Lõpetage jalgpallivõistluste järgmine voor. Matemaatika ühtne riigieksam. Lahendused

Töö allikas: Ülesanne 4. Järgmisesse võistlusvooru pääsemiseks peab jalgpallimeeskond lööma skoori

4. ülesanne. Järgmisesse vooru pääsemiseks peab jalgpallimeeskond koguma kahe mänguga vähemalt 4 punkti. Võidu korral saab võistkond 3 punkti, viigi korral 1 punkti, kaotuse korral 0 punkti. Leidke tõenäosus, et meeskond pääseb järgmisesse võistlusvooru. Arvestage, et igas mängus on võidu ja kaotuse tõenäosus sama ja võrdne 0,4.

Lahendus.

Kuna võidu ja kaotuse tõenäosus on 0,4, siis on viigi tõenäosus 1-0,4-0,4=0,2. Seega võib jalgpallimeeskond pääseda järgmisse ringi järgmiste kokkusobimatute tulemustega:

Võitis esimese mängu ja võitis teise mängu;

Esimese geimi viigistas ja teise geimi võitis;

Esimese mängu võitis ja teise viigi.

Esimese tulemuse tõenäosus on. Teise tulemuse tõenäosus . Kolmanda tulemuse tõenäosus . Nõutav tõenäosus järgmisesse võistlusvooru jõudmiseks on võrdne nende kolme sõltumatu tulemuse tõenäosuste summaga.

Jalgpallimatšid on erinevad. See võib olla lihtsalt sõpruskohtumine, riigi tavameistrivõistluste matš, grupiturniiri matš, kahe jalaga karikavõistluste play-off matš, ühekordne karikavõistlus, mille tulemusena peab üks võistkond edasi pääsema ja teine kõrvaldada. Mõnes kohtumises, näiteks meistrivõistluste mängudes või grupiturniiridel, fikseeritakse tulemus normaalajal. Väljalangemismängudes võib lõpliku võitja selgitamiseks olla valikuvõimalusi kuni lisaajani ja penaltiseeriani. Nii et sellistel matšidel panustavad nad mitte ainult tulemusele endale, vaid ka et võistkond pääseks järgmisse ringi või lõppvõidu kui see on finaal. Räägime sellistest määradest üksikasjalikumalt.

Seega lõppeb mis tahes tavahooaja jalgpallimatš pärast 90 minuti möödumist ja mitu minutit, mille kohtunik on lisanud. Sellise matši tulemuseks võib olla ühe meeskonna võit või viik. Võitja saab 3 punkti, kaotaja 0 punkti. Viigi korral saavad mõlemad meeskonnad 1 punkti. Sama olukord on ka grupiturniiride matšidega. Kui punktid on võrdsed, siis lisamänge ega poolaegu ei määrata, vaid arvestatakse lisanäitajaid - vastastikused kohtumised, väravad jne. Siiski on mänguformaate, kus meeskond ei pruugi põhiajal võita, vaid läheb edasi. Vaatame näiteid.

Ühemänguline vastasseis. Mõne riigi kodumaiste karikavõistluste kohtumised, Euroopa karikavõistluste finaalmängud, maailma- ja Euroopa meistrivõistluste play-off-mängud jne peetakse ühe mänguna. Mängu võõrustaja määratakse loosi teel või mäng toimub neutraalsel väljakul. Kui üks meeskondadest sellises matšis võidab, on kõik lihtne - see liigub edasi ja kaotaja lahkub turniirilt. Kuid põhiajal võib kirja panna viigi. Mis siis? Mõnel karikavõistlusel on teise meeskonna väljakul ette nähtud kordusmäng (selline formaat on näiteks Inglismaal). Muudel juhtudel määratakse lisaaeg - kaks poolaega, kumbki 15 minutit. Ja kui sellest võitja selgitamiseks ei piisa, toimub mängujärgne penaltiseeria.

Teame, et kihlveokontorid aktsepteerivad ennustusi matši peamise tulemuse peale: ühe meeskonna võit, teise meeskonna võit ja viik. Selliste mängude puhul võidakse fikseerida viik normaalajal ja panus arvutatakse selle viigitulemuse alusel. Eraldi võetakse vastu panuseid lõplikule võitjale, edasi pääsevale või karika võistkonnale. See panustada meeskonnapääsmele.

Pääsupanused leiate lisarealt konkreetse matši sisse minnes, mille põhitulemus ei pruugi kattuda edasipääsu tulemusega.

Erinevates kihlveokontorites kujundatakse ja kutsutakse selline panuste plokk erinevalt...

...aga olemus on sama.

Kahemänguline vastasseis. Mõnel kodumaisel karikavõistlusel, Euroopa karikavõistlustel, maailma- ja Euroopa meistrivõistluste valiku play-offides jne tähendab play-offi formaat, väljalangemismängud kahemängulist vastasseisu. Üks mäng on kodus, teine võõrsil. Siin võib olla mitu võimalust.

Meeskond võib ühe matši võita ja teise viigistada. Ja ta läheb mööda. See tähendab, et kui panustad mitte teisele mängule, vaid söödule, võidad. Ja võidule panustamine kaotab, sest... oli viik.

Pealegi võib meeskond ühe matši võita ja teise kaotada. Ja kahe mängu kokkuvõttes suurema vahega võitnud meeskond läheb edasi. Kui vahe on null (näiteks: 2:1, 0:1), siis pääseb edasi see meeskond, kes lõi võõral väljakul rohkem väravaid. Kui punktid on identsed (3:1, 1:3), määratakse teises kohtumises lisaaeg, nagu ühemängulise play-offi olukorras.

Ilmselgelt võib meeskond võita teise matši ja mitte edasi pääseda. Näiteks võistkond kaotab võõrsil mängu 2:0, kuid võidab kodus 1:0. Selle tulemusel matš võidetakse ja vastav ennustus mängu põhitulemusele mängitakse. Kuid panus sellise meeskonna läbipääsule kaotab.

Võistkonnad saavad mängida kaks mängu viiki. Kui mõlemad mängud normaalajal lõppevad sama viigiga (0:0, 0:0 või 2:2, 2:2), määratakse lisaaeg ja seejärel penalti. Seega on kõik panused sellistes mängudes võistkondlikele võitudele välja lülitatud. Kuid ikkagi liigub mõni meeskond edasi.

Salvestada saab erinevaid viike, näiteks 0:0 ja 1:1. Võõrsil värava löönud meeskond läheb siis nii. Ja jälle mängib panus vastava meeskonna edasipääsule ning võitude panused kaotatakse põhiaja viikide tõttu.

Ilmekas näide kahemängulise vastasseisu tulemustest on käimasoleva Meistrite liiga veerandfinaalmäng. Madridi Real kaotas võõrsil Wolfsburgile 0:2. Ja enne tagasimängu Reali söödule polnud koefitsiendid enam nii naeruväärsed kui algselt. Sellegipoolest on 2-väravaline kaotus ja võõrsil väravate puudumine tõsine.

Seega on asjakohastes matšides vaja vahet teha mängu enda ja play-off’i vastasseisu tulemusel. Me ei tohi unustada, et meeskond võib viigistada või isegi kaotada, kuid siiski sööta.

Üks näide veel. Sevilla – Bilbao Atleti. Kohtumised Euroopa liiga play-off'is 2015-2016. Sevilla võidab võõrsil kohtumise 1:2. Millele sa siis koju naasmise mängu peale panustada tahad? Selle tulemusel kaotas Sevilla kodus sama skooriga 1:2, lõpetades pika kaotuseta koduseeria. Kuid samal ajal edenes ta veelgi, alistades vastase penaltiseerias.

järeldused. Pärast esimeses kohtumises saavutatud võidukat tulemust on äärmiselt ohtlik panustada meeskonna võidule teises kohtumises. Sellistes sarjades mängivad meeskonnad sageli tulemuse põhjal. Nad võivad avalikult mängida viiki, kuid lõpuks võivad nad kaotada. Seetõttu peaksite mõnikord eelistama panustamist söödule, mitte mängu põhitulemusele. Või peaks panus põhitulemusele olema korrelatsioonis konkreetse meeskonna tegeliku motivatsiooniga konkreetseks matšiks.

