Экономико-математическое моделирование

Построение экономической модели с использованием симплекс-метода




                               Курсовая работа

  Тема: Построение экономической модели с использованием симплекс-метода .



                                                      Работу выполнил
                                                      студент УТФ-4-2
                                                          Кулаков О. А.



                                Оглавление .

Введение

Моделирование  как метод научного познания.

Введение в симплекс-метод

Словесное описание
Математическое описание
Ограничения
Переменные
Целевая функция

Симплекс-метод .

Представление пространства решений стандартной задачи линейного
программирования
Вычислительные процедуры симплекс-метода

Анализ результатов .

Оптимальное решение
Статус ресурсов
Ценность ресурса
Максимальное изменение запаса ресурса
Максимальное изменение коэффициентов удельной
прибыли ( стоимости )



                 Моделирование  как метод научного познания.


      Моделирование  в  научных  исследованиях   стало   применяться  еще  в
глубокой  древности  и постепенно  захватывало  все  новые  области  научных
знаний :  техническое  конструирование  ,   строительство  и  архитектуру  ,
астрономию , физику , химию , биологию и , наконец ,  общественные  науки  .
Большие успехи и признание практически во всех  отраслях  современной  науки
принес методу моделирования ХХ в .  Однако методология моделирования  долгое
время развивалась независимо  отдельными  науками  .   Отсутствовала  единая
система понятий, единая терминология . Лишь  постепенно  стала  осознаваться
роль  моделирования как универсального метода научного познания .
     Термин "модель"  широко  используется  в различных сферах  человеческой
деятельности и имеет множество  смысловых   значений  .  Рассмотрим   только
такие "модели",  которые являются инструментами получения знаний .
     Модель - это такой материальный  или  мысленно  представляемый  объект,
который в  процессе  исследования  замещает  объект-оригинал  так,  что  его
непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале .
      Под  моделирование  понимается  процесс  построения   ,   изучения   и
применения  моделей  .   Оно  тесно  связано  с  такими  категориями  ,  как
абстракция , аналогия , гипотеза и др .  Процесс  моделирования  обязательно
включает  и  построение  абстракций  ,   и  умозаключения  по  аналогии,   и
конструирование научных гипотез.
      Главная  особенность  моделирования  в  том   ,    что    это    метод
опосредованного  познания  с   помощью   объектов-заместителей   .    Модель
выступает как своеобразный инструмент   познания  ,   который  исследователь
ставит  между собой и объектом и с  помощью  которого  изучает  интересующий
его объект .   Именно  эта   особенность  метода  моделирования   определяет
специфические формы использования абстракций ,  аналогий , гипотез ,  других
категорий и методов познания .
     Необходимость использования  метода  моделирования   определяется  тем,
что  многие объекты  (  или  проблемы  ,   относящиеся  к  этим  объектам  )
непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или  же  это  исследование
требует много времени и средств.
     Моделирование - циклический процесс . Это  означает  ,  что  за  первым
четырехэтапным циклом может последовать второй ,  третий и  т.д.   При  этом
знания об исследуемом объекте  расширяются  и точняются, а  исходная  модель
постепенно совершенствуется .  Недостатки  ,  обнаруженные   после   первого
цикла   моделирования , бусловленные малым  знанием  объекта  и  ошибками  в
построении модели , можно исправить в последующих  циклах .  В   методологии
моделирования , таким образом , заложены большие возможности саморазвития .


                             Словесное описание


             Фирма  ,  производящая  некоторую  продукцию  осуществляет   её
рекламу двумя способами через радиосеть  и  через  телевидение  .  Стоимость
рекламы на радио обходится фирме в 5 $ , а стоимость телерекламы  -  в  100$
за минуту .
            Фирма готова тратить на рекламу по 1000  $  в  месяц  .  Так  же
известно ,  что фирма  готова  рекламировать  свою  продукцию  по  радио  по
крайней мере в 2 раза чаще , чем по телевидению .
             Опыт предыдущих лет показал , что  телереклама  приносит  в  25
раз больший сбыт продукции нежели радиореклама .
               Задача  заключается  в  правильном  распределении  финансовых
средств фирмы .

                          Математическое описание .


X1 - время потраченное на радиорекламу .
X2 - время потраченное на телерекламу   .
Z - искомая целевая функция , оражающая  максимальный  сбыт  от  2-ух  видов
рекламы .
X1=>0 , X2=>0 , Z=>0 ;
Max Z = X1 + 25X2 ;
5X1 + 100X2 <=1000 ;
X1 -2X2 => 0
Использование графического способа удобно только  при  решении  задач  ЛП  с
двумя переменными .  При  большем  числе  переменных  необходимо  применение
алгебраического аппарата  .  В  данной  главе  рассматривается  общий  метод
решения задач ЛП , называемый симплекс-методом .
            Информация , которую можно получить с помощью симплекс-метода  ,
не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных  .  Симплекс-метод
фактически позволяет дать экономическую интерепритацию  полученного  решения
и провести анализ модели на чувствительность .
            Процесс  решения   задачи   линейного   программирования   носит
итерационный характер : однотипные вычислительные процедуры  в  определенной
последовательности  повторяются  до  тех  пор  ,  пока  не  будет   получено
оптимальное решение . Процедуры , реализуемые  в  рамках  симплекс-метода  ,
требуют применения вычислительных машин -  мощного  средства  решения  задач
линейного программирования .
           Симлекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений  ,
используемых при решении большинства оптимизационных задач . В данной  главе
рассматриваются итерационные процедуры такого рода , обеспечивающие  решение
задач с помощью моделей исследования операций .
          В гл 2 было показано  ,  что  правая  и  левая  части  ограничений
линейной модели могут быть связаны знаками <= ,  =  и  =>  .  Кроме  того  ,
переменные , фигурирующие в задачах ЛП , могут быть неотрицательными или  не
иметь ограничения в знаке . Для построения общего метода  решения  задач  ЛП
соответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме ,  которую
назовем  стандатрной  формой  линейных   оптимизационных   моделей   .   При
стандартной форме линейной модели
1. Все ограничения записываются в виде  равенств  с  неотрицательной  правой
  частью ;
2. Значения всех переменных модели неотрицательны ;
3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации .
Покажем , каким образом любую линейную модель можно привести  к  стандартной
.


