-*новый или неперечисленный*-

Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года

                 примерный перечень экзаменационных вопросов
                           АНАЛИТИчЕСКАя ГЕОМЕТРИя


 1. ЛИНИя НА ПЛОСКОСТИ. ЕЕ УРАВНЕНИЕ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ТЕКУЩИЕ
    КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОчКИ ЛИНИИ.
 2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на
    плоскости Oxy.
 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и
    перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми
    коэффициентами.
 4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым
    коэффициентом.
 5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
 6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или
    каноническое уравнение прямой.
 7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.
 8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у
    которых заданы направляющие векторы.
 9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у
    которых заданы нормальные векторы.
10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с
    угловым коэффициентом.
11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.
12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.
13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.
14. Общее уравнение плоскости.
15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.
16. Уравнение плоскости в отрезках.
17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.
19. Смешанное произведение трех векторов.
20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.
22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.
27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.
28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).
30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой
    второго порядка на плоскости?
31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.
32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?
33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?
34. Вырожденные поверхности второго порядка.
35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.
36. Метод параллельных сечений.
37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.
38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.
39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.
40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?
41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.
42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.
43. Конус вращения и его вид.
44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида
    и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.
45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.
46. Линейчатые поверхности второго порядка.
47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в
    пространстве при  параллельном сдвиге осей.
48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в
    пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (.
49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с
    центром в начале координат.
50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?
51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?
52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго
    порядка.
53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?
54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0,
    используя формулы Крамера.
55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 5)
    и [pic]= (-4, -10) - их направляющие векторы.
56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если [pic] = (-
    2, 3) и [pic] = (3, 4) - их нормальные векторы.
57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z +
    1= 0.
58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5)
    на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3,  3).
59. При каком значении a прямая [pic] будет лежать на плоскости 3x – y – z
    – 3 = 0?
60. Найти  координаты вектора, представляющего собой векторное произведение
    вектора  [pic] = (1, 6, 0) и вектора [pic](1, -1, -1).
61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3,
    0, 2).
62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3,
    0, 2).
63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.
65. Найти направляющий вектор прямой: [pic].
66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0,
    0, 0),  М2(2, -1, 2),  М3(0, -1, 1).
67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение
    трех векторов  [pic] = (1, 2, 3), [pic] = (-1, 2, 4), [pic] = (1, 1, 0).
68. Меридиан 4x2 - z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность
    второго порядка при этом получается?
69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго
    порядка при этом получается?
70. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго
    порядка при этом получается?
71. Меридиан x2 + z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность
    второго порядка при этом получается?
72. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic].

1 Найдите точки пересечения прямой:[pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 100.

73. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому
    виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта
    поверхность?
74. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]?
75. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
    выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
    следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?
76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
    выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
    следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?
77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
    5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.
78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
    8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.
79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2
    + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 1

   1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов [pic],
      [pic], [pic] (
   2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение
      трех векторов [pic] = (1, 1, 3), [pic] = (-1, 0, 4), [pic] = (2, 1,
      0).
   3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.
   4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость

      х = 1 пересекает гиперболоид [pic]+ у2 - z2 = 1? Напишите уравнение
      этого сечения.
   5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

      х2 + 3у2 - z2 + 6zу - 4 = 0.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 2

   1. Как вычисляется определитель третьего порядка [pic]?

      Вычислить определитель третьего порядка [pic].
   6. Найти  координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и [pic].
   7. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?
   8. Меридиан [pic]= 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго
      порядка при этом получается?
   9. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

      4х2 + 2у2- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------


                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 3

   2. Напишите условие параллельности прямых [pic], [pic].
  10. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.
  11. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения.
  12. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,
      параллельной оси Ох.
  13. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

      х2 + 2у2 + 3z2 - 4хz - 3 = 0.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 4

   3. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости или в
      пространстве?
  14. Найти смешанное произведение трех векторов [pic](1, 2, 3), [pic](-1,
      1, 0),

      [pic](0, 3, 1).
  15. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.
  16. Какие плоскости симметрии имеет эллипсоид [pic]?
  17. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      –x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz = 6. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 5

   4. Напишите условие параллельности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.
  18. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2,
      0,1).
  19. Дайте определение прямолинейной образующей поверхности второго
      порядка.
  20. Найдите точки пересечения прямой [pic]

      [pic]и эллипсоида  х2 + у2 +[pic].
  21. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
      выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
      следующее уравнение: 2x2 – 4y2 + z2 + 6xz =10?



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 6

   5. Что называется нормальным вектором прямой на плоскости?
  22. Найти нормальный вектор [pic] плоскости, в которой лежат векторы

      [pic](2, 5, 0)  и [pic](3, 0, 2).
  23. Какой цилиндр является цилиндром второго порядка?
  24. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей,
      параллельной оси Оz.
  25. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:

      3х2+4у2+6z2-2xz и найдите ее характеристические числа.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 7

   6. Какой угол могут образовывать нормальные векторы двух параллельных
      плоскостей?
  26. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0,
      -1,1).
  27. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра. Какой
      координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия
      второго порядка является направляющей этого цилиндра?
  28. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]?
  29. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и
      найдите ее характеристические числа: 9х2 + 3у2 + 6z2 - 12ху.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 8

   7. Как найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через два
      неколлинеарных вектора?
  30. Найти каноническое уравнение прямой [pic]
  31. Напишите каноническое уравнение конуса вращения.
  32. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей,
      параллельной оси Ох.
  33. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

      14х2 + 12у2 + 10z2 - 8ху - 8zу - 17 = 0.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                  Билет № 9

   8. Напишите уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему
      вектору.
  34. Найти  координаты вектора, представляющего собой векторное
      произведение вектора  [pic] = (1, 0, 1) на вектор [pic](3, 1, -1).
  35. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида вращения?
  36. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2у = [pic]?
  37. Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в начале координат,
      точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого
      конуса.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 10

   9. Известно, что прямая в пространстве с направляющим вектором [pic]
      параллельна плоскости с нормальным  вектором [pic]. Как расположены
      векторы [pic] и [pic] по отношению друг к другу?
  38. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости х + у -3z + 17 = 0.
  39. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида.
  40. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей,
      параллельной оси Оу.
  41. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
      выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может
      определять следующее уравнение: х2 + у2 + z2 - 2ху = 10.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 11

  10. Дайте определение векторного произведения векторов [pic] и [pic].
  42. Точка М1 (1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из
      точки М2 (3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости.
  43. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?
  44. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с
      образующей, параллельной оси Оу.
  45. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 12

  11. Напишите условие параллельности прямых в пространстве.
  46. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (1, 2)
      и [pic]= (-2, -4) - их направляющие векторы.
  47. Что называется уравнением второй степени относительно х, у?
  48. Доказать, что двухполостный гиперболоид х2 + у2 - z2 = -1 имеет одну
      общую точку с плоскостью [pic]х + 2z + 1 = 0, и найти ее координаты.
  49. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      2x2 + y2 + z2 –8zy = 30. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 13

  12. Что называется углом между прямой и плоскостью?
  50. Найти направляющий вектор прямой [pic].
  51. Какая поверхность называется линейчатой?
  52. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго
      порядка при этом получается?
  53. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      6x2 + 5y2 + 6z2 – 8xz = 20. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 14

  13. Что называют смешанным произведением трех векторов?
  54. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости

      3x – 4y – z – 4 = 0.
  55. Напишите каноническое уравнение эллипсоида вращения.
  56. Доказать, что эллиптический параболоид 2z = [pic] + у2  имеет одну
      общую точку с плоскостью 2х - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты.
  57. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому
      виду уравнение поверхности второго порядка

      2(z - 1) = [pic]? Как называется эта поверхность?



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 15

  14. Что называется текущими координатами на линии F(х, у) = 0?
  58. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника
      ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0, -1).
  59. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения.
  60. Какие плоскости симметрии имеет конус [pic]?
  61. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
      выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может
      определять следующее уравнение: х2 + у2 - 2уz = 12.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 16

  15. Какой угол могут образовывать направляющие векторы двух параллельных
      прямых в пространстве?
  62. Найти каноническое уравнение прямой [pic]
  63. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Что
      называется полуосями этого гиперболоида?
  64. Меридиан у2 + z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность
      второго порядка при этом получается?
  65. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
      выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
      следующее уравнение: 6x2 + 2y2 – 6z2 – 2xy =10?



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 17

  16. Что называется нормальным вектором плоскости?
  66. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(1,1)
      на прямую, проходящую через точки A(1, 0) и B(2, -1).
  67. Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида.
  68. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей,
      параллельной оси Оz.
  69. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

      -2х2 + 6у2 + 6z2 + 4zу - 1 = 0.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 18

  17. Напишите условие параллельности двух плоскостей.
  70. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 7)
      и [pic] = (4, 14) - их нормальные векторы.
  71. Каким преобразованием можно привести к каноническому виду уравнение
      поверхности второго порядка: [pic]?
  72. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей,
      параллельной оси Ох.
  73. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

      2х2 + у2+3z2-4yz+1=0. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 19

  18. Как найти направляющий вектор прямой в пространстве, заданной как
      пересечение двух плоскостей?
  74. Найти координаты основания  перпендикуляра, опущенного из точки С(0,1)
      на прямую, проходящую через точки A(1, 1) и B(2, 1).
  75. Какого типа существуют цилиндры второго порядка?
  76. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость

      z = [pic] пересекает эллипсоид  х2 + у2 + [pic]? Напишите уравнение
      этого сечения.
  77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      2x2 + 3y2 + 2z2 + 2xz = 9. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 20

  19. Как вычисляется определитель второго порядка [pic]? Вычислить[pic].
  78. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
  79. Какая поверхность называется цилиндрической (цилиндром)?
  80. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость

      у = 1 пересекает гиперболоид х2 + [pic]? Напишите уравнение этого
      сечения.
  81. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и
      найдите ее характеристические числа: -2х2 + 2у2 + 6z2 +12хz .



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 21

  20. Напишите условие перпендикулярности прямой и плоскости.
  82. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости х + у - z +1 = 0.
  83. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида? Какие величины
      называют полуосями эллипсоида?
  84. Найдите точки пересечения прямой [pic]

      [pic] и параболоида 2z  = х2 + у2 .
  85. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и
      найдите ее характеристические числа: [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 22

  21. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные
      точки.
  86. Найти координаты вектора, представляющие собой векторное произведение
      вектора [pic](1, 1, 3) на вектор [pic](0, 2, 1).
  87. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостного гиперболоида?
      Какие величины называют полуосями однополостного гиперболоида?
  88. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,
      параллельной оси Оz.
  89. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
      выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
      следующее уравнение: 2x2 + 2y2 + z2 + 8zy =3?



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------


                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 23

  22. Напишите условие перпендикулярности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.

  90. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

      М1 (1, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 2).
  91. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в
      пространстве при  параллельном сдвиге осей.
  92. Докажите, что прямая [pic],  лежит на конусе [pic].
  93. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому
      виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта
      поверхность?



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 24

  23. Какой угол образуют нормальные векторы двух перпендикулярных
      плоскостей?
  94. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz.
  95. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра.
  96. Какие плоскости симметрии имеет однополостный гиперболоид [pic]?
  97. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      –x2 + 4y2 - z2 + 4xz = 24. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 25

  24. Что называется углом между прямыми на плоскости?
  98. Найти нормальный вектор [pic] плоскости, в которой лежат векторы

      [pic](2, -1, 2)и [pic](0, 3, 1).
  99. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в
      пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (.
 100. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,
      параллельной оси Оу.
 101. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
      выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
      следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 26

  25. Напишите условие параллельности прямых на плоскости, заданных
      уравнениями с угловыми коэффициентами.
 102. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

      М1 (3, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 1).
 103. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра. Какой
      координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия
      второго порядка является направляющей этого цилиндра?

2 Найдите точки пересечения прямой [pic]

   [pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 16.

 104. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
      выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
      следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 27

  26. Напишите условие параллельности прямой и плоскости.
 105. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

      М1 (3, 1, 0), М2 (1, 2, 0), М3 (0, 0, 0).
 106. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида. Что
      называется полуосями этого гиперболоида?
 107. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2z =[pic]?
 108. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:

      х2-5у2-z2-10xz и найдите ее характеристические числа.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 28

  27. Что называется уравнением линии на плоскости Оху?
 109. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость

      5х + 3у - 7z + 1= 0.
 110. Какие сечения называют коническими?
 111. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic].
 112. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      x2 + y2 + z2 – 6yz = 4. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 29

  28. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки в
      пространстве.
 113. Найти  координаты вектора, представляющего собой векторное
      произведение вектора  [pic] = (2, -1, 1) на вектор [pic](1, 1, 0).
 114. Какая поверхность называется поверхностью вращения?
 115. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с
      образующей, параллельной оси Оz.
 116. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 30

  29. Напишите условие перпендикулярности прямых в пространстве.
 117. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника
      ABC, если вершины известны: A(0, 5); B(1, 3); C(3, 0).
 118. Дайте определение конического сечения (коники).
 119. Меридиан [pic] вращается вокруг оси Oz. Какая поверхность второго
      порядка получается?
 120. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 31

  30. Какой вектор называется векторным произведением вектора [pic] на
      вектор [pic]?
 121. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если

      [pic] = (3, -1) и [pic] = (2, 6) - их нормальные векторы.
 122. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра. Какой
      координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия
      второго порядка является направляющей этого цилиндра?
 123. Докажите, что прямая [pic],  лежит на цилиндрической

      поверхности [pic].
 124. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:

      х2+4у2-2z2-2xz и найдите ее характеристические числа.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 32

  31. Известно, что [pic] - направляющий вектор прямой в пространстве, [pic]
      - нормальный вектор плоскости. Какой угол могут образовывать векторы
      [pic] и [pic], если прямая и плоскость перпендикулярны?
 125. Найти точку М0 (x0, y0, z0) пересечения плоскости 5x – 2y + z = 1 и

      прямой [pic]
 126. Что называется текущими координатами на поверхности F(х, у, z) = 0?
 127. Докажите, что прямая [pic] лежит на параболоиде [pic].
 128. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
      выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
      следующее уравнение: 4ху + 2х2 + 5у2 + 7z2 = 70.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 33

  32. Что называется уравнением первой степени относительно х, у, z?
 129. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и точку М(1,
      1,0).
 130. Напишите каноническое уравнение эллипсоида.

3 Найдите точку пересечения прямой [pic]

   [pic]и гиперболоида х2 + у2 - z2 = 1.

 131. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому
      виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта
      поверхность?



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 34

  33. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей.
 132. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если

      [pic] = (3, 4) и [pic] = (-8, 6)  - их направляющие векторы.
 133. Дайте определение полуосей гиперболоида и эллипсоида.
 134. Меридиан у2 - z2 = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность
      второго порядка при этом получается?
 135. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

      3x2 + 3y2 - z2 + 2xy = 12. Определить вид этой поверхности.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                           АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                 Билет № 35

  34. Напишите условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных
      уравнениями с угловыми коэффициентами.
 136. Найти точку пересечения прямых 2х + 3у - 5 = 0 и х - у = 0, используя
      формулы Крамера.
 137. Напишите уравнение второй степени относительно х, у, z.
 138. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость [pic]
      пересекает эллипсоид [pic]? Напишите уравнение этого сечения.
 139. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и
      найдите ее характеристические числа: 12х2 + 12z2 - 4у2 + 8ху.



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------





смотреть на рефераты похожие на "Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года"