Математика

Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез


            Самарский государственный аэрокосмический университет

                         им. академика С.П. Королева


                        Кафедра прикладной математики


  Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая
                                 статистика»
   Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их
  числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических
                                  гипотез»
                                Вариант № 15



                                                   Выполнил студент группы №
                                                   625

                                                   Евгений В. Репекто



                                Самара - 2002

                   Задание на расчетно-графическую работу

            Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:
|№       |       |№       |        |№        |        |№       |        |
|1       |4      |31      |10      |61       |20      |91      |44      |
|2       |19     |32      |25      |62       |16      |92      |12      |
|3       |25     |33      |38      |63       |15      |93      |16      |
|4       |-4     |34      |1       |64       |32      |94      |9       |
|5       |58     |35      |19      |65       |52      |95      |12      |
|6       |34     |36      |55      |66       |-5      |96      |40      |
|7       |32     |37      |9       |67       |21      |97      |17      |
|8       |36     |38      |11      |68       |30      |98      |10      |
|9       |37     |39      |6       |69       |27      |99      |31      |
|10      |4      |40      |31      |70       |12      |100     |49      |
|11      |24     |41      |17      |71       |19      |101     |25      |
|12      |3      |42      |-6      |72       |1       |102     |33      |
|13      |48     |43      |14      |73       |23      |103     |26      |
|14      |36     |44      |9       |74       |7       |104     |19      |
|15      |27     |45      |13      |75       |4       |105     |25      |
|16      |20     |46      |25      |76       |16      |106     |34      |
|17      |1      |47      |11      |77       |38      |107     |10      |
|18      |39     |48      |18      |78       |40      |108     |24      |
|19      |11     |49      |2       |79       |30      |109     |2       |
|20      |16     |50      |29      |80       |14      |110     |38      |
|21      |49     |51      |20      |81       |51      |111     |30      |
|22      |25     |52      |48      |82       |17      |112     |10      |
|23      |26     |53      |16      |83       |25      |113     |39      |
|24      |30     |54      |29      |84       |34      |114     |1       |
|25      |19     |55      |12      |85       |23      |115     |40      |
|26      |32     |56      |-3      |86       |20      |116     |7       |
|27      |3      |57      |16      |87       |9       |117     |26      |
|28      |40     |58      |41      |88       |29      |118     |36      |
|29      |45     |59      |19      |89       |18      |119     |22      |
|30      |35     |60      |0       |90       |46      |120     |28      |

  Все эти протокольные значения считаются значениями выборки
                                    [pic]
  некоторой случайной величины [pic], а 60 из них, имеющие нечетные номера
– значениями выборки
                                    [pic]
  другой случайной величины [pic]
  Требуется:
  1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic].
  2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу
     Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных
     величин [pic] и [pic].
  Образец заполнения таблицы для статистического ряда.
|№    |Границы          |Середина         |Количество       |Частота для      |
|пр-ка|промежутка       |промежутка       |элементов выборки|промежутка       |
|     |[pic]            |[pic]            |в промежутке     |[pic]            |
|     |                 |                 |[pic]            |                 |
|1    |[pic]            |[pic]            |[pic]            |[pic]            |
|2    |                 |                 |                 |                 |
|…    |…                |…                |…                |…                |
|[pic]|[pic]            |[pic]            |[pic]            |[pic]            |

  3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic].
  4. Найти  выборочное  среднее  [pic],  [pic]  и  исправленные  выборочные
     дисперсии: [pic], [pic] случайных величин [pic] и [pic].
  5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном  распределении,
     каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].
  6. Построить  график  функции  плотности  распределения  [pic]  случайной
     величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв  в
     качестве математического ожидания их  статистические  оценки  [pic]  и
     [pic]) и вычислив значение функции [pic] в  точках:  [pic],  [pic],  а
     также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
  7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].
  8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и  дисперсий
     случайных  величин  [pic]  и  [pic],   соответствующие   доверительной
     вероятности [pic].
  9. Проверить статистическую гипотезу [pic]  при  альтернативной  гипотезе
     [pic] на уровне значимости [pic].
 10. Проверить статистическую гипотезу [pic]  при  альтернативной  гипотезе
     [pic] на уровне значимости [pic].


                                   Решение

  1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic].
  Вариационный ряд величины [pic]
|-6     |12      |22      |33      |
|-5     |12      |23      |34      |
|-4     |12      |23      |34      |
|-3     |12      |24      |34      |
|0      |13      |24      |35      |
|1      |14      |25      |36      |
|1      |14      |25      |36      |
|1      |15      |25      |36      |
|1      |16      |25      |37      |
|2      |16      |25      |38      |
|2      |16      |25      |38      |
|3      |16      |25      |38      |
|3      |16      |26      |39      |
|4      |16      |26      |39      |
|4      |17      |26      |40      |
|4      |17      |27      |40      |
|6      |17      |27      |40      |
|7      |18      |28      |40      |
|7      |18      |29      |41      |
|9      |19      |29      |44      |
|9      |19      |29      |45      |
|9      |19      |30      |46      |
|9      |19      |30      |48      |
|10     |19      |30      |48      |
|10     |19      |30      |49      |
|10     |20      |31      |49      |
|10     |20      |31      |51      |
|11     |20      |32      |52      |
|11     |20      |32      |55      |
|11     |21      |32      |58      |


                       Вариационный ряд величины [pic]
|1      |21    |
|2      |22    |
|2      |23    |
|3      |23    |
|4      |24    |
|4      |25    |
|6      |25    |
|9      |25    |
|9      |25    |
|10     |26    |
|10     |26    |
|11     |26    |
|11     |27    |
|12     |27    |
|12     |30    |
|13     |30    |
|14     |31    |
|15     |32    |
|16     |37    |
|16     |38    |
|16     |38    |
|17     |39    |
|17     |40    |
|18     |44    |
|19     |45    |
|19     |48    |
|19     |49    |
|19     |51    |
|20     |52    |
|20     |58    |


  2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу
     Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных
     величин [pic] и [pic].
  Найдем количество элементов выборок после группировки элементов
  Величина [pic]: [pic]
  Величина [pic]: [pic]
  Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной
  величины [pic]

|№    |Границы          |Середина         |Количество       |Частота для      |
|пр-ка|промежутка       |промежутка       |элементов выборки|промежутка       |
|     |[pic]            |[pic]            |в промежутке     |[pic]            |
|     |                 |                 |[pic]            |                 |
|1    |-8 ; 0           |-4               |4                |0.0333           |
|2    |-0 ; 8           |4                |15               |0.1250           |
|3    |8 ; 16           |12               |19               |0.1583           |
|4    |16 ; 24          |20               |25               |0.2083           |
|5    |24 ; 32          |28               |24               |0.2000           |
|6    |32 ; 40          |36               |17               |0.1417           |
|7    |40 ; 48          |44               |8                |0.0667           |
|8    |48 ; 56          |52               |8                |0.0667           |

  Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной
величины [pic]
|№    |Границы          |Середина         |Количество       |Частота для      |
|пр-ка|промежутка       |промежутка       |элементов выборки|промежутка       |
|     |[pic]            |[pic]            |в промежутке     |[pic]            |
|     |                 |                 |[pic]            |                 |
|1    |0; 9             |4,5              |7                |0.1167           |
|2    |9 ; 18           |13,5             |16               |0.2667           |
|3    |18 ; 27          |22,5             |19               |0.3167           |
|4    |27 ; 36          |31,5             |6                |0.1000           |
|5    |36 ; 45          |40,5             |6                |0.1000           |
|6    |45 ; 54          |49,5             |5                |0.0833           |
|7    |54 ; 63          |58,5             |1                |0.0167           |



  3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic].
  Гистограммы  распределения  приведены  на   графиках   с   теоретическими
функциями распределения.

  4. Найти  выборочное  среднее  [pic],  [pic]  и  исправленные  выборочные
     среднеквадратические отклонения: [pic], [pic] случайных величин  [pic]
     и [pic].
  Выборочное среднее [pic] случайной величины [pic] равно
                                    [pic]
  Выборочное среднее[pic] случайно величины [pic] равно
                                    [pic]
  Найдем  исправленное  среднеквадратическое  отклонение  [pic]   случайной
величины [pic]:
                                [pic]=14.3632

  Найдем  исправленное  среднеквадратическое  отклонение  [pic]   случайной
величины [pic]:
                                [pic]=13.5727

  5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном  распределении,
     каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].
  Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины [pic].
  Используя  предполагаемый  закон  распределения,  вычислим  теоретические
частоты по формуле
  [pic], где  [pic] - объем выборки, [pic]  -  шаг  (разность  между  двумя
соседними вариантами, [pic], [pic]



  Построим вспомогательную таблицу:
|[pic]  |[pic]    |[pic]       |[pic]       |[pic]   |[pic]    |
|1      |4        |-1.9169     |  4.2461    |0.0606  |0.014    |
|2      |15       |-1.3600     |10.5760     |19.572  |1.850    |
|3      |19       |-0.8030     |19.3161     |0.0999  |0.005    |
|4      |25       |-0.2460     |25.8695     |0.7561  |0.0292   |
|5      |24       |0.3110      |25.4056     |1.9757  |0.0778   |
|6      |17       |0.8680      |18.2954     |1.6780  |0.0917   |
|7      |8        |1.4249      |9.6610      |2.7590  |0.2856   |
|8      |8        |1.9819      |3.7409      |18.139  |4.8491   |

  В итоге получим [pic]= 7,2035
  По таблице критических точек распределения  [pic]  ([1],  стр.  465),  по
уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим
                                    [pic]


  Т.к.  [pic],  экспериментальные  данные  не  противоречат  гипотезе  и  о
нормальном распределении случайной величины [pic].

