Математика

Ряды


                         Фун 2 числовых аргументов.
Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е  число
Wi или любой точке (xi;yi) или паре  чисел  ставится  в  соот-е  zi  след-но
zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).
Пусть точка (х0;у0)(Е дельта окрест-ю  точки  (х0;у0)  наз  множество  точек
(х;у) удовлетвор-х нерав-у
(((х-х0)+(y-y0)( <(.
Точка (х0;у0) наз внутренней  точкой  множества  Е,  если  сущ-ет  некоторая
окрест этой точки, которая вместе с точкой ( этому множеству.
Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее  окрест-и  сущ
точка кроме самой этой точки, которая ( множ Е.
Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.
Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.
Точка (х0;у0)( множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет  окрест  этой
точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.
                              Фун 2 переменных.
Опр: Если каж паре (х;у) значений  2,  не  завис  др  от  друга,  переменных
величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е  знач-е  величины
z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и  у,  определ-ся
в обл D.
Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты  которых  удовлет-т  ур-ю
z=f(х;у),  где  коор-ы  точки  Р  х  и  у,  z=f(х;у),  наз  графиком  фун  2
переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся  поверхность,  проектирующая  на
плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху  пересекает
поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке.  Фун  z=f(х;у)  опред-ся  в
обл G.



Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у)  значений  х  и  у
при котором определяется фун-я z=f(х;у).
Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.
                          Предел фун 2 переменных.
Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при  х(х0,  у(у0,  М(х;у)(М0.  limх(х0
(у(у0)f(х;у)=A
Если для любого (>0 сущ-ет ( окрест-ть точки (х0;у0)  такая,  что  при  всех
(х;у)((  окрест-ти  будет  выполн  нерав-во   (((х-х0)2+(y-y0)2(   <(.   (А-
f(х;у)(<(,                             A-( lim (Xn(Yn)=a(b (n(()
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+(n; lim Yn=b => Yn=b+(n;
Xn ( Yn = (a + (n) ( (b + (n) = (a (  b)  +  ((  n(  bn)  =>  lim(Xn(Yn)=a(b
(n(().
2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().
3)lim Xn=a, lim Yn=b (n(() =>   lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b =  (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n)  =(b(n-
a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b  =  (lim  Xn)/(lim  Yn)
(n(().
Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.
                         Непрерывность фун в точке.
Опр: Пусть точка М0(х0;у0) ( обл опр-я  фун-и  f(х;у).  Фун-я  z=f(х;у)  наз
непрерывной   в   точке    М0(х0;у0),    если    имеет    место    равенство
limх(х0(у(у0)f(х;у)=f(х0;у0) или lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)= f(х0;у0),  где
х=х0+(х  и  у=у0+(у,  причем  точка  М(х;у)  стремиться  к  точке  М0(х0;у0)
произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.
Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы  со  всех  сторон;
3)Эти  пределы  равны  между  собой;  4)Конечные  пределы  со  всех   сторон
=f(x0;у0).
Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.
Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.
Св-ва непрерывности в точке: 1)Если  фун  f1(х;у)  и  f2(х;у)  непрерывны  в
точке (х0;у0), то  сумма  (разность)   f(х;у)=f1(х;у)(f2(х;у),  произведение
f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у),     а     также     отношение      этих      функций
f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.
Док-во       (суммы):       По       определению        получаем,        что
limх(х0(у(у0)f1(х;у)=f1(х0;у0),      limх(х0(у(у0)f2(х;у)=f2(х0;у0)       на
основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn(Yn)=a(b (n((),  можем  написать:
limх(х0(у(у0)f(х;у)=limх(х0(у(у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=
=limх(х0(у(у0)f1(х;у)+limх(х0(у(у0)f2(х;у)=
=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0).  Итак  сумма   есть   непрерывная   функция.(
2)Всякая  непрерывная  фун  непрерывна  в  каждой  точке,  в   которой   она
определена. 3) Если фун z=((m) непрерывна в  точке  m=х0;у0,  а  фун  y=f(z)
непрерывна в соот-й точке z0=((х0;у0), то фун y=f(((х;у)) непрер-а  в  точке
(х0;у0).
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в,  то
говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и  непрерывна
на концах  интервала,  то  говорят,  что  f(x;у)  непрерывна  на  замкнутом
интервале или отрезке (а,в).
                               Точки разрыва.
Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие  limх(х0(у(у0)f(х;у)=
f(х0;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).
Условие lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)=f(х0;у0)  может  не  выпол-ся  в  след-х
случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках  некоторой  окрестности  точки
N(х0;у0), за исключением самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена  во
всех точках некоторой окрестности  точки  N(х0;у0),  но  не  сущ-ет  предела
limх(х0(у(у0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у)  определена  во  всех  точках  некоторой
окрестности  точки  N(х0;у0)  и  сущ-ет   предел   limх(х0(у(у0)f(х;у),   но
limх(х0(у(у0)f(х;у)(f(х0;у0).
Классификация точек разрыва:
Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы  со  всех  сторон,  то
(х0;у0) – 1 род.
Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти  пределы
равны между собой, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон,  то
(х0;у0) – 2 рода.
    Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.
Опр: Фун-я,  непрерывная  в  каж  точке  некоторой  замкнутой  области,  наз
непрерывной в этой замкнутой области.
Св-ва:  1)Если  фун  f(x;y…)  определена  и   непрерывна   в   замкнутой   и
ограниченной области D, то в обл D  найдется  по  крайней  мере  одна  точка
N(х0;у0…)  такая,  что  для  всех  др  точек  обл  будет   выплн-ся   соот-е
f(х0;у0…)(f(х;у) и по крайней мере одна точка (N((х0;(у0…)  такая,  что  для
всех др точек обл  будет  выпол  соот-е  f((х0;(у0…)(f(х;у…).  Фориулируется
так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D  достигает  по  крайней  мере
один раз наиболь значения  М  и  наимень  значения  m.  2)Если  фун  f(x;y…)
непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M  и  m  –  наиб  и  наим
значения фун f(x;y…) в  обл,  то  для  любого  числа  (,  удовл  усл  m<(<М,
найдется  в  обл  такая  точка   N*(x*;y*…),   что   будет   выполн   рав-во
f(x*0;y*0…)=(. Следствие из св2: Если фун  f(x;y…)  непрерывна  в  замкнутой
огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения,  то  внутри
области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.
                 Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.
Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение  ?х,
тогда  z  получит  приращение,  кот.  наз.  частным  приращением   z  по  x.
?xz=f(x+?x,y)-f(x,y)  Аналогично  частное  приращение  по  y  ?yz=f(x,y+?y)-
f(x,y).
Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y)  наз.
предел отношения частного приращения ?xz к приращ-ю ?x при ?x(0.
?z/?x=lim(?x(0)?xz/?x=lim(?x(0)(f(x+?x,y)-f(x,y))/?x.   Аналогично   частная
производная по y.
?z/?y=lim(?y(0) ?yz/?y=lim(?y(0)(f(x,y+?y)-f(x,y))/?y.
Част диф-л фун: dxz(x;y)=[((z/(x)*(x] и dуz(x;y)=[((z/(у)*(у].
                 Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.
Пусть  имеем  функцию  z=f(х;у).  Сообщив  аргументу  x  приращение  ?x,   а
аргументу y приращение ?y, получим для z новое  приращение  ?z  ,  кот  наз.
полным приращением. ?z=f(x+?x,y+?y)-f(x,y).
Полный  дифференциал:  Если   фун   z=f(x;y)   имеет   непрерывные   частные
производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный  диф-л
dz=(?f/?x)*?x+(?f/?y)*?y.
Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз.  дифференцируемой  в  т.  (x0,y0),
если её полное приращение ?z можно представить  в  виде  суммы  2  слагаемых
?z=(A*?x+B*?y)+0((),  где  (=((?x2+?y2),   т.е.   lim((х(0,(у(0,((0)0(()/(=0
бесконечная величина более высокого  порядка  малости,  чем  (.  (A*?x+B*?y)
линейное относительно ?x ,?y.
Полный          диф-л          в          приближенных          вычислениях:
f(x+?x0,y+?y)(f(x,y)+[(f(x,y)/(x]*(x+[(f(x,y)/(y]*(y.
Необходимое усл диф-ти:  Если  z=f(x,y)  диффер-ема  в  т.(x0,y0),  то  сущ.
конечные частные производные (?z/?х;?z/?y) при x=x0,  y=y0.  A=?z(х0;у0)/?x;
B=?z(х0;у0)/?y.
Достаточное  усл  диф-ти:  Если  функция  z=f(x,y)  в  т.(x0,y0)  и  в  нек.
окресности   непрерывна   и   имеет    непрерывные    частные    производные
(?z/?х;?z/?y), то ф-ия диф-ма.
                        Производные высших порядков.
?z/?x=?(x,y); ?z/?y=?(x,y); Вторая  производная:  ??/?x=?2z/?x2;z``xx  здесь
фун диф-я посл-но 2раза по х;
??/?y=?z/?x?y; z``xy; ??/?x=?z/?y?x;z``yx; ??/?y=?2z/?y2; z``yy;
Третья производная: ?3z/?x3; ?3z/?x2?y; ?3z/?x?y(х;  ?3z/?y?x2;  ?3z/?y?x?y;
?3z/?y2?x; ?3z/?y3.
                          Производная сложной ф-ии.
z=f(u,v)=F(x;y), u=((х;у) и v=((х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а  u и  v
диф-ы    по     x     и     y,     то     выполняется     след     равенство
(z/(x=(?z/?u)((u/(x)+(?z/?v)((v/(x); (z/(y=(?z/?u)((u/(y)+(?z/?v)((v/(y).
z=f(x;u;v)=F(x)

Полная производная по х:


dz/dx=(z/(x+(?z/?u)(du/dx)+(?z/?v)(dv/dx);


Полная производная по у:

dz/dу=(z/(у+(?z/?u)(du/dу)+(?z/?v)(dv/dу);
                        Экстремумы фун 2 переменных.
Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в  точке  M0(x0,y0),  если  f(x0,y0)>
f(x,y) {f(x0,y0)0  при  всех  достаточно   малых   приращениях
независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0);
Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y)  достигает  экстремума  при
x=x0,  y=y0,  то  каждая  частная  производная  первого  порядка  от  z  или
обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.
Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение,  а  именно
y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при  x=x0
она имеет экстремум, то следовательно (?z/?x) при x=x0,y=y0  или равно  нулю
или не сущ. Аналогично доказ, что (?z/?у) при x=x0,  y=y0   или  равно  нулю
или не сущ.
Достаточное усл экстемум:  Пусть  в  нек.  Области,  содержащей  т.M(x0,y0),
функция f(x,y) имеет непрерывные частные  производные  до  третьего  порядка
включительно, пусть,  кроме  того  т.M(x0,y0)  является  критической  точкой
функции f(x,y) т.е. ?f(x0,y0)/?x=0, ?f(x0,y0)/?y=0.
Тогда при x=x0, y=y0:
1)f(x,y) имеет максимум, если
?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2>0   и  ?2f(x0,y0)/(x2<0
2)f(x,y) имеет максимум, если
?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2>0   и  ?2f(x0,y0)/(x2>0
3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.
?2f(x0,y0)/(x2*?2 f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2<0
4)Если  ?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2=0,   то   экстремум
может быть, а может и не быть.
             Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.
Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная  неявно,  если  существует  z=?  (x,y)  в
некоторой  области  D  что  при  подстановке  получаем  тождественно   нуль.
F(x,y,z)(0. Продифф. по x: F(x,y,z)(0, F(x=0, (F/(x+((F/(z)*((z/(x) (z/(x=--
[((F/(x)/((F/(z)];
Продифф. аналогично по у  (z/(y=--[((F/(y)/((F/(z)]
                              Двойной интеграл.
Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L.  Пусть
в  области  D  задана  непрерывная  функция  z=f(x,y).  Разобьем  D   на   n
частей(?S1,?S2,?S3…?Sn).  На   каждой   площадке   возьмем   по   точке   Pi
(P1,P2,P3…Pn). f(Pi) – значение  функции  в  заданной  точке.  Возмем  сумму
произведений вида: f(Pi)?Si. Vn=n(i=1f(Pi)?Si – это интегральная  сумма  для
функции f(x,y) по обл D.
Опр: Предел limmax di(0n(i=1f(Pi)?Si интегральной суммы n(i=1f(Pi)?Si,  если
он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на (Di  и  от  выбора  точек
Pi(Di наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.
Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл  (D,  то  сущ-ет
предел limmax di(0n(i=1f(Pi)?Si
т.е. сущ-ет двойной интеграл  для  данной  фун  по  данной  области.  limmax
di(0n(i=1f(Pi)?Si=((D f(x;y)dxdy=(или)= =((D f(x;y)dS/(
Св-ва:
1)??D(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=(?Df1(x,y)dxdy+(?Df2(x,y)dxdy
2) ? ?Da f(x,y)dxdy=a? ?D f(x,y)dxdy.
3) Если область D=D1(D2, то
? ?Df(x,y)=? ?D1f(x,y))+? ?D2f(x,y).
Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.
? ?Df(Pi)?Si=? ?D1f(Pi)?Si  +?  ?D2f(Pi)?Si  ,  где  превая  сумма  содержит
слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В  самом
деле,  т.к.  двойной  интеграл  не  зависит  от  способа  разбиения,  то  мы
производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и  D2  яв-
ся границей площадок ?Si. Переходя в равенство
? ?Df(Pi)?Si=? ?D1f(Pi)?Si +? ?D2f(Pi)?Si  к  пределу  при  ?Si(0,  получаем
равенство
? ?Df(x,y)=? ?D1f(x,y))+? ?D2f(x,y).(

4) Если фун f(x,y)=1, то ? ?D1dxdy=SD
5) Если фун в данной области  f(x,y)?(?)0,  то  интегр  от  этой  фун  отриц
(полож) не может быть
? ?D f(x,y)dxdy?(?)0
6) Если f1(x,y)?f2(x,y), то
??Df1(x,y)dxdy???Df2(x,y)dxdy
7)Теорема о среднем: Двукратный  интеграл  ID  от  f(x,y)  по  области  D  с
площадью S равен произведению площади S  на  значение  функции  в  некоторой
точке P области D.
в? а ( ?2(x)?  ?1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.
Док-во: Из соот-я
mS(в?а(?2(x)??1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S(MS получаем mS(1/S*ID(MS. Число  1/S*ID
заключено  между  наиболь  и  наимень  знач  f(x,y)  в  области  D.  В  силу
непрерывности фун f(x,y) принимает в  некоторой  точке  P  обл  D  принимает
значение равное 1/S*ID .
                             Двукратный интеграл
Пусть дана область D такая, что любая  прямая  параллельная  одной  из  осей
пересекает эту область в двух точках. Пусть  область  D  ограничена  линиями
y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a0. По определению область D разбивается  на
элементарные кусочки (Di; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую (Di и
найти значение функции в этой точке. (Vi=f(xi,yi)*(Si. Сумма
(Vi=n(i=1f(xi,yi)*(Si  –  это  объем  фигуры  состоящей   из   элементарных
параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.
limmax di(0n(i=1f(xi,yi)*(Si=VТ если этот предел  сущ-ет,  то  это  V  тела
(цилиндройда).?? f(x,y)dxdy=Vцил
2) Площадь поверхности.
Sпов.= ??[(1+((z/(x)2+((z/(y)2dxdy].

                          Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0.  Наивысший  порядок  производ-й  в  ур-и
F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем.
Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая  фун  вида  у=((х),  которая  будучи
подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0  вместе  со  своими  произ-ми  обращает  в
тождество. F(x;((х);((х)’;((х)”… ((х)n)=0.
Фун вида у=((х;С1;С2;…Сn) наз  общим  решением  ур  F(x;y;y’;у”…уn)=0,  если
выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2)  для  любых
начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность  С1  0;С2
0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=((х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что эта фун  будет
удвл начальному условиям.
Соот-е вида ((х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур  F(x;y;y’;у”…уn)=0
наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0  (т.е.  решение  ур  находиться  в
неявной форме).

                           Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0  Решением  данного  ур.  наз.  любая  фун.=((x),  кот.
обращает ур. в тождество.
Опр-е: Фун. y=((x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-
ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0,  что  фун.  y=
((x,C0) удов. начальным усл-ям.
Рав-во  вида  Ф(x;y;C)=0,  неявно  задающее  общее   реш-е,   наз-ся   общим
интегралом дифф. ур-я.
Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=((x;C0), кот.  получается  из  общего
реш.  y=((x;C),  если  в  последнем  произ.  постоянному  С  придать  опред.
значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом  случае  частным  интегралом
ур.
Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:
1). Ур-е с разделенными  переменными        f1(x)y’=f2(y)   f1(x)dy=f2(y)dx,
dy/f2(y)=dx/f1(x), ?dy/f2(y)=?dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися  переменными
f(x;y)y’+((x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+(1(x)(2(y)dx=0 все разделим на   (2(y)*f1(x)

{f2(y)/(2(y)}dy+{(1(x)/f1(x)}dx=0
?{f2(y)/(2(y)}dy+?{(1(x)/f1(x)}dx=C –  общий  интеграл  3).Линейные  диффер.
ур.  y’+p(x;y)=Q(x)  –  общий  вид,  Если  Q(x)(0,  то  линейное   уравнение
y’+p(x;y)=0.
Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;
2)Решение   этого   ур   будем    искать    как    y=U(x)V(x)    (диффер-ем)
dy/dx=UdV/dx+VdU/dx  (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-?Pdx
V= C1e–?Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
V(x)= e–?Pdx, где ?Pdx - какая-нибудь первообразная
V(x)dU/dx=Q(x),     dU/dx=Q(x)/V(x),     U=?Q(x)/V(x)dx+C,     y=V(x)      ?
Q(x)/V(x)dx+CV(x)
                 Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)
y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от  x  (или  пост.)   n(0,1.
Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим  преобразованием.

Разделим на yn с наибольшим значением n, получим
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену  z=(y–n+1),  тогда  dz/dx=(-n+1)(y-
n)y’. Подставляя эти значения в ур-е
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е
 dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q
Найдя его общий интеграл и подставив вместо  z  выражение  (y–n+1),  получим
общий инт. ур.Бернулли

                               Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)
–однородная нулевого  измерения  или  порядок  однородности  равен  0,  т.е.
f(tx;ty)=(t0)f(x;y).
Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка  однородности,  если  вып.  усл.
f(tx;ty)=(tk)f(x;y);  f(tx;ty)=(t0)f(x;y),  где  k=0;  f(tx;ty)=f(x;y),  где
t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим   y/x=U(x)  след-но  y=U(x)x,
y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=((U)  (dU/dx)*x=((U)-
U, dx/x=dU/(((U)-U), ln(x(=[?dU/(((U)-U)] +  C  (  вместо  U  подст.  y/x  и
получим общий инт.
Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y)  и
N(x;y) однородные k-го порядка.

                           Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав.  наз.  любая
фун.y=((x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;((x);(’(x);(’’(x))=0
Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых  знач.
C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот.  заданная
фун. y=((x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.
((x0;С10;С20)=y0 ,
(’(x0; С10;С20)=y0’

                      Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)
Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)
– линейное однородное урав.
Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.
1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x)  –  линейно-независ,  т.е.  нельзя  одну
вырозить через др, т.е.
y1(x)/y2(x)(const, то общим решением ур (2)  y=C1y1+C2y2
2)  Если  известно  одно   реш.   y1,   то   др.   найдем   по   форм.   y2=
y1?[(e–?P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2
3) y1 находим подбором.
Структура общего реш. неоднородного ур.
1)Общее  реш.y(x)=y(-)+y*,  где  y(-)=C1y1+C2y2  общее  реш.(2),  y*-   нек.
частное реш. самого ур.
2)Метод вариации произ. постоянной
y*= C1(x)y1+C2(x)y2
3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.
сист. ур-ий.                                                     0   y2
C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0                ( C1’(x)= f(x) y2’
C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x)                            y1   y2
                            y1’ y2’
( C1(x)=?(--)/(--)dx
              y1    0
C2’(x)= y1’   f(x) ( C2(x)=?(--)/(--)dx
              y1   y2
              y1’ y2’
                  Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.
Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1,  y2
– два лин-но незав. реш.
(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.
y=ekx   k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).
Рассмотрим 3 случия:
1. D>0, k1,2=(-p(((p2-4q))/2, k1(k2 y1=ek1x, y2=ek2x.
Т.к. y1/y2(const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x.
2. D=0 k1,2=-p/2
y1=e-px/2, y2=y1?(e--?pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x).
3.Когда корни комплексные, т.е. D<0,  k1,2=(((i,  y1=e(xCos(x,  y2=e(xSin(x,
y1/y2(const, y=e(x(c1Cos(x+c2Sin(x)
                 Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.
1. f(x)=Pn(x)e(x     1) ( - не явл-ся корнем хар. ур-ия
y*=(A0xn+A1xn-1 ++...+An)=Qn(x)e(x.
3) ( - однократный корень y*=xQn(x)e(x.
3) ( - двукрат. корень y*=x2Qn(x)e(x.
2. f(x)=p(x)e(xCos(x+q(x)e(xSin(x
1) (+(i – не корень y*=U(x)e(xCos(x+V(x)e(xSin(x.
2) (+(i – корень y*=x[U(x)e(xCos(x+V(x)e(xSin(x].
3. f(x)=MCos(x+NSin(x
1)(i – не корень, y*=ACos(x+BSin(x.
2)(i – корень, y*=x(ACos(x+BSin(x).

                                    РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.
Пусть  дана  бесконечная   послед-ть   чисел   U1,   U2...Un,...   Выражение
U1+U2+...+Un+... наз-ся числовым рядом,
U1, U2...Un – члены ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся
n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+...+Un.
Если сущ-ет конечный предел limn((Sn=S, то этот предел наз суммой ряда.
Если  предел  limn((Sn  равен  (  или  не  сущ-ет,  то  говорят  ,  что  ряд
расходится.
Если сущ-ет предел limn((Sn, то ряд сходится.
                Некоторые очевидные свойства числовых рядов:
1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного  числа  его
членов.
Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма  k  отброшенных  членов,
Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и  не  входящих  в  Ck.  Тогда
имеем: Sn=Ck+Dn-k, где  Ck  –  постоянное  число,  не  зависящее  от  n.  Из
последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и  limSn;
если сущ-ет lim  Sn,  то  сущ-ет  limDn-k,  а  это  доказ-ет  справедливость
теоремы.
2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его сумма  равна  S,  то  ряд
ca1+ca2+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.
Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда  (2)  –  через
Dn. Тогда Dn=ca1+...+can=c(a1+...+an)=cSn. Отсюда  ясно,  что  передел  n-ой
частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.
lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д.
3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1+b2+...(6)  сходятся,  и  их  суммы,
соответственно,   равны   S1и   S2,   то   ряды   (a1+b1)+(a2+b2)+...(7)   и
(a1–b1)+(a2–b2)+...(8) также сходятся, и  их  суммы,  соответственно,  равны
S1+S2 и
S1–S2.
Док-во: док-ем сходимость ряда  (7).  Обозначая  его  n-ую  частичную  сумму
через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через  S1n  и
S2n,    получим:     Dn=(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1+...+an)+(b1+...+bn)=S1n+S2n.
Переходя к в этом равенстве к пределу при n(((, получим  limDn=lim(S1n+S2n)=
limS1n+limS2n=S1n+S2n.
Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.
4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n((.
Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un+... сходится, т.е. limSn=S n((,  тогда  имеет
место равенство limSn-1=S.
limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д.
               Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.
1)Признак   сравнения.   Пусть    дан    ряд    U1+U2+...+Un+...(1),    S1n;
V1+V2+...+Vn+...(2) S2n; Известно,что Vn(Un при n(N0.
1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;
2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.
  Док-во:   Из   сходимости   ряда   (2)   следует,   что   (   lim   S2n=S.
S1n=U1+U2+...+UN0+UN0+1+...+Un=SN0+VN0+1+...+Vn.          limS1n=lim(SN0+Dn-
N0)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть, ограниченная  числом  SN0+D  =>  (  lim
S1n=Sn1.
2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L(0,(  при  n((,
то ряды ведут себя одинаково.
3)  Признак  Даламбера.  Если  (  lim(Un+1/Un)=L(2)  при  n((,  то:  1)  ряд
сходится,  если  L<1;  2)  расходится,  если  L>1.  Док-во:  1)  пусть  L<1.
Рассмотрим  число  q,  удовл.  соотнош  L1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с  некот.
N, т.е. для n(N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для  всех
n(N. Но это озн-ет, что члены ряда  возрастают,  начиная  с  номера  N+1,  и
поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.
4)Признак Коши. Если для ряда  с  положит  членами  limn(Un=L,  то:  1)  ряд
сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.
Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь:  n(Un>1  или  Un>1.  но
если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше  1,  то  ряд  расходится,
т.к. его общий член не стремится к нулю.
5)Интегральный  признак  сходимости.  Имеем  ряд  ((n=1Un,  где  члены  ряда
убывают Un>Un+1>0. Есть  фун  f(x)>0,  х([1;(]  непрерывная  и  убывающая  и
такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.
Если не собственный интеграл ((1f(x)dx – сходиться, то  ряд  сходится.  Если
не собственный интеграл ((1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.



                           Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены  попеременно  то
положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница:  Если  члены  знакочередующегося   ряда  убывают  по  абсолютной
величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n(( равен 0


(Lim n(( Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит  первого  члена:
U1(S.

  Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа  членов  при
n=2m:
S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m).  Эта  последовательность  возрастающая  и
ограниченная.    На     основании     признака     существования     придела
последовательность S2m имеет предел    Limm((S2m=S.  Переходя  к  пределу  в
неравенстве   S2m|Х1|.

Д: 1)По условию ряд (*)  сходится  при  Х=Х0?0,  следовательно,  выполняется
необходимый    признак    сходимости      Limn((Un=Limn((CnX0n=0.     Значит
последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое  число  М>0,  что  для
всех  n  выполняется  неравенство             |CnX0n||X1|  ряд  (*)  сходится.  Тогда  по
доказанному выше он должен сходится  и  в  точке  Х1  (т.к.  |X|>|X1|),  что
противоречит условию.(
Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R?0, что при |Х|R – расходится. Число R получило название радиуса
сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.
2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-
R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а  следовательно  степенной  ряд  можно
почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.
4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и
а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно.
5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.
Функциональные ряды
Ряд  U1+U2+..+Un+..  называется  функциональным,  если  его  члены  являются
функциями от Х.  Рассмотрим функциональный ряд   U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1)
 Совокупность тех значений Х,  при  которых   функциональный  ряд  сходится,
называют областью сходимости этого ряда.
Обозначим через Sn(Х)  сумму  первых  n  членов  ряда  (1).  Если  этот  ряд
сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x)  есть  сумма
ряда Un+1(x)+Un+2(x) +…, т.е.    rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +…    В этом  случае
величина rn(x)  называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в  области
сходимости  ряда  имеет  место  соотношение                  Limn>?   rn(x)=
Limn>?[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток  rn(x) сходящегося ряда стремится к  нулю
при n>?.
Функциональный    ряд     U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+..         (1)     называется
мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует  такой  сходящийся
числовой ряд а1+а2+а3+…+аn..(2)  с  положительными  членами,  что  для  всех
значений     Х     из     данной     области     выполняются     соотношения
|U1(x)|?a1,…,|Un(x)|?an ,…  Иначе, ряд называется мажорируемым, если  каждый
его член по абсолютной величине  не  больше  соответствующего  члена  нек-го
сход. ряда с полож. членами.
Ряд Тейлор.
Для ф-и F(x) имеющей  все  производные  до  (n-1)  порядка  включительно,  в
окрестности      точки      х=а      справедлива      формула       Тейлора:
                                             f(x)=f(a)+f((a)(x-a)+f(((a)[(x-
a)2/2!]+…
…+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x),    (1)    где    остаточный    член    Rn(х)={[(x-
a)n+1]/[(n+1)!]}f(n+1)[a+((x-a)], где 0<(<1. Для того, чтобы ряд сходился  к
ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n((  остаток  ряда  стремился  к  0,
т.е. Rn(x)(o. Переходя в формуле (1)  к  пределу  при  n((,  получим  справа
бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:
f(x)=f(a)+f((a)(x-a)+…+fn(a)[(x-a)n/n!]+…
Если  в  ряде  Тейлора  предположим   а=0,   то   получим   ряд   Маклорена:
f(x)=f(0)+f((0)x+f(((0)[x2/2!]+…
…+fn(0)[xn/n!]+….
Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:
ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+… (-(;()
sinX=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+…  (-(;()
cosX=1-x2/2!+x4/4!-…+[(-1)nX2n]/(2n)!+…  (-(;()
(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*
*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+…   (-1;1)
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+..       (-1;1]
1/(1-x)=1+x+x2+…+xn+..
1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+…
arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+…

-----------------------
G


y

x

P




смотреть на рефераты похожие на "Ряды"