                                      Ограничения

1. Исходное ограничение , записанное в виде неравенства типа <= ( =>) ,
можно представить в виде  равенства  ,  прибавляя  остаточную  переменную  к
левой части ограничения ( вычитая избыточную переменную из левой части ) .
      Например , в левую часть исходного ограничения
                             5X1 + 100X2 <= 1000
вводистя  остаточная  переменная  S1  >  0  ,  в  результате  чего  исходное
неравенство обращается в равенство
                      5X1 + 100X2 + S1 = 1000 , S1 => 0
Если исходное ограничение определяет расход некоторого ресурса ,  переменную
S1 следует интерпретировать как  остаток  ,  или  неиспользованную  часть  ,
данного ресурса .
      Рассмотрим исходное ограничение другого типа :
                                X1 - 2X2 => 0
Так как левая часть этого ограничения не может  быть  меньше  правой  ,  для
обращения исходного неравенства  в  равенство  вычтем  из  его  левой  части
избыточную переменную S2 > 0 . В результате получим
                         X1 - 2X2 - S2 = 0 , S2 => 0
2. Правую часть равенства всегда можно  сделать  неотрицательной  ,  умножая
  оби части на -1 .
Например равенство  X1 - 2X2 - S2 = 0 эквивалентно равенству - X1  +  2X2  +
S2 = 0
3. Знак  неравенства  изменяется  на  противоположный  при  умножении  обеих
  частей на -1 .
     Например можно вместо 2 < 4 записать - 2 > - 4 , неравенство X1  -  2X2
<= 0 заменить на - X1 + 2X2 => 0


                                      Переменные

      Любую  переменную  Yi  ,  не  имеющую  ограничение  в  знаке  ,  можно
представить как разность двух неотрицательных переменных :
                        Yi=Yi’-Yi’’, где Yi’,Yi’’=>0.
Такую подстановку  следует  использовать  во  всех  ограничениях  ,  которые
содержат исходную переменную Yi , а также в выражении для целевой функции  .

      Обычно находят решение задачи ЛП ,  в  котором  фигурируют  переменные
Yi’ и Yi’’ , а затем с помощью обратной подстановки определяют  величину  Yi
. Важная особенность переменных Yi’ и Yi’’ состоит в том  ,  что  при  любом
допустимом  решении  только  одна  из  этих   переменных   может   принимать
положительное значение , т.е. если Yi’>0 ,  то  Yi’’=0,  и  наоборот  .  Это
позволяет рассматривать Yi’  как  остаточную  переменную  ,  а  Yi’’  -  как
избыточную переменную , причем лишь одна из этих переменных может  принимать
положительное значение .  Указанная  закономерность  широко  используется  в
целевом   программировании   и   фактически   является   предпосылкой    для
использования соответсвующих преобразований в задаче 2.30


                                   Целевая функция

      Целевая функция  линейной  оптимизационной  модели  ,  представлена  в
стандартной форме , может подлежать как максимизации , так и  минимизации  .
В некоторых случаях оказывается полезным изменить исходную  целевую  функцию
.
       Максимизация  некоторой  функции  эквивалентна  минимизации  той   же
функции  ,  взятой  с  противоположным  знаком  ,  и  наоборот  .   Например
максимизация функции
                                Z = X1 + 25X2
эквивалентна минимизации функции
                             ( -Z ) = -X1 - 25X2
Эквивалентность означает , что при одной и той же  совокупности  ограничений
оптимальные значения X1 , X2 , в обоих случаях  будут  одинаковы  .  Отличие
заключается только в том , что при  одинаковых  числовых  значениях  целевых
функций их знаки будут противоположны .

                              Симплекс-метод .

                В   вычислительной   схеме   симплекс-метода    реализуется
упорядоченный процесс  ,  при  котором  ,  начиная  с  некоторой   исходной
допустимой угловой точки (  обычно  начало  координат  )  ,  осуществляются
последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к  другой
до тех пор , пока не будет найдена  точка  ,  соответствующая  оптимальному
решению .

                Общую  идею  симплекс-метода  можно  проиллюстрировать   на
примере модели , посроенной для нашей задачи . Пространство  решений   этой
задачи представим на рис. 1 . Исходной  точкой  алгоритма  является  начало
координат ( точка А на рис. 1 ) . Решение , соответствующее  этой  точке  ,
обычно называют начальным  решением  .  От  исходной  точки  осуществляется
переход к некоторой смежной угловой точке .

           Выбор каждой последующей экстремальной  точки  при  использовании
симплекс-метода определяется следующими двумя правилами .

     1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей  .
        Этот переход осуществляется по  границам  (  ребрам  )  пространства
        решений .

     2. Обратный переход  к  предшествующей  экстремальной  точке  не  может
        производиться .

       Таким  образом  ,  отыскание   оптимального  решения   начинается   с
некоторой допустимой угловой точки , и все переходы осуществляются только  к
смежным точкам , причем перед новым переходом  каждая  из  полученных  точек
проверяется на оптимальность .

       Определим  пространство  решений  и  угловые  точки  агебраически   .
Требуемые соотнощшения устанавливаются из указанного в таблице  соответствия
геометрических и алгебраических определений .



|Геометрическое        |Алгебраическое           |
|определение           |определение              |
|                      |( симплекс метод )       |
|Пространство решений  |Ограничения модели       |
|                      |стандартной формы        |
|Угловые точки         |Базисное решение задачи в|
|                      |стандартной форме        |


       Представление пространства решений стандартной задачи линейного
                             программирования .



       Линейная модель ,  построенная  для  нашей  задачи  и  приведенная  к
стандартной форме , имеет следующий вид :

       Максимизировать

                                     Z = X1  +  25X2 +  0S1 + 0S2

       При ограничениях
                         5X1 + 100X2 +    S1              = 1000
                    - X1   +     2X2                   + S2 = 0
                        X1=>0 , X2=>0 , S1=>0 , S2=>0

       Каждую точку пространства решений данной задачи ,  представленную  на
рис.1 , можно определить  с  помощью  переменных  X1  ,  X2  ,  S1  и  S2  ,
фигурирующими в модели стандартной формы. При S1 = 0 и S2  =  0  ограничения
модели эквивалентны равенствам  ,  которые  представляются  соответствующими
ребрами  пространства  решений  .  Увеличение  переменных  S1  и  S2   будет
соответствовать смещению допустимых точек с границ  пространства  решений  в
его внутреннюю область. Переменные X1 , X2 , S1 и  S2  ,  ассоциированные  с
экстремальными точками А , В ,  и С можно упорядочить ,  исходя  из  того  ,
какое  значение  (  нулевое  или  ненулевое  )  имеет  данная  переменная  в
экстремальной точке .



|Экстремальная     |Нулевые переменные|Ненулевые переменные|
|точка             |                  |                    |
|А                 |S2 , X2           |S1 , X1             |
|В                 |S1 , X2           |S2 , X1             |
|С                 |S1 , S2           |X1 , X2             |


        Анализируя таблицу , легко заметить две закономерности:
   1. Стандартная модель содержит два уравнения и четыре

неизвестных , поэтому в каждой из экстремальных точек две  (  =  4  -  2  )
переменные должны иметь нулевые значения .
  2. Смежные экстремальные точки отличаются только одной пе-

ременной в каждой группе ( нулевых и ненулевых переменных ) ,
  Первая закономерность свидетельствует о возможности опре-

деления экстремальных точек алгебраическим способом путем при-

равнивания нулю такого количества переменных , которое равно

разности между количеством неизвестных и числом уравнений .

В этом состоит сущность свойства однозначности экстремальных

точек . На рис. 1 каждой неэкстремальной точке соответствует

не более одной нулевой переменной . Так , любая точка внутренней

области пространства решений вообще не имеет ни одной нулевой

переменной, а любая неэкстремальная точка , лежащая на границе ,

всегда имеет лишь одну нулевую переменную .
  Свойство однозначности экстремальных точек позволяет опре-

делить их алгебраическим методом. Будем считать , что линейная

модель стандартной формы содержит т уравнений и п ( т <= п ) не-

известных ( правые части ограничений — неотрицательные ) . Тогда

все допустимые экстремальные точки определяются как все одно-

значные неотрицательные решения системы m уравнений , в ко-

торых п — m  переменных равны нулю.
  Однозначные решения такой системы уравнений, получаемые

путем приравнивания к нулю ( п — т ) переменных , называются

базисными решениями . Если базисное решение удовлетворяет

требованию неотрицательности правых частей , оно называется

допустимым базисным решением. Переменные , имеющие нулевое

значение , называются небазисными переменными , остальные —

базисными переменными.
   Из вышеизложенного следует , что при реализации симплекс-

метода алгебраическое определение базисных решений соответст-

вует идентификации экстремальных точек , осуществляемой при

геометрическом представлении пространства решений . Таким об-

разом , максимальное число итераций при использовании симплекс-

метода равно максимальному числу базисных решений задачи ЛП ,

представленной в стандартной форме . Это означает , что количество

итерационных процедур симплекс-метода не превышает
Cпт= n! / [ ( n - m )!m! ]
Вторая из ранее отмеченных закономерностей оказывается

весьма полезной для построения вычислительных процедур симп-

лекс-метода , при реализации которого осуществляется последова-

тельный переход от одной экстремальной точки к другой, смежной с ней .  Так
как смежные экстремальные точки отличаются только

одной переменной, можно определить каждую последующую ( смеж-

ную) экстремальную точку путем замены одной из текущих не-

базисных ( нулевых ) переменных текущей базисной переменной.

В нашем случае получено решение , соответствующее точке А , откуда  следует
осуществить переход в точку В .  Для  этого  нужно  увеличивать  небазисную
переменную X2 от исходного нулевого значения до значе-

ния , соответствующего точке В ( см. рис. 1 ). В точке B переменная

S1 ( которая в точке А была базисной ) автоматически обращается в

нуль и , следовательно , становится небазисной переменной . Таким

образом , между множеством небазисных и множеством базисных

переменных происходит взаимообмен переменными X2 и S1 . Этот

процесс можно наглядно представить в виде следующей таблицы.


|Экстремальная     |Нулевые переменные|Ненулевые переменные|
|точка             |                  |                    |
|А                 |S2 , X2           |S1 , X1             |
|В                 |S1 , X2           |S2 , X1             |

Применяя аналогичную процедуру ко всем экстремальным точкам

рис. 1 , можно убедиться в том , что любую последующую экстре-

мальную точку всегда можно определить путем взаимной замены

по одной переменной в составе базисных и небазисных переменных

( предыдущей смежной точки ) . Этот фактор существенно упрощает

реализацию вычислительных процедур симплекс-метода.
  Рассмотренный процесс взаимной замены переменных приводит

к необходимости введения двух новых терминов . Включаемой пе-

ременной называется небазисная в данный момент переменная ,

которая будет включена в множество базисных переменных на сле-

дующей итерации ( при переходе к смежной экстремальной точке ) .

Исключаемая переменная — это та базисная переменная , которая

на следующей итерации подлежит исключению из множества ба-

зисных переменных .


                 Вычислительные процедуры симплекс-метода .


 симплекс-алгоритм состоит из следующих шагов.
   Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы , опреде-

 ляют начальное допустимое базисное решение путем приравнива-

 ния к нулю п — т ( небазисных ) переменных.
   Шаг 1. Из числа текущих небазисных ( равных нулю ) перемен-

 ных выбирается включаемая в новый базис переменная , увеличение

 которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если

 такой переменной нет , вычисления прекращаются , так как текущее

 базисное решение оптимально . В противном случае осуществляется

 переход к шагу 2.
   Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исклю-

 чаемая переменная , которая должна принять нулевое значение ( стать

 небазисной ) при введении в состав базисных новой переменной .
   Шаг 3. Находится новое базисное решение , соответствующее

 новым составам небазисных и базисных переменных . Осуществляется переход  к
 шагу 1.
   Поясним процедуры симплекс-метода на примере решения нашей зада-

 чи . Сначала необходимо представить целевую функцию и ограничения модели  в
 стандартной форме:
                           Z -    X1    -    25X2 +0S1 -0S2 =   0 (  Целевая
 функция )
                 5X1  +  100X2 +  S1           = 1000 ( Ограничение )
                   -X1    +     2X2          + S2 = 0 ( Ограничение )
Как отмечалось ранее , в качестве начального пробного решения

используется  решение  системы  уравнений  ,  в  которой   две   переменные
принимаются равными нулю . Это обеспечивает единст-

венность и допустимость получаемого решения . В рассматриваемом

случае очевидно, что подстановка X1 = X2 = 0 сразу же приводит к следующему
результату: S1 = 1000 , S2 = 0 ( т. е. решению , соответствующему  точке  А
на рис. 1 ) . Поэтому точку А можно использовать как  начальное  допустимое
решение . Величина Z в этой точке равна нулю , так как и  X1  и  X2   имеют
нулевое значение . Поэтому , преобразовав уравнение целевой функции  так  ,
чтобы его правая часть стала равной нулю , можно  убедиться  в  том  ,  что
правые  части   уравнений   целевой   функции   и   ограничений   полностью
характеризуют начальное решение . Это имеет место во всех случаях  ,  когда
начальный базис состоит из остаточных переменных.
Полученные результаты удобно представить в виде таблицы :

|Базисные     |Z |X1  |X2   |S1  |S2  |Решение|              |
|переменные   |  |    |     |    |    |       |              |
|Z            |1 |-1  |- 25 |0   |0   |0      |Z - уравнение |
|S1           |0 |5   |100  |1   |0   |1000   |S1 -уравнение |
|S2           |0 |-1  |2    |0   |1   |0      |S2 - уравнение|



  Эта таблица интерпретируется следующим образом. Столбец

« Базисные переменные » содержит переменные пробного базиса S1 ,

S2 ,  значения которых приведены в столбце « Решение » . При

этом подразумевается , что небазисные переменные X1 и X2 ( не пред-

ставленные в первом столбце ) равны нулю . Значение целевой функ-

ции Z = 1*0 + 25*0 + 0*1000 + 0*1  равно нулю , что и показано  в  последнем
столбце таблицы .
   Определим , является ли полученное пробное решение наи-

лучшим ( оптимальным ) . Анализируя Z - уравнение , нетрудно заме-

тить , что обе небазисные переменные X1 и X2 , равные нулю , имеют

отрицательные  коэффициенты  .  Всегда  выбирается  переменная   с   большим
абсолютным значением отрицательного коэффициента ( в Z - уравнении )  ,  так
как практический опыт вычислений показывает ,  что  в  этом  случае  оптимум
достигается быстрее .
  Это правило составляет основу используемого в вычислительной

схеме симплекс-метода условия оптимальности , которое состоит в

том , что , если в задаче максимизации все небазисные переменные в

Z -  уравнении  имеют  неотрицательные  коэффициенты  ,  полученное  пробное
решение является оптимальным . В противном случае в ка-

честве новой базисной переменной следует выбрать ту , которая имеет

наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент .

Применяя условие оптимальности к исходной таблице , выберем

в качестве переменной , включаемой в базис , переменную Х2 . Исклю-

чаемая переменная должна быть выбрана из совокупности базисных

переменных S1 , S2 . Процедура выбора  исключаемой  переменной  предполагает
проверку условия допустимости , требующего , чтобы  в  качестве  исключаемой
переменной выбиралась та из пере-

менных текущего базиса , которая первой обращается в нуль при уве-

личении включаемой переменной  X2  вплоть  до  значения  ,  соответствующего
смежной экстремальной точке .
  Интересующее нас отношение ( фиксирующее  искомую  точку  пе-ресечения  и
идентифицирующее исключаемую переменную ) можно

определить из  симплекс-таблицы.  Для  этого  в  столбце  ,  соответствующем
вводимой переменной X2 ,  вычеркиваются  отрицательные  и  нулевые  элементы
ограничений .  Затем  вычисляются  отношения  постоянных  ,  фигурирующих  в
правых  частях  этих  ограничений  ,  к  оставшимся  элементам   столбца   ,
соответствующего вводимой переменной X2 . Исключаемой  переменной  будет  та
переменная  текущего  базиса  ,  для  которой   указанное   выше   отношение
минимально.
  Начальная симплекс-таблица для нашей задачи , получаемая  после  проверки
условия допустимости ( т. е. после вычисления  соответствующих  отношений  и
определения исключаемой переменной ) , воспроизведена ниже  .  Для  удобства
описания вычислительных процедур , осуществляемых на  следующей  итерации  ,
введем  ряд   необходимых   определений   .   Столбец   симплекс-таблицы   ,
ассоциированный с вводимой переменной , будем называть  ведущим  столбцом  .
Строку , соответствующую исключаемой переменной , назовем ведущей строкой  (
уравнением ) , а элемент  таблицы  ,  находящийся  на  пересечении  ведущего
столбца и ведущей строки , будем называть ведущим элементом .
  После того как определены включаемая и исключаемая пере-

менные ( с использованием условий оптимальности и допустимости ) ,

следующая итерация ( поиск нового базисного решения ) осуществля-

ется методом исключения переменных , или методом Гаусса  —  Жордана  .  Этот
процесс изменения базиса включает вычислительные процедуры двух типов .
  Тип 1 ( формирование ведущего уравнения ) .
    Новая ведущая строка = Предыдущая ведущая строка / Ведущий элемент
  Тип 2 ( формирование всех остальных уравнений , включая Z - yравнение ) .

  Новое уравнение = Предыдущее уравнение —
         й Коэффициент       щ
         к ведущего столбца  к * ( Новая ведущая строка ) .
         к предыдущего          к
         л уравнения              ы
Выполнение процедуры типа 1 приводит к тому , что в новом

ведущем уравнении ведущий элемент становится равным единице .

В результате осуществления процедуры типа 2 все остальные коэф-

фициенты , фигурирующие в ведущем столбце , становятся равными

нулю . Это эквивалентно получению базисного решения путем ис-

ключения вводимой переменной из всех уравнений , кроме ведущего .

Применяя к исходной таблице процедуру  1  ,  мы  делим  S2  -  уравнение  на
ведущий элемент , равный 1 .

|Базисные     |Z |X1   |X2   |S1  |S2   |Решен|
|переменные   |  |     |     |    |     |ие   |
|Z            |  |     |     |    |     |     |
|S1           |  |     |     |    |     |     |
|S2           |0 |-1/2 |1    |0   |1/2  |0    |

Чтобы   составить   новую   симплекс-таблицу   ,    выполним    необходимые
вычислительные процедуры типа 2 .
  1. Новое Z - уравнение .
  старое Z - уравнение : ( 1   -1      -25    0    0     0 )
                       ( - ( -25 ) *  ( 0   -1/2     1     0   1/2    0 )
                                          ( 1   -131/2   0     0  121/2   0
)
  2. Новое S1 - уравнение
     старое S1 - уравнение : ( 0    5   100   1     0    1000 )
                           ( - 100 ) *    (  0    -1/2    1       0     1/2
 0   )
                                               ( 0   55     0      1    -50
1000 )

    Новая симплекс-таблица будет иметь вид :

|Базисные     |Z |X1    |X2  |S1  |S2    |Решение|               |
|переменные   |  |      |    |    |      |       |               |
|Z            |1 |-131/2|0   |0   |121/2 |0      |Z - уравнение  |
|S1           |0 |55    |0   |1   |-50   |1000   |S1 -уравнение  |
|X2           |0 |-1/2  |1   |0   |1/2   |0      |X2 - уравнение |



В новом решении X1 = 0 и S2 = 0 . Значение Z не изменяется .
  Заметим , что новая симплекс-таблица обладает такими же ха-

рактеристиками , как и предыдущая : только небазисные переменные

 X1 и S2 равны нулю , а значения базисных переменных , как и раньше ,

представлены в столбце « Решение » . Это в точности соответствует

результатам , получаемым при использовании метода Гаусса—Жор-

дана .
  Из последней таблицы следует , что на очередной итерации в со-

ответствии с условием оптимальности в качестве вводимой перемен-

ной следует выбрать X1 , так как коэффициент при этой переменной в
Z-ypaвнении равен -131/2 . Исходя из условия допустимости  ,  определяем  ,
что исключаемой переменной будет S1 . Отношения  ,  фигурирующие  в  правой
части таблицы  ,  показывают  ,  что  в  новом  базисном  решении  значение
включаемой переменной X1 будет равно 1000/55 ( = минимальному отношению ) .
Это приводит к увеличению целевой функции на ( 1000/55 ) *    (   -131/2  )
= ( 2455/11 ) .
   К получению симплекс-таблицы , соответствующей новой итерации ,  приводят
следующие вычислительные операции метода Гаусса—Жордана.
  1) Новое ведущее  S1 - уравнение = Предыдущее S1 - уравнение / ( 55 ) .

|Базисные     |Z |X1  |X2  |S1   |S2    |Решение|
|переменные   |  |    |    |     |      |       |
|Z            |  |    |    |     |      |       |
|S1           |0 |1   |0   |1/55 |-     |1000/55|
|             |  |    |    |     |50/55 |       |
|X2           |  |    |    |     |      |       |


  2) Новое  Z - уравнение = Предыдущее  Z - уравнение - ( -131/2 ) *  Новое
/ведущее уравнение :

                                           ( 1   -131/2  0     0      121/2
     0     )
                      - ( -131/2 ) *  (  0      1      0     1/55    -50/55
1000/55  )
                                            (  1       0      0      27/110
5/22   2455/11 )
  3) Новое X2 - уравнение = Предыдущее  X2 - уравнение - ( -1/2 )  *  Новое
ведущее уравнение :
                                                (   0    -1/2     1       0
1/2        0    )
                         - ( - 1/2  ) *     ( 0    1     0    1/55   -50/55
  1000/55 )
                                           ( 0    0     1    1/110     1/22
  91/11  )


      В результате указанных преобразований получим следующую симп-

лекс-таблицу .

|Базисные     |Z |X1   |X2    |S1      |S2        |Решение   |
|переменные   |  |     |      |        |          |          |
|Z            |1 |0    |0     |27/110  |5/22      |2455/11   |
|X1           |0 |1    |0     |1/55    |-50/55    |1000/55   |
|X2           |0 |0    |1     |1/110   |1/22      |91/11     |


      В  новом  базисном  решении  X1=1000/55  и  X2=91/11  .  Значение   Z
увеличилось с 0 ( предыдущая симплекс-таблица )  до  2455/11   (  последняя
симплекс-таблица  )  .  Этот   результирующий   прирост   целевой   функции
обусловлен увеличением X1 от  О  до  1000/55  ,  так  как  из  Z  -  строки
предыдущей симплекс-таблицы следует , что возрастанию данной переменной  на
единицу соответствует увеличение целевой функции на( -131/2 ) .
  Последняя симплекс-таблица соответствует оптимальному реше-

нию задачи, так как в Z - уравнении ни  одна  из  небазисных  переменных  не
фигурирует с отрицательным  коэффициентом.  Получением  этой  pезультирующей
таблицы и завершаются вычислительные процедуры симплекс-метода .
В рассмотренном выше примере алгоритм симплекс-метода ис-

пользован  при  решении  задачи  ,  в  которой  целевая  функция  подлежала
максимизации . В случае минимизации целевой функции в этом

алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности :

в качестве  новой  базисной  переменнойследует  выбирать  ту  переменную  ,
которая в Z  -  уравнении  имеет  наибольший  положительный  коэффициент  .
Условия допустимости  в  обоих  случаях  (  максимизации  и  минимизации  )
одинаковы  .  Представляется  целесообразным  дать   теперь   окончательные
формулировки обоим условиям , используемым в симплекс-методе .
   Условие оптимальности . Вводимой  переменной  в  задаче  максимизации  (
 минимизации ) является небазисная переменная  ,  имеющая  в  Z  -уравнении
 наибольший  отрицательный  (  положительный  )  коэффициент  ,  В   случае
 равенства таких коэффициентов для нескольких небазисных  переменных  выбор
 делается произвольно , если все коэффициенты при небазисных переменных в Z
 - уравнении неотрицательны (неположительны) , полученное решение  является
 оптимальным .
   Условие допустимости , в задачах максимизации и минимизации  в  качестве
 исключаемой переменной выбирается та  базисная  переменная  ,  для  которой
 отношение постоянной  в  правой  части  соответствующего  ограничения  к  (
 положительному  )  коэффициенту  ведущего  столбца  минимально.  В   случае
 равенства этого отношения для нескольких базисных переменных выбор делается
 произвольно .