  Для случайной величины [pic]:

  Используя  предполагаемый  закон  распределения,  вычислим  теоретические
частоты по формуле
  [pic], где  [pic] - объем выборки, [pic]  -  шаг  (разность  между  двумя
соседними вариантами, [pic], [pic]



|[pic]  |[pic]    |[pic]      |[pic]         |[pic]      |[pic]   |
|1      |7        |-1.4036    |5.9274        |1.1504     |0.1941  |
|2      |16       |-0.7405    |12.0665       |15.4725    |1.2823  |
|3      |19       |-0.0774    |15.8248       |10.0820    |0.6371  |
|4      |6        |0.5857     |13.3702       |54.3197    |4.0627  |
|5      |6        |1.2488     |7.2775        |1.6319     |0.2242  |
|6      |5        |1.9119     |2.5519        |5.9932     |2.3485  |
|7      |1        |2.5750     |0.5765        |0.1794     |0.3111  |


  В итоге получим [pic]= 8.1783
  По таблице критических точек распределения  [pic]  ([1],  стр.  465),  по
уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы  7 - 3=4 находим
                                    [pic]
  Т.к.  [pic],  экспериментальные  данные  не  противоречат  гипотезе  и  о
нормальном распределении случайной величины [pic].

  6. Построить  график  функции  плотности  распределения  [pic]  случайной
     величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв  в
     качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки
     [pic] и [pic]) и вычислив значение  функции  [pic]  в  точках:  [pic],
     [pic], а также в точке  левее  первого  и  правее  правого  промежутка
     группировки.



  7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].



  8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и  дисперсий
     случайных  величин  [pic]  и  [pic],   соответствующие   доверительной
     вероятности [pic].
  Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:
  Рассмотрим статистику [pic],  имеющую  распределение  Стъюдента  с  [pic]
степенями  свободы.  Тогда  требуемый  доверительный  интервал   определится
неравенством [pic]. И доверительный интервал для  [pic]  выглядит  следующим
образом:
                                    [pic]
  Найдем [pic]по таблицам  ([2],  стр.  391).  По  [pic]=0,95  и  [pic]=120
находим: [pic]=1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
                                    [pic]
  То есть: (20,93721;26,12946).

  Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:
  Рассмотрим статистику [pic],  имеющую  распределение  Стъюдента  с  [pic]
степенями  свободы.  Тогда  требуемый  доверительный  интервал   определится
неравенством [pic]. И доверительный интервал для  [pic]  выглядит  следующим
образом:
                                    [pic]
  Найдем [pic]по  таблицам  ([2],  стр.  391).  По  [pic]=0,95  и  [pic]=60
находим: [pic]=2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
                                    [pic]
  То есть: (20,043;27,056).

  Известно, что если математическое ожидание неизвестно,  то  доверительный
интервал для дисперсии при доверительной вероятности [pic] имеет вид
                                    [pic]
  Для случайной величины [pic] найдем:
                                   [pic].
                                    [pic]
                                    [pic]
  Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic] (162,8696; 273,8515).
  Для случайной величины [pic] найдем
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
  Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic](134,82; 277,8554).
  (Квантили распределения [pic] найдены по таблице [3], стр. 413).

  9. Проверить статистическую гипотезу [pic]  при  альтернативной  гипотезе
     [pic] на уровне значимости [pic].
  Рассмотрим статистику
                                   [pic],
  где
                                   [pic],
  которая имеет распределение Стъюдента [pic],
  Тогда область принятия гипотезы [pic].[pic]
  Найдем s:
                                    [pic]
  Найдем значение статистики [pic]:
                                    [pic]
  По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)
                                    [pic]
  Т. к. [pic], то гипотеза [pic] принимается. Предположение о равенстве
математических ожиданий [pic]  не противоречит результатам наблюдений.

 10. Проверить статистическую гипотезу [pic]  при  альтернативной  гипотезе
     [pic] на уровне значимости[pic].
  Рассмотрим статистику  [pic], где [pic], [pic]т.к. [pic]. Эта  статистика
имеет распределение Фишера [pic]. Область принятия гипотезы [pic]
                                    [pic]
  Найдем значение статистики [pic]:
                                    [pic]
  По таблицам найдем [pic]. Т.к.  [pic],  то  гипотеза  [pic]  принимается.
Предположение [pic] не противоречит результатам наблюдений.

                          Библиографический список

    1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория  вероятностей  и
       математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред.  А.В.
       Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред.  физ.-мат.
       лит. , 1990. – 428 с.
    2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач  по  теории  вероятностей  и
       математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-
       е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.
    3. Гмурман  В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.  Учеб.
       пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб.  и  доп.  М.,  «Высш.  школа»,
       1977.
    4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.
-----------------------
    5. [pic]

  [pic]




смотреть на рефераты похожие на "Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез "