Математика

Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически


       Основная часть:

     Применение графиков в решении уравнений.
 I)Графическое решение квадратного уравнения:

    Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

    Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
    Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.
    График первой зависимости  нам  известен,  это  есть  парабола;  вторая
зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1)  видно,
что в том случае, когда  х   является  его  решением,  рдинаты  точек  обоих
графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна  и
та же точка как на параболе, так и на прямой,  то  есть  парабола  и  прямая
пересекаются в точке с абциссой х.
    Отсюда    следующий    графический    способ    решения     квадратного
уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую       у=-рх-q.
    Если прямая и  парабола  пересекаются,  то  абциссы  точек  пересечения
являются  корнями  квадратного  уравнения.  Этот  способ  удобен,  если   не
требуется большой точности.
    Примеры:
    1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0
    Представим его в виде x2=3x-7/4.
    Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.
    Рисунок 1.
    Для  построения  прямой  можно   взять,   например,   точки(0;-7/4)   и
(2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами  x1=0.8  и
x2=2.2 (см. рисунок 1).
    2.Решить уравнение : x2-x+1=0.
    Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
    Построив  параболу  у=х2  и  прямую   у=х-1,   увидим,   что   они   не
пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
    Рисунок 2.

    Проверим это. Вычислим дискриминант:
                            D=(-1)2-4=-3<0,
    А поэтому уравнение не имеет корней.
    3. Решить уравнение: x2-2x+1=0
    Рисунок 3.
    Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим,  что
они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см.  рисунок  3),  х=1,
у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это  вычислением).

      II) Системы уравнений.
    Графиком уравнения  с  двумя  переменными  называется  множество  точек
координатной плоскости,  координаты  которых  обращают  уравнение  в  верное
равенство.  Графики  уравнений  с  двумя  переменными  весьма  разнообразны.
Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2  –2
–парабола, уравнения х2 +у2=4 – окружность, и т.д..
    Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и
степень целого уравнения с одной переменной. Если левая  часть  уравнения  с
двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида,  а  правая
число 0, то степень уравнения считают равной степени  многочлена.  Для  того
чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения  с  двумя  переменными,
его заменяют равносильным  уравнением,  левая  часть  которого  –  многочлен
стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.
        Пример1:решить систему ? x2 +y2 =25    (1)
                                                    ?y=-x2+2x+5  (2)
    Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):
    Построим в одной системе координат графи)
                                х2 +у2=25  и у=-х2+2х+5
Координаты любой точки построенной окружности  являются  решением  уравнения
1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2.  Значит,
координаты каждой из точек пересечения окружности и  параболы  удовлетворяют
как первому  уравнению  системы,  так  и  второму,  т.е.  являются  решением
рассматриваемой системы. Используя рисунок,  находим  приближённые  значения
координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5),    В(0;5),  С(2,2;4,5),
D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:
                х1?-2,2 , у1?-4,5;                   х2?0,  у2?5;
                х3?2,2 ,  у3?4,5;                     х4?4,  у4?-3.
    Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться,  что
второе и четвёртое из этих решений являются точными, а  первое  и  третье  –
приближёнными.
     III)Тригонометрические уравнения:
    Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически.
Рассмотрим графический способ решения на примере.
    Рисунок5.
    Пример1:sinx+cosx=1.  Построим   графики   функций   y=sinx   u    y=1-
cosx.(рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения:  х=2?п,где
пЄZ и х=?/2+2?k,где kЄZ(Обязательно проверить это  вычислениями).    Рисунок
6.
    Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0.  Решать  это  уравнение  будем  по
принципу  решения  предыдущего.   Сначала   построим   графики(См.   рисунок
6)функций: y=tg2x  u  y=-tgx.  По  графику  видно  что  уравнение  имеет   2
решения: х=?п, пЄZ u x=2?k/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)


                       Применение графиков в решении неравенств.

    1)Неравенства с модулем.
    Пример1.
    Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.
    На интеграле(-1;-?) по определению модуля имеем                 |х-1|=-
х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле  неравенство  равносиьно
линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким  образом,  в
множество  решений  входит  интеграл(-2;-1).На   отрезке   [-1,1]   исходное
неравенство  равносильно  верному  числовому  неравенству  2<4.Поэтому   все
значения  переменной,  принадлежащие  этому  отрезку,  входят  в   множество
решний.
    На  интеграле  (1;+?)  опять  получаем   линейное   неравенство   2х<4,
справедливое при х<2.  Поэтому  интеграл  (1;2)  также  входит  в  множество
решений.  Объединяя  полученные  результаты,   делаем   вывод:   неравенству
удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
    Однако тот же самый результат можно получить из наглядных  и  в  то  же
время строгих геометрических соображений. На  рисунке  7  построены  графики
функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.
    Рисунок 7.

    На интеграле (-2;2)  график  функции  y=f(x)  расположен  под  графиком
функции  у=4,  а  это  означает,   что   неравенство   f(x)<4   справедливо.
Ответ:(-2;2)
    II)Неравенства с параметрами.
    Решение неравенств с одним  или  несколькими  параметрами  представляет
собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей,  в  которой
параметры отсутствуют.
    Например, неравенство?а+х+?а-х>4, содержащее параметр  а,  естественно,
требует, для своего решения  гораздо больше усилий, чем неравенство  ?1+х  +
?1-х>1.
    Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает
решить не одно неравенство,  а  целый  класс,  целое  множество  неравенств,
которые  получаются,  если  придавать  параметру   а   конкретные   числовые
значения. Второе  же  из  выписанных  неравенств  является  частным  случаем
первого, так как получается из него при значении а=1.
    Таким образом, решить неравенство,  содержащее  параметры,  это  значит
определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения  и  для
всех таких значений параметров найти все решения.
     Пример1:
    Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.
    Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся
геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
     Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u  y=b.
    Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не  выше  горизонтального
отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае  не
имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b  пересекает  график
функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и  неравенство  в
этом  случае  справедливо  при  –b/22|a|, то x €(-b/2;b/2).



      III) Тригонометрические неравенства:
    При решении  неравенств  с  тригонометрическими  функциями  существенно
используется   периодичность   этих   функций   и   их    монотонность    на
соответствующих  промежутках.  Простейшие  тригонометрические   неравенства.
Функция sin x имеет положительный период 2?. Поэтому неравенства  вида:  sin
x>a, sin x>=a,
                            sin x-1/2.(рисунок 10)
    Сначала решим это неравенство  на  отрезке[-?/2;3?/2].  Рассмотрим  его
левую часть – отрезок [-?/2;3?/2].Здесь  уравнение  sin  x=-1/2  имеет  одно
решение  х=-?/6;  а  функция  sin  x  монотонно  возрастает.  Значит,   если
–?/2<=x<= -?/6, то sin x<=sin(-?/6)=-1/2,  т.е.  эти  значения  х  решениями
неравенства не являются. Если же –?/6<х<=?/2 то sin x>sin(-?/6) = –1/2.  Все
эти значения х не являются решениями неравенства.
    На оставшемся отрезке [?/2;3?/2] функция  sin  x  монотонно  убывает  и
уравнение sin x =  -1/2  имеет  одно  решение  х=7?/6.  Следовательно,  если
?/2<=x<7?/, то sin  x>sin(7?/6)=-1/2,  т.е.  все  эти  значения  х  являются
решениями неравенства. Для  x Є[7?/6;3?/2]  имеем  sin  x<=  sin(7?/6)=-1/2,
эти значения х  решениями  не  являются  .  Таким  образом,  множество  всех
решений  данного  неравенства  на  отрезке  [-?/2;3?/2]  есть  интеграл   (-
?/6;7?/6).
    В силу периодичности функции sin x с периодом 2? значения х  из  любого
интеграла  вида:  (-?/6+2?n;7?/6   +2?n),nЄZ,   также   являются   решениями
неравенства. Никакие  другие  значения  х  решениями  этого  неравенства  не
являются .
    Ответ: -?/6+2?n

смотреть на рефераты похожие на "Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически "