Экономико-математическое моделирование

Операции с ценными бумагами


1.Введение
      Рассмотрим модель (B,S)- рынка , функционирующего  в  моменты  времени
n=0,1,..., N<( , и состоящего из двух активов - банковского счета  В=(Вn)  и
акции  S=(Sn).Согласно  этой  модели   для   банковского   счета   следующие
реккурентные соотношения
                        Bn=(1+r)Bn-1 , B0>0,   (1.1)
где процентная ставка r>0.
      Стоимость акции S=(Sn) изменяется по закону
                        Sn=(1+pn)Sn-1 , S0>0,  (1.2)
где p=(pn)- ” хаотическая “ последовательность , причем pn принимают  только
два значения a и b такие , что
                                  -1K , то владелец  опциона  предъявит  его  к
исполнению , то есть купит акции по цене K. После этого он может их  продать
и получить прибыль Sn-K. Если цена акции Sn будет меньше или равна  К  ,  то
покупатель не предъявит опцион к  исполнению  так  как  не  получит  никакой
прибыли. То есть продавец опциона должен выплатить  его  покупателю  max(Sn-
K).
      Цена на опцион определяется исходя из  того  ,  что  продавец  опциона
должен получить от покупателя такую сумму минимальную сумму , чтобы в  любой
из возможных ситуаций.обеспечить выполнение условий контракта.

      2.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для одного периода
Европейского колл-опциона.
      Пусть
      S-текущая цена акции
      С-цена колл-опциона
      К-цена исполнения опциона
      r-безрисковый процент
      Сa-выплата по опциону в случае понижения цены акции к началу
следующего периода
      Сb-выплата по опциону в случае повышения цены акции к началу
следующего периода

Исходя из рассматриваемой модели цена  акции  к  началу  следующего  периода
может либо понизиться до S(1+a) , либо повыситься до S(1+b)
По определению Европейского колл-опциона продавец опциона должен выплатить
покупателю
                        Сa=max(0,S(1+a)-K))    (2.1)
в случае понижения цены акции
                      или Сb=max(0,S(1+b)-K))     (2.2)
в случае повышения цены акции
Пусть С-цена Европейского колл-опциона , тогда продавец опциона должен
таким образом сформировать портфель
                              X0=(B+(S,   (2.3)
чтобы на начало следующего периода иметь возможность осуществить следующие
выплаты
                        Сa=((1+r)B+((1+a)S,    (2.4)
в случае понижения цены и
                        Сb=((1+r)B+((1+b)S,    (2.5)
в случае повышения цены
Решая систему уравнений
                        Сa=((1+r)B+((1+a)S,    (2.6)
                             Сb=((1+r)B+((1+b)S,
Получим следующие значения ( и (
                              [pic]       (2.7)
                                 [pic] (2.8)
Подставляя полученные значения в (2.3) получим
                                 [pic] (2.9)
Цена колл-опциона C должна  равняться  цене  портфеля  X0  иначе  существует
возможность получения арбитражной прибыли.
Таким  образом   цена   Европейского   колл-опциона   для   одного   периода
определяется по формуле
                                [pic] (2.10)
А значения ( и (  для  формирования  портфеля  по  формулам  (2.8)  и  (2.9)
соответственно.

      3.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для нескольких периодов
Европейского колл-опциона.
Используем полученные в п.2 результаты для определения цены Европейского
колл-опциона для нескольких периодов
Рассмотрим двухпериодный вариант
      Пусть
      S-текущая цена акции
      С-цена колл-опциона
      К-цена исполнения опциона
      r-безрисковый процент
      Сaa-выплата по опциону в случае  понижения  цены  акции  по  окончании
второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода
      Сbb-выплата по опциону в случае  повышения  цены  акции  по  окончании
второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода
      Сba-выплата по опциону в случае  понижения  цены  акции  по  окончании
второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода
      Сab-выплата по опциону в случае  повышения  цены  акции  по  окончании
второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода
      Платежи по колл-опционам составят
      Сaa=max(0,S(1+a)(1+a)-K)
      Сab=max(0,S(1+a)(1+b)-K)
      Сba=max(0,S(1+b)(1+a)-K)
      Сbb=max(0,S(1+b)(1+b)-K)
Для расчета цены колл-опциона воспользуемся формулой 2.10
                                [pic] (2.11)
Где Сa выразим через Сaa и Сab , а Сb через Сbb и Сba.
                                [pic] (2.12)
                                [pic] (2.13)
Подставим полученные значения в (2.11)
[pic]
                                   (2.14)
Упрощая выражение (2.14) получаем следующее значение цены колл-опциона
[pic] (2.15)
или если подставить значения выплат по опционам
[pic]
                                   (2.16)
Если провести аналогичные вычисления для трех  периодов  Европейского  колл-
опциона то получим следующее выражение:
[pic]
                                   (2.17)
Используя метод математической индукции для  n  периодов  получим  следующее
значение для цены Европейского колл-опциона.
[pic] (2.18)
Если для полученной формулы ввести обозначение
                             [pic],      (2.19)
то видно , что формула (2.17) для  расчета  цены  Европейского  колл-опциона
совпадает  со  значением  цены  Евопейского  колл-опциона  опубликованном  в
статье  Ширяева  А.Н.   “К   теории   расчетов   опционов   Европейского   и
Американского  типов,  I:  Дискретное   время.-Теория   вероятности   и   ее
применение 1994 , т.39, в.1,с80-129.


смотреть на рефераты похожие на "Операции с ценными бумагами"