                             Оптимальное решение


  С точки зрения практического использования результатов ре-

шения задач ЛП классификация переменных , предусматривающая

их разделение на базисные и небазнсные , не имеет значения и при

анализе данных , характеризующих оптимальное решение , может

не учитываться . Переменные , отсутствующие в столбце « Базисные

переменные » , обязательно имеют нулевое значение . Значения ос-

тальных переменных приводятся в столбце « Решение » . При интер-

претации результатов оптимизации в нашей задаче нас прежде всего  интересует
количество времени , которое закажет наша фирма на  радио  и  телевидение  ,
т. е.  значения  управляемых  переменных  X1  и  X2  .  Используя  данные  ,
содержащиеся  в  симплекс-таблице  для  оптимального  решения   ,   основные
результаты можно представить в следующем виде :



|Управляемые |Оптимальные |Решение                                |
|переменные  |значения    |                                       |
|X1          |1000/55     |Время выделяемое фирмой на телерекламу |
|X2          |91/11       |Время выделяемое фирмой на радиорекламу|
|Z           |2455/11     |Прибыль получаемая от рекламы .        |


Заметим, что Z = X1 + 25X2 = 1000/55 + 25 * 91/11 = 2455/11 .  Это  решение
соответствует данным заключительной симплекс-таблицы .



                               Статус ресурсов



  Будем относить ресурсы к дефицитным или  недифицитным  в  зависимости  от
того , полное или частичное их использо-

вание предусматривает оптимальное решение задачи . Сейчас цель

состоит в том , чтобы получить соответствующую информацию непос-

редственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Од-

нако сначала следует четко уяснить следующее . Говоря о ресурсах ,

фигурирующих в задаче ЛП , мы подразумеваем , что установлены

некоторые максимальные пределы их запасов , поэтому в соответст-

вующих исходных ограничениях должен использоваться знак <= .

Следовательно , ограничения со знаком => не могут рассматриваться

как ограничения на ресурсы . Скорее , ограничения такого типа отра-

жают то обстоятельство , что решение должно удовлетворять опре-

деленным требованиям , например обеспечению минимального спро-

са или минимальных отклонений от установленных структурных

характеристик производства ( сбыта ) .
  В модели , построенной для  нашей  задачи  ,  фигурирует  ограничение  со
знаком  <=  .  Это  требование  можно  рассматривать  как  ограничение   на
соответствующий « ресурс  »  ,  так  как  увеличение  спроса  на  продукцию
эквивалентно расширению « представительства » фирмы на рынке сбыта .
  Из вышеизложенного следует , что статус ресурсов ( дефицитный

или недефицитный ) для любой модели ЛП можно установить не-

посредственно из результирующей симплекс-таблицы , обращая вни-

мание на значения остаточных переменных  .  Применительно  к  нашей  задаче
можно привести следующую сводку результатов :

|Ресурсы                               |Остаточная |Статус       |
|                                      |переменная |ресурса      |
|Ограничение по бюджету                |S1         |Дефицитный   |
|Превышение времени рекламы радио над  |S2         |Дефицитный   |
|теле                                  |           |             |

   Положительное значение остаточной переменной указывает на

неполное использование соответствующего ресурса , т . е . данный

ресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная рав-

на нулю , это свидетельствует о полном потреблении соответствующе-

го ресурса. Из таблицы видно , что наши ресурсы являются  дефицитными  .  В
случае  недефицитности   любое  увиличение  ресурсов  сверх  установленного
максимального значения привело бы лишь к тому , что они стали бы еще  более
недефнинтными . Оптимальное решение задачи при этом осталось бы неизменным.
  Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить ре-

шение ( увеличить прибыль ) , — это остаточные переменные S1 и S2 , по-

скольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно ,

что они дефицитные . В связи с этим логично поставить следующий

вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочте-

ние при вложении дополнительных средств на увеличение их запа-

сов , с тем чтобы получить от них максимальную отдачу ? Ответ на

этот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы , где рас-

сматривается ценность различных ресурсов .

                              Ценность ресурса


   Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения опти-

мального значения Z , приходящегося на единицу прироста объема

данного ресурса .
  Информация для  оптимального  решения  задачи  представлена  в  симплекс-
таблице . Обратим внимание  на  значения  коэффициентов  Z  -  уравнения  ,
стоящих при переменных начального базиса S1 и S2  .  Выделим  для  удобства
соответстзующую часть симплекс-таблицы :

|Базисные       |Z |X1   |X2   |S1     |S2   |Решение   |
|переменные     |  |     |     |       |     |          |
|Z              |1 |0    |0    |27/110 |5/22 |2455/11   |

      Как следует из теории решения задач  ЛП  ,  ценность  ресурсов  всегда
можно  определить  по  значениям  коэффициентов  при  переменных  начального
базиса , фигурирующих в Z - уравнении оптимальной симплекс-таблицы  ,  таким
образом Y1 = 27/110 , а Y2 = 5/22 .
      Покажем  ,  каким  образом  аналогичный   результат   можно   получить
непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Рассмотрим  Z
- уравнение симплекс-таблицы для оптимального решения нашей задачи
                   Z = 2455/11 - ( 27/110S1 +  5/22S2 ) .
Положительное приращение переменной S1 относительно ее текущего

нулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z ,

причем коэффициент пропорциональности равен 27/110 . Но  ,  как  следует  из
первого ограничения модели :
                          5X1 + 100X2  + S1 = 1000
 увеличение S1 эквивалентно снижению количества денег выделеных на рекламу (
 далее мы будем использовать в тексте , как первый ресурс ) . Отсюда следует
       , что уменьшение количества денег выделеных на рекламу вызывает
     пропорциональное уменьшение целевой функции с тем же коэффициентом
                пропорциональности , равным 27/110 . Так как

         мы оперируем с линейными функциями , полученный вывод можно

 обобщить , считая , что и увеличение количества денег выделеных на рекламу
     ( эквивалентное введению избыточной переменной S1 < 0 ) приводит к
 пропорциональному увеличению Z с тем же коэффициентом пропорциональности ,
              равным 27/110 . Аналогичные рассуждения справед-

                          ливы для ограничения 2 .
  Несмотря на то что ценность различных ресурсов , определяемая

значениями переменных Yi , была представлена в стоимостном  выражении  ,  ее
нельзя отождествлять с действительными це-

нами , по которым возможна закупка соответствующих ресурсов .

На самом деле речь идет о некоторой мере , имеющей экономическую

природу   н   количественно   характеризующей   ценность   ресурса    только
относительно полученного оптимального значения целевой функции .

При изменении ограничении модели соответствующие экономические

оценки будут меняться даже тогда , когда оптимизируемый процесс

предполагает применение тех же ресурсов . Поэтому при характерис-

тике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать

такие терминыт , как теневая цена , скрытая цена , или более специ-

фичный термин — двойственная оценка .
  Заметим , что теневая цена ( ценность ресурса ) характеризует ин-

тенсивность улучшения оптимального значения Z . Однако при этом

не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса ,

при которых интенсивность улучшения целевой функции остается

постоянной . Для большинства практических ситуаций логично пред-

положить наличие верхнего предела увеличения запасов , при пре-

вышении которого соответствующее ограничение становится избы-

точным , что в свою очередь приводит к новому базисному решению

и соответствующим ему новым теневым ценам . Ниже определяется

нитервал значений запасов ресурса , при которых соответствую-

щее ограничение не становится избыточным .

                    Максимальное изменение запаса ресурса


  При решении вопроса о том , запас какого из ресурсов следует

увеличивать в первую очередь , обычно используются теневые цены

Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,

при которых теневая цена данного ресурса , ( фигурирующая в заклю-

чительной симплекс-таблице , остается неизменной , необходимо выполнить ряд
дополнительных вычислений . Рассмотрим сначала

 соответствующие вычислительные процедуры , а затем покажем , как

требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы

для оптимального решения .
   В нашей задаче запас первого ресурса изменился на D1 т. е. запас бюджета
  составит 1000 + D1 . При положительной величине D1 запас данного  ресурса
 увеличивается  ,  при  отрицательной  —  уменьшается  .  Как   правило   ,
 исследуется ситуация , когда объем ресурса увеличивается            ( D1 >
 0 ) , однако , чтобы получить результат в  общем  виде  ,  рассмотрим  оба
 случая .
   Как изменится симплекс-таблица при изменении величины за-

 паса ресурса на D1 ? Проще всего получить ответ на этот вопрос .

 если ввести D1 в правую часть первого ограничения начальной сим-

 плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-

 ния , соответствующие последовательности итераций . Поскольку

 правые части ограничений никогда не используются в качестве

 ведущих элементов , то очевидно , что на каждой итерации D1 будет

 оказывать влияние только на правые части ограничений .

|Уравнение |Значения элементов правой части на       |
|          |соответствующих итерациях                |
|          |( начало вычислений|1       |2 ( оптимум|
|          |)                  |        |)          |
|Z         |0                  |0       |2455/11    |
|1         |1000               |1000 +  |1000/55 +  |
|          |                   |D1      |D1         |
|2         |0                  |0       |91/11      |

Фактически вce изменения правых частей ограничений , обуслов-

ленные введением D1 , можно определить непосредственно по данным ,

содержащимся в симплекс-таблицах . Прежде всего заметим , что

на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-

ставляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена , ли-

нейно зависящего от D1 . Постоянные соответствуют числам , которые

фигурируют  на  соответствующих  итерациях  в  правых  частях   ограничений
симплекс-таблиц до введения D1 . Коэффициенты при D1  во  вторых  слагаемых
равны коэффициентам при S1 на той  же  итерации  .  Так  ,  например  ,  на
последнеи итерации ( оптимальное решение )  постоянные        (  2455/11  ;
1000/55 ; 91/11 ) представляют собои числа , фигурирующие в  правых  частях
ограничении оптимальной симплекс-таблицы до  введения  D1.  Коэффициенты  (
27/110 ; 1/55 ; 1/110 ) равны коэффициентам при  S1   в  той  же  симплекс-
таблице потому , что эта переменная связана только с первым ограничением  .
Другими словами , при анализе влияния  изменений  в  правой  части  второго
ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S2 .
       Какие выводы можно сделать из полученных результатов?

Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс-

таблицы , изменение запаса ресурса может повлиять только на

допустимость решения . Поэтому D1 не может принимать значений ,

при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отри-

цательной . Из этого следует , что величина D1 должна быть огра-

ничена таким интервалом значений , при которых выполняется ус-

ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-

рующей симплекс-таблице , т . е .
   X1 = 1000/55  + ( 1/55 )D1 => 0                 ( 1 )
   X2 = 91/11 + ( 1/110 )D1 => 0             ( 2 )
  Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-

трим два случая .
   Случай 1: D1 => 0 Очевидно , что оба неравнества при этом условии  всегда
будут неотрицательными .
  Случай 2: D1 < 0 . Решаем неравенства :  ( 1 )
  ( 1/55 )D1 => - 1000/55 . Из этого следует , что D1 => - 1000
                                         ( 2 )
  ( 1/110 )D1 => - 91/11 . Из этого следует , что D1 => - 1000

  Объединяя результаты , полученные для обоих случаев , можно

сделать вывод , что при - 1000 <= D1 <= + Ґ решение рассматриваемой зада-

чи всегда будет допустимым , любое значение D1 , выходящее за

пределы указанного интервала , приведет к недопустимости решения и

новой совокупности базисных переменных .
      Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас  ресурса  2
анализ проведем по аналогичной схеме :
Запас 2-ого ресурса изменился на D2  т  .  е  .  запас  рекламного  времени
составит 0 + D2 . Как изменилась симплекс-таблица  при  изменении  величины
запаса ресурса на D2 проиллюстрировано ниже .

|Уравнение |Значения элементов правой части на       |
|          |соответствующих итерациях                |
|          |( начало вычислений|1       |2 ( оптимум|
|          |)                  |        |)          |
|Z         |0                  |0       |2455/11    |
|1         |1000               |1000    |1000/55    |
|2         |0                  |0 + D2  |91/11 + D2 |



      Найдем интервал ограничивающий величину D2

      X1 = 1000/55 - ( 50/55 )D2             ( 1 )
      X2 = 91/11 + ( 1/22 )D2                ( 2 )

      Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-

трим два случая .
       Случай 1: D2 => 0 Решаем неравенства :  ( 1  )
   ( 50/55 )D2 <= 1000/55 из этого неравенства следует , что D2 <= 20
                                           ( 2 )
   Очевидно , что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .
   Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D2 .
   D2 О [ 0 ; 20 ]
      Случай 2: D2 < 0 . Решаем неравенства :  ( 1 )
  ( 50/55 )D2 => - 1000/55 . Из этого следует , что D2 <= 20
                                               ( 2 )
  ( 1/22 )D2 => - 91/11 . Из этого следует , что D2 => - 200
   Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D2 .
      D2 О [ - 200 ; 0 ]
      Объединяя 2 случая мы получим интервал [ - 200 ; 20 ]

                Максимальное изменение коэффициентов удельной
                            прибыли ( стоимости )

    Наряду с определением допустимых изменений запасов ресур-

сов представляет интерес и установление интервала допустимых

изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .

      Следует  отметить  ,  что  уравнение  целевой   функции   никогда   не
используется в качестве ведущего уравнения . Поэтому лю-

бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние

только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы . Это

означает , что такие изменения могут сделать полученное решение

неоптимальным . Наша цель заключается в том , чтобы найти интер-

валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-

сматривая каждый из коэффициентов отдельно ) , при которых оп-

тимальные значения переменных остаются неизменными .
    Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисле-

ния , положим , что удельный объем сбыта , ассоциированной с переменной
X1 изменяется от 1 до 1 + d1 где d1 может быть как  положительным  ,  так  и
отрицательным числом . Целевая функция в  этом  случае  принимает  следующий
вид:
    Z = ( 1 + d1 )X1 + 25X2
      Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и

выполнить все вычисления , необходимые для ( получения заключн-

тельной симплекс-таблицы , то последнее Z-уравнение будет выгля-

деть следующим образом:


|Базисные       |X1   |X2   |S1         |S2        |Решение       |
|переменные     |     |     |           |          |              |
|Z              |0    |0    |27/110+1/55|5/22-50/55|2455/11+1000/5|
|               |     |     |d1         |d1        |5d1           |



Коэффициенты при базисных переменных X1 , X2 и остаточных я равными нулю  .
Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения d1  ,  только  наличием
членов , содержащих d1  .  Коэффициенты  при  d1  равны  кoэффициентам  при
соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы  для  полученного
ранее оптимального решения

|Базисные     |X1   |X2    |S1      |S2        |Решение   |
|переменные   |     |      |        |          |          |
|X1           |1    |0     |1/55    |-50/55    |1000/55   |


Мы рассматриваем X1 - уравнение , так как коэффициент именно при

этон переменной в выражении для целевои функции изменился

на d1 .
Оптимальные значения переменных будут оставаться неизмен-

ными при значениях d1 , удовлетворяющих условию неотрицатель-

ности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при не-

базисных переменных в Z-уравнении .  Таким  образом  ,  должны  выполняться
следующие неравенства :
27/110 + 1/55d1 => 0
5/22 - 50/55d1 => 0
Из первого неравенства получаем , что d1 => - 13,5 , а из  второго  следует
что d1 <= 1/4 . Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента C1
в виде следующего соотношения : - 13,5 <= d1 <= 1/4 . Та-

ким образом , при уменьшении коэффициента целевой функции при

переменной X1 до значения , равного 1 + ( - 13,5 ) = - 12,5   или  при  его
увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаются

неизменными  .  Однако  оптимальное  значение  Z  будет  изменяться   (   в
соответствии с выражением 2455/11 + 1000/55d1 , где - 13,5 <= d1 <= 1/4
      X2  изменяется от 25 до 25 + d2 где d2 может быть как положительным ,
так и отрицательным числом  .  Целевая  функция  в  этом  случае  принимает
следующий вид:
    Z = ( 25 + d2 )X2 + X1
        Все   предыдущее   обсуждение   касалось   исследования   изменения
коэффициента при переменной , которой поставлено в соответствие ограничение
, фигурирующее в симплекс-таблице . Однако такое ограничение имеется лишь в
том случае , когда данная переменная является базисной ( например X1 и X2 )
.  Если  переменная  небазисная  ,  то  в  столбце  ,  содержащем  базисные
переменные , она не будет представлена .
       Любое  изменение  коэффициента  целевой   функции   при   небазисной
переменной приводит лишь к тому  ,  что  в  заключительной  симплкс-таблице
изменяется только этот коэффициент  .  Рассмотрим  в  качестве  иллюстрации
случай , когда коэффициент при переменной S1 ( первой остаточной переменной
) изменяется от 0 до d3  .  Выполнение  преобразований  ,  необходимых  для
получения  заключительной  симплекс  таблицы  ,   приводит   к   следующему
результирующему Z-уравнению :
|Базисные     |X1  |X2  |S1         |S2  |Решение   |
|переменные   |    |    |           |    |          |
|Z            |0   |0   |27/110+1/55|5/22|2455/11   |
|             |    |    |d1         |    |          |





смотреть на рефераты похожие на "Построение экономической модели с использованием симплекс-метода"