Kui olete kindel meeskonna tugevuses ja ennustate selle lõplikku edu, siis on parem panustada söödule. Kitsas heitluses võivad meeskonnad mängida põhiajal viiki ning võit läheb lõpuks samale meeskonnale, kes on tugevaim ja kogenum.

Et saada kasulikku ja ajakohast teavet Edukate jalgpallipanuste jaoks tellige projekti värskendused. Sisestage oma e-posti aadress paremal asuvasse vormi.

Ülesande B10 prototüüp (nr 320188) Järgmisesse võistlusvooru pääsemiseks peab jalgpallimeeskond koguma kahe mänguga vähemalt 4 punkti. Võidu korral saab võistkond 3 punkti, viigi korral 1 punkti, kaotuse korral 0 punkti. Leidke tõenäosus, et meeskond pääseb järgmisesse võistlusvooru. Arvestage, et igas mängus on võidu ja kaotuse tõenäosus sama ja võrdne 0,4.

Ülesanne B10 (nr 321491) Klassis on 33 õpilast, nende hulgas kaks sõpra - Mihhail ja Vadim. Klass jagatakse juhuslikult 3 võrdsesse rühma. Leidke tõenäosus, et Mihhail ja Vadim on samas rühmas.

Lahendus. Vastavalt probleemi küsimusele oleme huvitatud kahe mehe jagamisest kolme rühma (mugavuse huvides nummerdame need rühmad: rühm 1, rühm 2 ja rühm 3). Seetõttu on vaadeldava katse võimalikud tulemused järgmised:

U 1 = (Mihhail esimeses rühmas, Vadim teises rühmas) = (M1, B2),

U 2 = (Mihhail esimeses rühmas, Vadim kolmandas rühmas) = (M1, B3),

U 3 = (Mihhail esimeses rühmas, Vadim esimeses rühmas) = (M1, B1),

U 4 = (Mihhail teises rühmas, Vadim esimeses rühmas) = (M2, B1),

U 5 = (Mihhail teises rühmas, Vadim teises rühmas) = (M2, B2),

U 6 = (Mihhail teises rühmas, Vadim kolmandas rühmas) = (M2, B3),

U 7 = (Mihhail kolmandas rühmas, Vadim esimeses rühmas) = (M3, B1),

U 8 = (Mihhail kolmandas rühmas, Vadim teises rühmas) = (M3, B2),

U 9 = (Mihhail kolmandas rühmas, Vadim kolmandas rühmas) = (M3, B3),

Seega koosneb kõigi vaadeldava katse tulemuste hulk U üheksast elemendist U= (U 1 , U 2, U 3 ,… U 7, U 9) ja sündmust A - "Mihhail ja Vadim olid samas grupis" - soosivad ainult kolm tulemust - U 3, U 5 ja U 9. Leiame kõigi nende tulemuste tõenäosuse. Kuna vastavalt probleemi tingimustele jagatakse 33-liikmeline klass juhuslikult kolmeks võrdseks rühmaks, siis igasse sellisesse rühma kuulub sellest klassist 11 õpilast. Puhtalt ülesande lahendamise mugavuse huvides kujutame ette 33 ühte ritta paigutatud tooli, mille istmetele on kirjutatud numbrid: number 1 on kirjutatud esimesele 11 toolile, number 2 on kirjutatud järgmisele 11 toolile ja viimasele üheteistkümnele toolile on kirjutatud number 3. Tõenäosus, et Mihhail saate tooli numbriga 1, võrdub (11 tooli numbriga 1 toolide koguarvust). Pärast seda, kui Mihhail istub toolile numbriga 1, on järel vaid 32 tooli, mille hulgas on ainult 10 numbriga 1 tooli, seega on tõenäosus, et Vadim saab sama numbriga 1 tooli, on võrdne . Seetõttu on tulemuse tõenäosus U 3 = (Mihhail esimeses rühmas, Vadim esimeses rühmas) = (M1, B1) võrdne korrutisega ja võrdub . Sarnasel viisil arutledes leiame tulemuste U 5 ja U 9 tõenäosused. Meil on P(U 5)=P(U 9)=P(U 3)=.

Seega P(A)=P(U3)+P(U5)+P(U9)=.

