Математика

Оценка вероятности безотказной работы по критериям остаточного ресурса


                                 СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ    2
МЕТОДИКА  ОЦЕНКИ ВЕРЯТНОСТИ  2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ ЗАПАСЕ ПРОЧНОСТИ.   9
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  12



                                  ВВЕДЕНИЕ

    Совершенство методов и средств  диагностики  позволяет  обнаруживать  в
элементах конструкций дефекты  различного  происхождения.  В  связи  с  этим
возникает  задача  о  допустимости  обнаруженных  дефектов  с  точки  зрения
нормального функционирования и безопасной работы ДЛА. Ситуация, связанная  с
необходимостью прогнозирования разрушения элементов ДЛА, а также  с  оценкой
риска эксплуатации в условиях  неполноты  и  неопределенности  информации  о
качестве и состоянии ДЛА, является постоянно действующим фактором. Одним  из
возможных способов реализации прогноза в условиях неопределенности  исходной
информации  является вероятностный подход.
    Пусть на некотором участке конструкции имеются дефекты различных  типов
(объемные и трещиноподобные поверхностные и подповерхностные дефекты,  поры,
непровары, коррозионные и  эрозионные  язвы  и  т.п).  Рассмотрим  в  начале
дефекты одного типа.  Системой  контроля   дефект  этого  типа  критического
размера l* будет или обнаружен с вероятностью Р1(l*),  или  не  обнаружен  с
вероятностью  с  вероятностью  Н1(l*)=1-Р1(l*).  В  первом  случае  условная
вероятность отказа будет равна нулю, т.к  обнаруженный  дефект  критического
размера должен быть либо устранен,  либо  приняты  меры  для  остановки  его
дальнейшего  роста,  либо  должен  быть  заменен   элемент   конструкции   с
обнаруженным критическим дефектом. Во  втором  случае  условная  вероятность
отказа равна 1, а безусловная вероятность отказа  совпадает  с  вероятностью
Н1(l*) необнаружения критического дефекта.  При  наличии  ансамбля  дефектов
одного типа вероятность отказа определяется вероятностью Н(l)  необнаружения
хотя бы одного дефекта с критическим размерами.
    Таким образом для оценки вероятности отказа конструкции по  результатам
диагностического контроля нужно уметь  вычислять  вероятность  необнаружения
опасных дефектов Н(l).

                         МЕТОДИКА  ОЦЕНКИ ВЕРЯТНОСТИ

    Пусть процесс обнаружения дефектов состоит из независимых событий, т.е.
обнаружение  одного  дефекта  не  влияет  на  процедуру  обнаружения  других
дефектов.  Если  это  условие  выполнено,  то  множество  дефектов  образует
Пуассоновский поток. Для этого потока вероятность необнаружения  к  дефектов
Qk(l) вычисляется по формуле (1):
    [pic]    (1)
    Здесь v(l)- математическое ожидание числа необнаруженных  в  результате
контроля дефектов размером больше l. Тогда  вероятность  Н(l)  необнаружения
хотя бы одного дефекта размером больше l вычисляется как:
    [pic]   (2)
    Обозначим через ?(l)  математическое  ожидание  общего  числа  дефектов
определенного типа, размер которых превышает l. Если через Pa(l)  обозначить
вероятность обнаружения одного дефекта  размером  больше  l,  то  (2)  будет
выглядеть так:
    [pic]                                        (3)
    Т.к в результате контроля можно подсчитать только обнаруженные дефекты,
то их математическое ожидание очевидно равно:
    K(l)=?(l)- v(l)= ?(l)*Pa(l),
    Откуда с учетом [3] следует, что:
    [pic]                                         (4)
    В итоге для вероятности Н(l) получим :
    [pic]                      (5)
    В формулы (3) – (5) входит вероятность Pa(l) обнаружения наугад взятого
дефекта размером больше l. Эта  вероятность  зависит  от  вероятности  P*(l)
обнаружения дефекта размером l, локализованного в месте измерения,  а  также
от распределения дефектов по размерам (2):
    [pic]                    (6)
    Здесь F(l)- функция распределения дефектов по размерам,
              p(l)=dF(l)/dl- соответствующая плотность вероятности.
    Вероятность P*(l) оценивается путем испытаний на эталонных  образцах  с
заданным числом дефектов определенного размера.
    Ее статистическая оценка равна отношению  числа  обнаруженных  дефектов
заданного размера к их  общему  числу.  Очевидно,  что  для  каждого  метода
измерений и для каждого типа дефектов имеется  свой  порог  обнаружения  l0,
для  которого   дефекты  размером  l*:  [pic].  При  известных  законах
распределения p1(l,t) и pl*(l*), определяемым по формулам (12) и  (14),  эта
вероятность находится как
    [pic]         (15)
    Формулу (15) можно упростить проинтегрировав по одной из  переменных  в
области D[l,t,l*]:
    [pic] (16)
    Другую  эквивалентную  форму  получим,  взяв  в  качестве   независимой
переменной l*:
    [pic]   (17)
    Рассмотренная схема оценки вероятности отказов по критерию  остаточного
ресурса учитывает рост одиночного дефекта. При наличии  множества  начальных
дефектов с различными размерами   будем  считать,  что  их  рост  происходит
независимо.  Разобьем  весь  интервал  начальных  размеров   дефектов,   как
обнаруженных в результате контроля, так и пропущенных, на  подинтервалы   со
средними  начальными  размерами  lk.  Обозначим  через   ?k   математическое
ожидание числа  дефектов, попавших в k-ый интервал. Эта  величина  находится
через математическое ожидание kk числа обнаруженных  в  результате  контроля
дефектов в k-ом интервале и  через  вероятность  их  обнаружения  Ра(lk)  по
формуле: [pic].
    Суммарная вероятность отказов при наличии множества дефектов  находится
как:
    [pic]     (18)
здесь через Hk(t) обозначена вероятность  отказов,  вычисленная  по  формуле
(16) или (17) при начальном размере дефекта lk.
    Окончательно с учетом вероятности отказов к  моменту  контроля  t0  для
вероятности отказов в момент времени t>t0 получим:
    H(t)=H0+H?(t)        (19)
где вероятность H0 находится по формуле (8).
    По формуле (19)  можно  оценит  увеличение  риска  с  течением  времени
эксплуатации после очередного контроля. Эта формула позволяет также  оценить
остаточный ресурс из условия непревышения вероятностью  отказов  предельного
значения H*. Расчетное значение остаточного ресурса ?* находится как  корень
уравнения H(?)=H*.
    Учет различных типов дефектов производится по формуле:
    [pic][pic]  (20)
где вероятности отказов Hj(t) для каждого типа дефектов  находятся  согласно
(19).
    Для  численного  примера  аппроксимируем  функцию  распределения   длин
дефектов  F(l)  и  критических  дефектов  асимптотическими   распределениями
Вейбулла с параметрами l0, l*0, lc, l*c, a, a1:
    [pic]   (21)
    [pic]             (22)
    Математическое  ожидание  числа  обнаруженных  дефектов  аппроксимируем
зависимостью с параметрам ?1 и l1:  [pic].
    Уравнение роста дефектов (10) перепишем в виде:
     [pic]  (23)
    При ?=const решение этого уравнения с начальным  условием  lk(t0)=  l0k
имеет вид: [pic] , где m1=m/2-1           (24)
    Рассматривая параметр напряжения ? как случайный с распределением Релея

    [pic]                               (25)
    Найдем распределение длин дефектов Fl(lk;t) по  формуле  (12),  которая
примет вид:
    [pic]                  (26)
    где ?(lk;t) – решение уравнения (24) относительно ?:
    [pic]                             (27)
    После вычисления интеграла (26) получим:
    [pic]            (28)

    Таким образом, изложенный подход к оценке вероятности отказа  элементов
конструкций ДЛА по результатам диагностического контроля дефектов  позволяет
учитывать статистическую информацию о различных типах  дефектов,  полученную
в  результате  обследования,  оценить  остаточный  ресурс  после  очередного
диагностического обследования.

    2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ            ЗАПАСЕ
                                 ПРОЧНОСТИ.

На основании расчетов в курсе ДиПРД принимаем полученные значения n,  kB1 и
t.
n=8000 об/мин, kB1=1.8, t=1.800 сек. Принимается, что рассчитываемая деталь
работает на режиме нормальной эксплуатации.
Q(t)= ?*t;
[?]=1*10-9 1/ч;        (1)
Pразр(t)=Q(3tрес);
Q=q=1*10-9;
Q(3tрес)= ?*3tрес=1*10-9*3*0.5=1.5*10-9;
[pic] ;  (2)
[pic].
Сравнивая выражение (1) с выражением (2) делаем вывод о том, что
рассчитываемая деталь соответствует мировому уровню по обеспечению
надежности.
Для повышения уровня безотказности выполняются следующие действия:
определяем коэффициенты вариации предельных свойств конструкции (Vs) и
параметров нагруженности (VR).
Vs выбирается в соответствии с рекомендациями. Принимаем Vs=0.1.
Коэффициент VR получаем расчетным путем:
 [pic]
Далее рассчитываем Pразр(t) для различных значений коэффициента запаса kB1
и коэффициентов вариации (Vs) и (VR) . Для этого расчета используем
следующие зависимости:
[pic]

                                                                   Таблица 1

|Vs=0.1, VR =0.0125          |
|K   |?   |Ф(?)    |Pразр(t|
|    |    |        |)      |
|1   |0   |0       |0.50000|
|    |    |        |0      |
|1.2 |1.66|0.45150 |0.04850|
|    |    |        |0      |
|1.4 |2.85|0.49780 |0.00220|
|    |    |        |0      |
|1.6 |3.74|0.49990 |0.00009|
|    |    |        |8      |
|1.8 |4.43|0.49999 |0.00007|
|    |    |        |1      |


Таблица 2

|Vs=0.12, VR =0.015           |
|K   |?   |Ф(?)    |Pразр(t)|
|1   |0   |0       |0.500000|
|    |    |        |0       |
|1.2 |1.38|0.41620 |0.083800|
|    |    |        |0       |
|1.4 |2.37|0.49110 |0.008900|
|    |    |        |0       |
|1.6 |3.12|0.49904 |0.000960|
|    |    |        |0       |
|1.8 |3.69|0.49998 |0.000011|
|    |    |        |5       |


Таблица 3

|Vs=0.08, VR =0.01            |
|K   |?   |Ф(?)    |Pразр(t)|
|1   |0   |0       |0.500000|
|    |    |        |0       |
|1.2 |2.07|0.480750|0.019250|
|    |    |        |0       |
|1.4 |3.56|0.499805|0.000200|
|    |    |        |0       |
|1.6 |4.67|0.499998|0.000002|
|    |    |        |1       |
|1.8 |5.54|0.499999|0.000000|
|    |    |        |3       |


Таблица 4

|Vs=0.12, VR =0.0125          |
|K   |?   |Ф(?)    |Pразр(t)|
|1   |0   |0       |0.500000|
|    |    |        |0       |
|1.2 |1.38|0.416200|0.083800|
|    |    |        |0       |
|1.4 |2.37|0.491100|0.008900|
|    |    |        |0       |
|1.6 |3.12|0.499040|0.000960|
|    |    |        |0       |
|1.8 |3.7 |0.499988|0.000011|
|    |    |        |5       |


Таблица 5

|Vs=0.08, VR =0.0125          |
|K   |?   |Ф(?)    |Pразр(t)|
|1   |0   |0       |0.500000|
|    |    |        |0       |
|1.2 |2.07|0.480750|0.019250|
|    |    |0       |0       |
|1.4 |3.55|0.499705|0.000290|
|    |    |3       |0       |
|1.6 |4.67|0.499997|0.000002|
|    |    |9       |1       |
|1.8 |5.53|0.499999|0.000000|
|    |    |6       |4       |


Таблица 6

|Vs=0.1, VR =0.015            |
|K   |?   |Ф(?)    |Pразр(t)|
|1   |0   |0       |0.500000|
|    |    |        |0       |
|1.2 |1.65|0.450500|0.049500|
|    |    |0       |0       |
|1.4 |2.84|0.497700|0.002300|
|    |    |0       |0       |
|1.6 |3.73|0.499780|0.000220|
|    |    |0       |0       |
|1.8 |4.43|0.499992|0.000002|
|    |    |9       |1       |



Таблица 7

|Vs=0.1, VR =0.01             |
|K   |?   |Ф(?)    |Pразр(t)|
|1   |0   |0       |0.500000|
|    |    |        |0       |
|1.2 |1.66|0.451500|0.0485  |
|    |    |0       |        |
|1.4 |2.85|0.497800|0.002200|
|    |    |0       |0       |
|1.6 |3.74|0.499902|0.000098|
|    |    |0       |0       |
|1.8 |4.44|0.499992|0.000002|
|    |    |9       |1       |


По полученным значениям Pразр(t) строится график Pразр(t)=f(kB1)

                      СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

    1. Болотин  В.В. Ресурс машин и конструкций- М.: Машиностроение, 1990.-
       448с.
    2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.-М.: Наука, 1969.-576с.
    3. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений.- М.:Мир, 1965.-450с.
    4. Болотин В.В., Чирков В.П. Асимптотические оценки для вероятности
       безотказной работы по моделям типа нагрузка-сопротивление// Проблемы
       машиностроения и надежности машин, 1992,№6 с.3-10


смотреть на рефераты похожие на "Оценка вероятности безотказной работы по критериям остаточного ресурса"