Математика

Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток


          МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.
                   КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


                   Кафедра прикладной и высшей математики



                          Лабораторная  работа № 43

                                  на тему:



                   Решение смешанной задачи для уравнения
                     гиперболического типа методом сеток



                                Группа М-2136



Выполнил студент                   _______________________

Проверил преподаватель       Воронова Лилия Ивановна



                                 Курган 1998
      Рассмотрим смешанную задачу для волнового   уравнения             (  (
2 u/ (  t2) =  c 2 * ( (   2u/ (    x2)  (1).  Задача  состоит  в  отыскании
функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t  (  T,
начальным условиям u(x,0) = f(x),  ( u(x,0)/ ( t = g(x) , 0  (   x  (   a  и
нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.
      Так как замена переменных t (   ct приводит уравнение (1) к виду  (  (
2 u/ (  t2) =  ( (  2u/ (  x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.
      Для построения разностной схемы решения задачи строим в  области  D  =
{(x,t) | 0 (  x (  a, 0 (  t (  T } сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h *  n,
tj = j* (((  , j = 0,1 ... , m, ( m = T и  аппроксимируем  уравнение  (1)  в
каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

    t


  T


j+1
   j

j-1


  0           i-1   i    i+1



      Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные
производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .

           ui,j+1 - 2uij + ui,j-1           ui+1,,j - 2uij + ui-1, j

                               (  2
h2

      (4)


      Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).
      Полагая, что  (  =  ( / h , получаем трехслойную разностную схему
      ui,j+1 = 2(1-  (   2 )ui,j + (   2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2
...  n.     (5)
      Для простоты в данной лабораторной  работе  заданы  нулевые  граничные
условия, т.е. (  1(t) (  0, (  2(t) (  0.  Значит,  в  схеме  (5)  u0,j=  0,
unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех  временных  слоях
с номерами j-1, j , j+1. Схема  (5)  явная,  т.е.  позволяет  в  явном  виде
выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.
      Численное решение задачи состоит в  вычислении  приближенных  значений
ui,j решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при  i  =1,  ...  n,  j=1,2,  ...  ,m  .
Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j  =
2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух  предыдущих  слоев  (
j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0)  решение
известно из начального условия ui0 = f(xi).
      Для вычисления решения на первом  слое  (j=1)  в  данной  лабораторной
работе принят простейший способ,  состоящий  в  том,  что  если  положить  (
u(x,0)/ (  t  (  ( u( x, (  ) - u(x,0) )/ (   (6) , то  ui1=ui0+        +  (
(xi), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих  слоях  можно
применять  формулу  (5).  Решение  на  каждом  следующем   слое   получается
пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).
      Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О(  (  +h2).
Невысокий порядок аппроксимации  по  (  объясняется  использованием  слишком
грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).
      Схема  устойчива,  если  выполнено  условие  Куранта   (    <  h.  Это
означает, что  малые  погрешности,  возникающие,  например,  при  вычислении
решения на первом слое, не будут неограниченно  возрастать  при  переходе  к
каждому  новому  временному  слою.  При  выполнении  условий  Куранта  схема
обладает равномерной сходимостью, т.е. при h   (      0  решение  разностной
задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.
      Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки  h
в  направлении  x  ,  появляется  ограничение  на  величину  шага   (     по
переменной t . Если необходимо произвести вычисление для  большого  значения
величины T , то может потребоваться большое количество шагов  по  переменной
t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем.
      Для оценки погрешности решения обычно  прибегают  к  методам  сгущения
сетки.
      Для  решения  смешанной  задачи  для  волнового  уравнения  по   явной
разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная  Subroutine
GIP3 Begn ... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое  по
значениям решения с двух предыдущих слоев.
      Входные параметры :
      hx - шаг сетки h по переменной х;
      ht - шаг сетки   (    по переменной t;
      k - количество узлов сетки по x, a = hn;
      u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений  на
( j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, ... ;
      u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений  на
j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;
      u3 - рабочий массив из k действительных чисел.
      Выходные параметры :
      u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения  из
j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;
      u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения  из
( j +1) - м временном слое, j = 1, 2, ...  .
      К части программы, обозначенной как  Subroutine  GIP3  Begin  ...  End
происходит циклическое  обращение,  пеоред  первым  обращением  к  программе
элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а  элементам  массива
u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по  формулам  (6).  При
выходе из подпрограммы GIP3 в  массиве  u2  находится  значение  решения  на
новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.
      Порядок работы программы:
      1) описание массивов u1, u2, u3;
      2) присвоение фактических  значений  параметрам  n,  hx,  ht,  облюдая
условие Куранта;
      3)  присвоение  начального  значения  решения  элементам   массива   и
вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;
      4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-
м слое ( k  (   2 ).
      Пример:



                             1


             0.5     0.5
      Решить задачу о  колебании  струны  единичной  длины  с  закрепленными
концами,  начальное  положение  которой  изображено  на  рисунке.  Начальные
скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h  по  x,  равным  0.1,  с
шагом  (     по t, равным 0.05, провести вычисления для 16  временных  слоев
с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид
      ( (   2 u/ (  t2) =  ( (  2 u/ (  x 2) , x  (    [ 0 , 1 ]  ,   t    (
[ 0 , T ] ,
      u ( x , 0 ) = f (x) , x  (    [ 0 , a ],    (  u(x,0)/ (  t =  g(x)  ,
x   (    [ 0 , a ],
      u ( 0 , t ) = 0,  u ( 1 , t ) = 0,   t  (    [ 0 , 0.8 ],

                      (  2x , x  (    [ 0 , 0.5 ] ,
      f(x) =      (                                g( x ) = 0
                      (  2 - 2x , x  (    [ 0.5 , 1 ] ,
      Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16  слоев  по
t. Программа, и результаты вычисления приведены далее.


смотреть на рефераты похожие на "Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток"