Радиоэлектроника

Модель рассеяния электромагнитной волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями


Содержание


Введение....................................................................
.....................................
        Основные
уравнения...................................................................
                             ..................

                             Фурье-компоненты рассеянной
         волны......................................................

                                 Уравнения Виннера-
  Хопфа....................................................................
                                   ......

                                    Приближенные
  решения..................................................................
                                ............

                             Примеры расчетов и примеры
           экспериментов.........................................


  Заключение...............................................................
                    .....................................



                   МОДЕЛЬ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

                 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ ИЗ ДИЭЛЕКТИКА С ПОТЕРЯМИ.


                                  ВВЕДЕНИЕ.

В  настоящей   статье   изучается   задача   рассеяния   плоской   волны
параллелепипедом  из  диэлектрика  с  потерями,  причем  считается,  что
размеры параллелепипеда сравнительно больше по отношению к длине  волны.
При исследовании используется метод Виннера-Хопфа. А именно, посредством
обобщения решения задачи для полубесконечного тела, полученного в работе
Джоунса,  попытаемся  распространить  результаты   для   полубесконечных
пластин из диэлектрика с большим потерями  так  же,  как  было  получено
решение для параллелепипеда из проводника. Само  собой  разумеется,  что
полученные  результаты  совпадают  с  решением  для  случая   идеального
проводника, если считать удельную электрическую проводимость  бесконечно
большой. В качестве характерной особенности  предлагаемого  метода,  по-
видимому, можно указать на то, что этот метод, так же  как  и  метод   в
случае   параллелепипеда   из   проводника,   оказывается    чрезвычайно
эффективным  в  применении  к  телам  с  поперечным  сечением   в   виде
продолговатого прямоугольника,  большая  сторона  которого  сравнительно
велика по отношению к длине волны. Конечно, в  случае  больших  размеров
тел приближение геометрической оптики и  приближение  физической  оптики
могут практически  применяться  в  качестве  наиболее  простых  методов,
однако, для того, чтобы знать в каком диапазоне размеров эти приближения
являются  верными,  необходимо  выполнить  точные  расчеты  и   провести
эксперименты. В данной работе приводятся также  и  результаты  модельных
экспериментов,   в   которых   использовались   микроволны;    проведено
сравнительное изучение с результатами расчетов.  Что  касается  среды  с
большими потерями, то в параллелепипеде закреплялся бетон, а в  качестве
проводника использовалась алюминиевая  пластина,  изготовленная  в  виде
параллелепипеда.

      На рис.1 представлено схематическое изображение параллелепипеда  и
геометрические  данные   рассматриваемой   задачи.   В   данном   случае
исследуется  задача  рассеяния  (двухмерная)  плоской  волны  (Е-волны),
падающей на параллелепипед из диэлектрика с большими потерями под  углом
( к оси х. Ширина параллелепипеда равна 2а, толщина - 2b.  Считаем,  что
изменение во времени описывается фактором [pic].



               Рис.1. Схематическое изображение данных задаче


                             ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

      Полное электромагнитное поле (t), рассеянная волна (S) и  падающая
волна (i) связаны следующим соотношением:

                     [pic]                                     ( 1 )

Считаем, что падающая плоская волна в рассматриваемой задаче может  быть
задана в следующем виде:

                 [pic]
           [pic]                                  ( 2 )

                 [pic]
Здесь:  [pic],  [pic]-   диэлектрическая   проницаемость   и   магнитная
проницаемость в вакууме.

      В силу строения рассеивающего тела (двухмерности задачи) плоскость
поляризации неизменна, уравнения Максвелла можно  записать  в  следующем
виде:

[pic]                          (3)

Здесь индекс j=0 относится к волновому уравнению в вакууме, а  j=1  -  к
волновому уравнению в среде  с  потерями.  Кроме  того,  величины  (,  (
представляют   собой   диэлектрическую    проницаемость    и    удельную
электрическую  проводимость   среды   с   потерями,   [pic]   обозначает
комплексную относительную диэлектрическую проницаемость.

      Решение уравнений (3) в данной задаче можно отыскивать так,  чтобы
удовлетворялись следующие граничные условия:

         (В1)   условия излучения вовне при  r (  (        ;
         (В2)  непрерывность [pic]при | y |=b                       ;
         (В3)  непрерывность [pic] при | x |=a, | y |=b   ;
         (В4)  непрерывность [pic] при | y |=b                    ;
      (В5)  условия концевой точки при | x |=a , | y |=b .

      При решении задачи используется преобразование  Фурье  и  обратное
преобразование Фурье, которые определяются ниже следующим образом:

[pic]                             (4)

Здесь контур интегрирования С  в  обратном  преобразовании  представляет
собой  контур  интегрирования  в  интеграле  с  бесконечными  пределами,
находящийся в  общей  области  Д(  ,  которая  может  быть  получена  на
основании предположения о том,  что  в  вакууме  имеются  незначительные
потери  (JmK0<0)  (область   Д,   не   являющаяся   общей,   обусловлена
существованием полюса (=(0, сопутствующего падающей волне).

                                                           [pic]



     Рис.2. Плоскость комплексной переменной ( и контур интегрирования С



                       ФУРЬЕ-КОМПОНЕНТЫ РАССЕЯНОЙ ВОЛНЫ

      Для проведения исследования дальше разложим  рассеянную  волну  на
три электромагнитные волны следующим образом:

[pic],                    (5)

причем считаем, что  каждая  электромагнитная  волна  при  |  y  |  (  b
удовлетворяет следующим соотношениям:

  [pic]         (6)

Здесь: L(x) - ступенчатая функция:

                                                                   [pic]
                    (7)

Смысл индексов, которыми снабжены каждая из электромагнитных  волн,  как
видно  из  формул  (6),   определяющих   эти   электромагнитные   волны,
заключается в следующем. Нижний индекс «0»соответствует тому,  что  поле
удовлетворяет волновому уравнению в вакууме, а индекс «1»  -  тому,  что
поле удовлетворяет волновому  уравнению  в  среде  с  потерями.  Другими
словами, эти индексы соответствуют значениям индекса j=0, 1 в уравнениях
(3). Кроме того, верхний значок (+) указывает на  то,  что  данное  поле
имеет смысл только при  x  >a,  а  значок           (-)  -  на  то,  что
рассматриваемое  поле  имеет  смысл  только  при  x  <-a.  В  силу  этих
определений  делаются  особенно  ясными  аналитические  свойства  Фурье-
компонент  каждой  электромагнитной   волны   и   становится   возможным
выполнение   исследования,   основанного   на   теоретико-функциональных
рассуждениях.

      Найдем теперь  Фурье-компоненты  рассеянной  волны.  Прежде  всего
посредством перехода к прямому преобразованию Фурье в волновом уравнении
(3)   при | y | ( b можно получить следующее уравнение:

                        [pic]                                      (8)

      Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям  (В1),
(В2), может быть записано следующими образом:

[pic]   (9)

Считаем здесь, что ветвление  [pic]  выбирается  условием  [pic].  Кроме
того, неизвестные функции представляют собой, как показывают  приводимые
ниже формулы, Фурье-компоненты рассеянной волны при | y | = b.  Наконец,
точка [pic] представляет собой полюс, происходящий от падающей волны:

[pic]                  (10)

[pic]                                     (11)

      Здесь значок справа у неизвестной функции  [pic] указывает на  то,
что в случае значка «+» эта функция регулярна в верхней полуплоскости  (
в области U ), а в случае значка « - » рассматриваемая функция регулярна
в нижней полуплоскости   ( в области L ). В дальнейшем используется этот
способ обозначений.

      С другой стороны, при  | y | ( b  существует  разрыв  в  среде.  В
результате выполнения прямого преобразования Фурье в волновом  уравнении
(3)   оно   превращается   в   следующие   дифференциальные    уравнения
неодинакового порядка:

[pic]     (12)

      Здесь «вынужденные» члены в правых частях можно вывести,  принимая
во внимание  то  обстоятельство,  что  величины  в  соотношениях  (6)  и
падающая волна ([pic]) непрерывны при | x | = a.

      Из уравнений (3) следует, что [pic] представляет собой производную
[pic], умноженную на постоянный коэффициент, поэтому, полагая

[pic]                      (13)

можем добиться того, чтобы удовлетворялось  граничное  условие  (В3).  В
приведенных  соотношениях  символ  производной  [pic]  означает,  что  в
производной [pic] выполнен  предельный  переход  [pic].  Таким  образом,
разлагая волну на торцевой плоскости ( при | x | = ( ) в следующий  ряд,
можем легко найти специальные решения уравнений (12):

[pic]                    (14)

[pic]                                                         (15)

      Что касается соотношений (14), то они превращаются  в  специальный
способ  разложения  в  ряд  Фурье.  Иначе  говоря,  представляют   собой
разложения по системе ортогональных функций, превращающихся в нуль при |
y  |  =b.  Физически  они  представляют  собой   собственные   колебания
плоскопараллельного  волновода.  Достаточность  таких  разложений  будет
видна из обсуждения свойств регулярности,  о  которых  речь  идет  ниже.
Окончательно,  в  качестве  решения  уравнений   (12),   удовлетворяющих
граничным условиям (В2), (В3), можем записать следующие выражения :

[pic](16



      Здесь члены рядов представляют собой частные решения. Кроме  того,
неизвестные функции, снабженные нижними  индексами  C,  S,  представляют
собой,  с  учетом  свойств  четности  в  соотношениях  (10),   следующие
выражения ( j=0, 1):

[pic]                                                              (17)

      Наконец, выполняются следующие соотношения ( j=0, 1,  q= c, s):

[pic]
                          (18)

      В заключение обсудим коэффициенты разложений в формулах (14).  Как
отмечалось  и  при  разъяснении  формул  (6),  выступающих  в   качестве
определений,  за  исключением  членов,  связанных  с   падающей   волной
(известные выражения), функция [pic] определена при x>(, а функция [pic]
определена при x<-(. Это означает,  что  Фурье-компоненты  этих  функций
обладают следующим свойствами регулярности, за  исключением  полюса  при
[pic]=[pic](  :  компонента  [pic]регулярна  в   верхней   полуплоскости
(области  U),  а  компонента  [pic]  регулярна  в  нижней  полуплоскости
(области L). С другой стороны, функция [pic] определена на  ограниченном
интервале -a

смотреть на рефераты похожие на "Модель рассеяния электромагнитной волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями"