Математика

Теория управления


1. Общая постановка задачи управляемости.
  Для задачи  ОУ  характерно  наличие  динамического  объекта.  Динамический
объект- объект, состояние которого меняется со  временем.  Состояние  любого
динамического объекта  в  момент  времени  [pic]характеризуется  параметрами
[pic]. Такие параметры  наз.  Фазовые  координаты,  а  сам  вектор-  фазовый
вектор.
  Предполагается, что движением объекта можно  управлять.  Набор  параметров
[pic]- параметры управления,  u(t)-  вектор  управления.  Положение  объекта
зависит только от того, какое управление было до момента  времени  [pic],  и
не зависит от того, какое управление  будет  в  будущем.  В  зависимости  от
описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.
  Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением
1) [pic]- эта система решается приближенным методом.
2) x(t) должны принадлежать [pic], [pic]. Класс допустимых управлений  x(t),
[pic]не можат  быть  произвольным.  [pic],  как  правило  мн-во  замкнуто  и
ограничено, а это не  позволяет  применять  класс  вариационого  исчесления,
кроме этого на [pic]могут быть наложены ограничения по времени.
3)Начальное и конечное состояние  объекта.[pic]на  интервале  [pic],  [pic],
[pic].Задача  управления  заключается  в  том,  чтобы  динамический  объект,
описываемый  системой  (1),  удовлетворяющий  условиям  (2),  перенести   за
промежуток времени [pic],  из  состояния  [pic].Это  может  быть  достигнуто
разными способами.
4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида [pic].  Находим  такие
[pic], что [pic]



2. Основные вопросы в теории ОУ.
1) 1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического  объекта  из
   состояния [pic], за промежуток времени [pic].
2) Существует ли ОУ.
3) Необходимые условия оптимальности- принцип максимума Понтрягина.
4) Достаточные условия ОУ.
5) Единственность ОУ.

3.  Постановка линейной задачи.
Линейная задача имеет  вид:  Рассматриваем  динамический  объект,  поведение
которого описывается системой (1) [pic], x-  n-мерный  вектор,  ,  A-матрица
nxn, u имеет ту  же  размерность,  что  и  [pic],  [pic],  [pic]-замкнуто  и
ограничено. Допустимое управление u(t)  на  отр.I  осуществляет  переход  из
начального мн-ва [pic] в конечное множество [pic], если  существует  решение
уравнения (1), удовлетворяющее   граничным  условиям    [pic]и  [pic].  Цель
управления - перевод  динамический  объекта  из  [pic]в  [pic],  а  качество
определяет функционал. Таким функционалом явл. время,  следовательно  задача
быстродействия  заключается  в  нахождении  такого  допустимого  управления,
которое  осуществляет  переход  из  множества  [pic]в   [pic]за   наименьшее
время.[pic]

4. Пространство [pic], алгебраическая сумма[pic], произведение множества  на
число [pic].
Пространство  [pic]-пространство  состоящее  из   всевозможных   не   пустых
компактных подмножеств пр-ва [pic].
Мн-во F компактное, если оно замкнуто и ограничено.
Мн-во F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.
Мн-во F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.
Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится  хотя  бы
одна точка мн-ва F отличная от f.
Операции:1) алгебраической суммой[pic]наз. мн-во C такое, что любой  элемент
[pic], [pic][pic].
2) произведением множества на число [pic] наз.  мн-во  C  такое,  что  любой
элемент [pic].



5.[pic], хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.
[pic]-это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где [pic].
Хаусдорффова норма- это расстояние между мн-ми A и B:
 [pic] -расстояние между мн-ми A и B ([pic]) явл.  наименьшее  положительное
число r.
Лемма: Пусть [pic]- выпуклы, тогда хаусдорффова норма [pic][pic]
6.  Опорные функции.
Задано множество [pic]и  вектор  [pic]  .  Для  этих  двух  элементов  можно
определить опорную функцию следующим образом [pic], где C  опорная  функция.
[pic], [pic]
[pic], [pic].
[pic], [pic][pic].
Пусть  [pic]-некоторый  фиксированный  вектор,  а  [pic]один   из   векторов
множества F, на котором опорная функция достигает максимум:  [pic].  В  этом
случае [pic]наз. опорным вектором мн-ва F  в  точке  [pic].  А  совокупность
всех векторов [pic]наз. опорным  множеством  к  множеству  F  в  направлении
[pic].Гиперплоскость [pic]- наз. опорной гиперплоскостью  к  множеству  F  в
направлении   [pic].   Гиперплоскость   [pic]    разбивает    [pic]на    два
подпространства, при  этом  множество  F   находится  в  отрезке  получаемый
относительно   [pic],  т.к.  для  всех  точек  [pic]выполняется  неравенство
[pic]. Если считать, что [pic]- единичный вектор, [pic],
[pic]. опорных [pic]

7. Свойства опорной функции.
1. Опорные функция- положительно однородная по переменной [pic].
[pic]. Это значит что [pic][pic],[pic].
[pic]
2.  Для  [pic]опорные  функции  удовлетворяют   неравенству:   [pic]3.   Два
множества [pic] и [pic], [pic], [pic]Пусть матрица A размера n на n,  [pic]и
рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.
[pic].
4. [pic],где [pic]-матр. сопряженная с матр. [pic].
5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. [pic]  ,
[pic]. Пусть [pic] и пользуемся : 1) условием  однородности:  [pic]6.  Пусть
задано множество [pic]и его опорная фун. [pic] . Выпуклая оболочка мн-ва F
[pic], [pic].
7. Если  [pic]и A=B, то опорная фун.[pic]. И наоборот,  если  [pic],то[pic].
Следствие: Выпуклые мн-ва  равны  тогда  и  только  тогда,  когда  равны  их
опорные функции.
8. Если  [pic]и [pic]. В этом случае [pic]. Если  [pic],то[pic].  Следствие:
Выпуклые мн-ва [pic] тогда и только тогда, когда равны  их  опорные  функции
[pic].
9. Пусть задано множество [pic], тогда [pic].  В  обратную  сторону:  [pic],
когда [pic]. Следствие: Точка [pic] выпуклому мн-ву [pic] , тогда  и  только
тогда , когда [pic].
10.  Пусть  задано  множество  [pic],  а  [pic],  тогда  [pic].  [pic][pic].
Следствие: Пусть задано множество  [pic],   [pic],  тогда  и  только  тогда,
когда [pic].
[pic] и если  [pic], то [pic]. И наоборот:  Если  [pic],то  [pic].Следствие:
Два вып. Мн-ва пересекаются тогда и только тогда, когда [pic].

8.  Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица  для
опорных функций.
Пусть  [pic]-два  метрических  пространства  с  метриками  [pic]и  пусть   f
отображает [pic].  f  непрерывна в точке [pic], если [pic] такое  что  [pic]
Условие Липшица:  Функция   f,  отображающая  [pic],  удовлетворяет  условию
Липшица  с  const  L  ,  если  для  любых  двух  точек  [pic],   выполняется
неравенство [pic] ,для опорных функций  [pic], [pic], [pic]:[pic][pic]
Лемма: Опорная функция [pic] удовлетворяет условию  Липшеца  по  f  с  const
L=[pic].
Лемма: Пусть [pic]- выпуклы, тогда хаусдорффова норма [pic][pic]
9. Многозначные отображения.
Многозначным отображением будем называть функцию [pic]у  которой  аргументом
является число, а значением некоторые множества



10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.
Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке [pic], если для [pic].
Лемма:    Пусть   [pic]непрерывное   многозначное   отображение   ,    когда
[pic]непрерывна  по  t  при   всяком   фиксированном   [pic],   более   того
[pic]равномерно непрерывно по t [pic].
Если [pic] равномерно непрерывно по t  [pic],  то  многозначное  отображение
conv F(t) непрерывно.

11. Измеримые многозначные отображения. Лемма  о  равномерной  непрерывности
многозначного отображения.
Функция  f(t)  отображающая  [pic]в  некоторое  метрическое   пр-во   [pic]с
метрикой [pic]называется измеримой, если праобраз любого шара [pic]есть  мн-
во измеримое.

12. Интеграл  от  многозначного  отображения.  Теорема  о  непрерывности  от
многозначного отображения.
  F-многозначное отображение, такое что F: I[pic][pic], где [pic]  ,  [pic]-
замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
  Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется  множество
G  (G[pic])   вида: [pic]. Это мн-во значений интеграла по всем  однозначным
ветвям отображения
F(t) .
Теорема 3: Пусть многозначное  отображение  F(t)  измеримо  и  удовлетворяет
условию: [pic], где k(t)- скалярная  функция,  интегрируемая  по  Лебегу  на
отрезке I и измерима, тогда [pic]непрерывна на отр. I .
Опорная функция [pic][pic], где F[pic], [pic].





смотреть на рефераты похожие на "Теория управления"