kindlal hetkel t klientide arv X(t) on võrdsed k.

1. teoreem.OmadusedprotsessiX(t), mis on defineeritud ülal, vastab järgmisele diferentsiaalvõrrandi süsteemile

Kus k = 0,1,…, ja algtingimused

Tasub selgitada, et esimene rida (koos k= 0) võrrandisüsteemil (1) on vorm

Tõestus. Tähistagem poolt P k ( t+Δ) =P(X(t+ Δ) = k).

Kasutame ühe muutuja funktsiooni tuletise definitsiooni:

.

Mõelge järgmistele sündmustele:

A 0 (t, Δ) = (lõigul [ t, t+Δ] protsess X(t) ei teinud ainsatki hüpet);

A 1 (t, Δ) = (lõigul [ t, t+Δ] protsess X(t) tegi täpselt ühe hüppe);

A 2 (t, Δ) = (lõigul [ t, t+Δ] protsess X(t) tegi kaks või enam hüpet).

Siis on selge, et

Tähistagem täiendavalt

; läbi
kolm eksponentsiaalset juhuslikku muutujat koos parameetritega
. Olgu kõik need suurused sõltumatud. Siis on tõsi, et statsionaarne (stabiilne) režiim. P k (t) = P(praegu süsteemis t asub k kliendid).

Leia diferentsiaalvõrrandisüsteemi lahendus, samuti statsionaarsed tõenäosused.

4.2. Surma ja paljunemise protsesside jaoks ülesandest 3.3 kirjutage üles tõenäosustega seotud diferentsiaalvõrrandid P k (t) = P(praegu süsteemis t asub k kliendid).

Leidke statsionaarsed tõenäosused.

Juhtimisprobleemide lahendamisel, sealhulgas vägede juhtimisel ja juhtimisel, tekib sageli mitmeid sarnaseid probleeme:

• sidesuuna, raudteesõlme, haigla jms läbilaskevõime hindamine;
• remondibaasi efektiivsuse hindamine;
• raadiovõrgu sageduste arvu määramine jne.

Kõik need ülesanded on sarnased selles mõttes, et nendega kaasneb suur nõudlus teenuse järele. Selle nõudluse rahuldamiseks on kaasatud teatud elementide kogum, mis moodustab järjekorrasüsteemi (QS) (joonis 2.9).

QS-i elemendid on:

• sisend (sissetulev) nõudluse voog(taotlused) kättetoimetamiseks;
• teenindusseadmed (kanalid);
• teenust ootavate rakenduste järjekord;
• vaba päev ( väljaminev) voog töödeldud taotlused;
• teenindamata rakenduste voog;
• vabade kanalite järjekord (mitme kanaliga QS-i jaoks).

Sissetulev vool on teenusepäringute kogu. Sageli tuvastatakse rakendus selle kandjaga. Näiteks ühingu töökotta sisenev vigaste raadioseadmete voog esindab päringute voogu – teenuse nõuded selles QS-is.

Reeglina tegeleme praktikas nn korduvate voogudega – voogudega, millel on järgmised omadused:

• statsionaarsus;
• tavaline;
• piiratud järelmõju.

Esimesed kaks omadust määratlesime varem. Mis puudutab piiratud järelmõju, siis see seisneb selles, et sissetulevate rakenduste vahelised intervallid on sõltumatud juhuslikud muutujad.

Korduvaid lõime on palju. Iga intervalljaotuse seadus genereerib oma korduva voolu. Korduvaid voogusid nimetatakse muidu palmivoogudeks.

Täieliku järelmõju puudumisega voolu, nagu juba märgitud, nimetatakse statsionaarseks Poissoniks. Tema juhuslikel intervallidel tellimuste vahel on eksponentsiaalne jaotus:

siin on voolu intensiivsus.

Voolu nimi – Poisson – tuleneb sellest, et selleks voolu tõenäosus käskude ilmumine intervalli ajal määratakse Poissoni seadusega:

Seda tüüpi voolu, nagu varem märgitud, nimetatakse ka kõige lihtsamaks. See on täpselt see voog, mida disainerid QS-i arendamisel eeldavad. See on tingitud kolmest põhjusest.

Esiteks, on seda tüüpi voog järjekorrateoorias sarnane tõenäosusteooria normaaljaotuse seadusega selles mõttes, et kõige lihtsam voog saavutatakse, kui minnakse voolu piirini, mis on suvaliste karakteristikutega voogude summa lõpmatu suurenemisega terminid ja nende intensiivsuse vähenemine. See tähendab, et suvaliste sõltumatute (ilma domineerimiseta) intensiivsusega voogude summa on kõige lihtsam intensiivsusega voog

Teiseks, kui teenindamiskanalid (seadmed) on mõeldud kõige lihtsamate päringute voo jaoks, tagatakse teist tüüpi voogude teenindamine (sama intensiivsusega) mitte vähem tõhusalt.

Kolmandaks, just see voog määrab Markovi protsessi süsteemis ja sellest tulenevalt ka süsteemi analüütilise analüüsi lihtsuse. Muude voogude puhul on QS-i toimimise analüüs keeruline.

Sageli on süsteeme, milles sisendpäringute voog sõltub teenindatavate päringute arvust. Selliseid SMO-sid nimetatakse suletud(muidu - avatud). Näiteks ühingukommunikatsiooni töötoa tööd saab kujutada suletud ahelaga QS mudeliga. Olgu see töökoda mõeldud ühingus olevate raadiojaamade teenindamiseks. Igaühel neist on ebaõnnestumise määr. Rikutud seadmete sisendvoo intensiivsus on järgmine:

kus on juba remonditöökojas olevate raadiojaamade arv.

Rakendustel võib teenuse alustamiseks olla erinev sobivus. Sel juhul ütlevad nad, et rakendused heterogeenne. Mõnede rakenduste voogude eelised teiste ees määratakse prioriteedi skaala järgi.

Sisendvoo oluline omadus on variatsioonikoefitsient:

kus on intervalli pikkuse matemaatiline ootus;

Juhusliku suuruse standardhälve (intervalli pikkus).

Lihtsaima voolu jaoks

Enamiku tõeliste lõimede jaoks.

Kui vool on korrapärane, deterministlik.

Variatsioonikoefitsient- tunnus, mis kajastab taotluste vastuvõtmise ebaühtlust.

Teeninduskanalid (seadmed). QS-il võib olla üks või mitu teenindusseadet (kanalit). Selle järgi nimetatakse QS-e ühe kanaliga või mitme kanaliga.

Mitme kanaliga QS võib koosneda samadest või erinevat tüüpi seadmetest. Teenindusseadmed võivad olla:

• sideliinid;
• remonditehnikud;
• lennurajad;
• sõidukid;
• koid;
• juuksurid, müüjad jne.

Kanali peamine omadus on teenindusaeg. Reeglina on teenindusaeg juhuslik väärtus.

Tavaliselt usuvad praktikud, et teenindusajal on eksponentsiaalne jaotusseadus:

kus on teenuse intensiivsus;

Teenistusaja matemaatiline ootus.

See tähendab, et teenindusprotsess on Markovian ja see, nagu me nüüd teame, pakub analüütilises matemaatilises modelleerimises märkimisväärset mugavust.

Lisaks eksponentsiaalsele jaotusele on Erlangi jaotused, hüpereksponentjaotused, kolmnurkjaotused ja mõned teised. See ei tohiks meid segadusse ajada, kuna on näidatud, et QS-i tõhususe kriteeriumide väärtus sõltub vähe teenindusaja tõenäosusjaotuse seaduse tüübist.

QS-i õppides kaob teenuse olemus kaalutlusest, teenuse kvaliteet.

Kanalid võivad olla täiesti usaldusväärne st mitte ebaõnnestuda. Õigemini võib sellega uurimistöö käigus nõustuda. Kanalitel võib olla ülim usaldusväärsus. Sel juhul on QS-mudel palju keerulisem.

Taotluste järjekord. Päringute voo ja teenindamise juhuslikkuse tõttu võib saabuv päring leida, et kanal(id) on hõivatud eelmise päringu teenindamisega. Sel juhul jätab see QS-i teenindamata või jääb süsteemi ootama teenuse algust. Vastavalt sellele eristavad nad:

• QS tõrgetega;
• SMO ootusega.

Ühine turukorraldus ootuspäraselt mida iseloomustab järjekordade olemasolu. Järjekorras võib olla piiratud või piiramatu maht: .

Teadlast huvitavad tavaliselt järgmised statistilised näitajad, mis on seotud taotluste järjekorras seismisega:

• keskmine taotluste arv järjekorras õppeintervalli jooksul;
• keskmine järjekorras oleva taotluse esitamise aeg (ootamine). Piiratud järjekorra mahutavusega QS nimetatakse segatüüpi QS-iks.

Sageli on ühiseid turukorraldusi, kus rakendustel on piiratud aeg järjekorras olenemata selle võimsusest. Sellised QS-id liigitatakse ka segatüüpi QS-ideks.

Väljundvoog on QS-ist lahkuvate teenindatud rakenduste voog.

On juhtumeid, kus päringud läbivad mitut QS-i: transiitside, tootmiskonveier jne. Sel juhul on väljaminev voog sissetulev järgmise QS jaoks. Nimetatakse järjestikku ühendatud QS-ide komplekt mitmefaasiline järjekorrasüsteem või QS võrgud.

Esimese QS-i sissetulev voog, mis läbib järgnevaid QS-e, on moonutatud ja see raskendab modelleerimist. Siiski tuleks meeles pidada, et lihtsaima sisendvoo ja eksponentsiaalse teenusega (st Markovi süsteemides) on ka väljundvoog kõige lihtsam. Kui teenindusajal on mitteeksponentsiaalne jaotus, siis ei ole väljaminev voog mitte ainult kõige lihtsam, vaid ka mitte korduv.

Pange tähele, et väljuva voo päringute vahelised intervallid ei ole samad, mis hooldusintervallid. Lõppude lõpuks võib selguda, et pärast järgmise hoolduse lõppu on QS rakenduste puudumise tõttu mõnda aega jõude. Sel juhul koosneb väljuva voo intervall QS-i jõudeajast ja pärast jõudeaega saabunud esimese päringu teenindusintervallist.

Sisend infovoog

Sisendinfovoog on dokumentide ja andmete jada, mis on saadud infosüsteemi sisestamiseks.

Vaata ka: Teabe sisu

• - süsteemi sisendis asuv seade, mis teisendab sisendsignaale, et koordineerida süsteemi tööd välise allikaga. mõju...

  Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat

• - rajasignaal, mis kaitseb eraldi punkti radu. Nagu V. s. Võib kasutada valgusfoore või semafoore. Sisendsemafor paigaldatakse mitte lähemale kui 50 m, foor ei ole sisendnoole punktist lähemal kui 15 m...

  Raudtee tehniline sõnastik

• - "...Tarbija või kliendi poolt vastu võetud tarnijatoodete kontroll, mis on mõeldud kasutamiseks toodete valmistamisel, parandamisel või käitamisel..." Allikas: Roscartography tellimus 29. juuni...

  Ametlik terminoloogia

• - ehituseks tarnitavate tööstustoodete passiandmetele vastavuse kontroll...

  Ehitussõnastik

• - materjalivoog, mis siseneb logistikasüsteemi väljastpoolt...

  Äriterminite sõnastik

• - kindlal kujul koostatud dokument, mis on mõeldud infosüsteemi sisestamiseks Vt. ka: teabesisu  ...

  Finantssõnastik

• - juhtimisprotsesside rakendamiseks vajalik süsteemis ringlevate teadete kogum...

  Suur majandussõnastik

• - väliskeskkonnast antud logistikasüsteemi sisenev väline materjalivoog...

  Suur majandussõnastik

• - seade süsteemi või seadme sisendis, mis muundab sisendmõjud signaalideks, mis on mugavad edasiseks töötlemiseks, edastamiseks ja registreerimiseks või erinevate sisenditega süsteemide töö koordineerimiseks -...

  Suur Nõukogude entsüklopeedia

• - ...

  Antonüümide sõnastik

• - SISSEPÄÄS, vaata sisenemist ja...

  Ožegovi seletav sõnaraamat

• - SISSEPÄÄS, sissepääs, sissepääs. adj. sissepääsu juurde. Sissepääsu uks. Sissepääsupilet. Sisselaskeava...

  Ušakovi seletav sõnaraamat

• - sissepääs I adj. Esialgne, algus, algus. II adj. 1. 1. kuhugi sisenemise õiguse andmine. 2. Toimib sissepääsuna...

  Efremova selgitav sõnaraamat

• - sissepääsu adj., kasutatud. võrdlema sageli 1. Kui räägite uksest, peate silmas välisust, mis viib tänavalt teie koju. Keegi tuli esikusse ja avas välisukse. 2...

  Dmitrijevi seletav sõnaraamat

• - sissepääs...

  Vene õigekirjasõnaraamat

• - ...

  Sõnavormid

"Sisendinfovoog" raamatutes

Info liikumine looduses

Info liikumine looduses