Vastus. 0,3125.

Kommenteeri. Paljud õpilased, olles koostanud vaadeldava katse võimalike tulemuste hulga U, leiavad soovitud tõenäosuse sündmust A soodustavate tulemuste U 3, U 5 ja U 9 jagatis kõigi võimalike tulemuste arvuga U 1 , U 2, U 3 ,… U 7, U 9, see tähendab, P(A)=. Sellise otsuse ekslikkus seisneb selles, et kõnealuse katse tulemused ei ole võrdselt tõenäolised. Tõepoolest, P(U 1)= ja P(U 3)=.

Lahendus. Vastavalt probleemile mängib meeskond kaks mängu ja iga sellise mängu tulemuseks võib olla kas võit, kaotus või viik. See tähendab, et selle katse võimalikud tulemused on: U 1 = (B; B), siin ja edasi B - meeskond võitis mängu, P - meeskond kaotas mängu, H - meeskond mängis viiki, U 2 = (B; H), U3 = (B; P), U4 = (P; B), U5 = (P; N), U6 = (P; P), U7 = (N; N) U8 = (N; P), U8 = (N; V). Seega koosneb vaadeldava katse kõigi võimalike tulemuste kogum 9 elemendist ja sündmust C - "jalgpallimeeskond pääses järgmisse võistlusvooru" eelistavad tulemused U 1 = (B; B), U 2 = (B; H) ja U 8 = ( N; C), kuna kõigi nende tulemuste esinemine tagab järgmisesse võistlusvooru pääsemiseks vajaliku arvu punkte. Leiame tulemuste U 1 = (B; B), U 2 = (B; H) ja U 8 = (H; B) tõenäosused. Vastavalt ülesande tingimustele on võidu ja kaotuse tõenäosus 0,4, kuna ühe mängu tulemuseks võib olla kas võit, kaotus või viik, siis on viigi tõenäosus võrdne vahega 1 -(U 2 +U 8) ja on 0,2. See tähendab, et sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosuse teoreemi kohaselt P(U 1)=0,40,4=0,16 ja P(U 2)=P(U 8)=0,40,2=0,08. Seega on soovitud tõenäosus võrdne: P(C)= P(U 1)+ P(U 2)+P(U 8)=0,16+0,08+0,08=0,32.

Järgmisesse võistlusvooru pääsemiseks peab jalgpallimeeskond lööma skoori
vähemalt 9 punktid kahes mängus. Kui meeskond võidab, siis ta saab 5 prillid,
viigi korral - 4 punkte, kui ta kaotab - 0 punktid. Leidke tõenäosus
et meeskond pääseb järgmisesse võistlusvooru. Kaaluge
et igas mängus on võidu ja kaotuse tõenäosus võrdsed 0,4 .

Ilmselgelt ei saa meeskonnale kaotada. Talle ei sobi ka mõlemad loosimised. Mis on järgi?
1) Võida mõlemad korrad. 2) Võida ainult üks kord ja vähenda teine mäng viigini.

Võidu tõenäosus on 0,4 . Tõenäosus võita mõlemal korral on võrdne 0,4 · 0,4 = 0,16.

Viigi tõenäosus on 1 - 0,4 - 0,4 = 0,2 . Kui suur on ühe korra tõenäosus
viigi ja võida üks kord? 0,4 · 0,2? Ei, see on võrdne 0,4 0,2 + 0,2 0,4.
Asi on selles, et võite võita esimese mängu ja võite võita teise, see on oluline.
Nüüd arvutame järgmisesse vooru jõudmise tõenäosuse: 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0,32 .

Vastus: 0,32

Illustreerime lahendust graafiliselt tabeli abil 10 x 10 alates 100 rakud:

Punane värv tähistab võitu, soovärv kaotust, sinine värv viiki.

Hall rakk: esimene mäng on kaotus, teine mäng on kaotus.
Punane rakk: esimene mäng on kaotus, teine mäng on võit.
Roheline rakk: esimene mäng on võit, teine mäng on viik.
Sinine ruut: esimene mäng on viik, teine mäng on viik.

Sellel diagrammil värvime mõlemad võidud kollaseks,
sinine - üks võit ja üks viik.