24. Eingehender Anforderungsfluss

24.1 Aufbau des QS

Das Studium von QS beginnt mit der Analyse des eingehenden Anforderungsflusses. Eingehender Anforderungsfluss stellt eine Reihe von Anforderungen dar, die in das System gelangen und bedient werden müssen. Der eingehende Anforderungsfluss wird untersucht, um die Muster dieses Flusses zu ermitteln und die Servicequalität weiter zu verbessern.

In den meisten Fällen ist der Zufluss unkontrollierbar und hängt von einer Reihe zufälliger Faktoren ab. Die Anzahl der pro Zeiteinheit eintreffenden Anfragen ist eine Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable ist auch der Zeitabstand zwischen benachbarten eingehenden Anfragen. Es wird jedoch davon ausgegangen, dass die durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit eingegangenen Anfragen und der durchschnittliche Zeitabstand zwischen benachbarten eingehenden Anfragen gegeben sind.

Als Aufruf wird die durchschnittliche Anzahl der Anfragen bezeichnet, die pro Zeiteinheit in das Servicesystem eingehen Intensität der Anfragen und wird durch die folgende Beziehung bestimmt:

Wo T - der Durchschnittswert des Intervalls zwischen dem Eintreffen nachfolgender Anfragen.

Für viele reale Prozesse wird der Anforderungsfluss durch das Poisson-Verteilungsgesetz ziemlich gut beschrieben. Ein solcher Fluss wird aufgerufen das einfachste.

Der einfachste Stream hat die folgenden wichtigen Eigenschaften:

Stationaritätseigenschaft, was die Invarianz des probabilistischen Flussregimes über die Zeit ausdrückt.

Dies bedeutet, dass die Anzahl der Anfragen, die in gleichen Zeitabständen im System eingehen, im Durchschnitt konstant sein sollte. Beispielsweise sollte die Anzahl der Autos, die durchschnittlich pro Tag zur Beladung ankommen, für verschiedene Zeiträume, beispielsweise zu Beginn und am Ende eines Jahrzehnts, gleich sein.

Keine Nachwirkung, was die praktische Unmöglichkeit des gleichzeitigen Eintreffens von zwei oder mehr Anforderungen zum Ausdruck bringt (die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses ist im Verhältnis zum betrachteten Zeitraum, in dem dieser gegen Null tendiert, unermesslich gering).

Da der Zweck des Betriebs jedes Wartungssystems darin besteht, Anwendungen (Anforderungen) für den Service zu erfüllen, ist der Fluss von Anwendungen (Anforderungen) eines der grundlegenden und wichtigsten Konzepte der Warteschlangentheorie. Sie müssen lernen, den eingehenden Anforderungsfluss quantitativ zu beschreiben. Dazu müssen Sie jedoch seine Art und Struktur herausfinden.

Fast jeder Fluss von Anfragen, die in ein Servicesystem eingehen, ist ein zufälliger Prozess. In der Tat, wenn wir es akzeptieren T=0 Für den Anfangszeitpunkt ist es dann in vielen Abläufen (mit Ausnahme des Falles, in dem Anforderungen genau im Zeitplan eintreffen) entweder unmöglich oder ziemlich schwierig, den Zeitpunkt des Eintreffens der nächsten Anfrage sowie die Zeitpunkte des Eintreffens nachfolgender Anfragen genau vorherzusagen . Beispielsweise ist es unmöglich, die Zeitpunkte genau anzugeben, zu denen Kunden im Studio, Patienten im Krankenhaus, Anrufe in der automatischen Telefonzentrale, Geräte in der Reparaturwerkstatt usw. eintreffen.

Folglich sind die Zeitpunkte des Bewerbungseingangs sowie die zeitlichen Abstände zwischen ihnen im Allgemeinen unabhängige Zufallsvariablen. Dann sollte der Prozess des Empfangens von Anfragen im Warteschlangensystem als probabilistischer oder zufälliger Prozess betrachtet werden. Bezeichnen wir einen solchen Prozess mit X(T). Diese Funktion ermittelt die Anzahl der Anfragen, die das System über einen bestimmten Zeitraum erhält . Für jedes feste t der Funktion X(T) ist eine Zufallsvariable. Wenn Sie nämlich Zeitintervalle von sogar gleicher Dauer wählen, können Sie in diesem Fall nicht sicher sein, dass in jedem dieser Intervalle die gleiche Anzahl von Anforderungen eintrifft.

Über eine gewisse Zeitspanne Es kann sein, dass es keine einzige Bewerbung gibt oder dass 1, 2,... Bewerbungen eingehen. Unabhängig davon, wie lange wir die Zeitintervalle wählen, wird die Anzahl der Anwendungen jedoch nur eine ganze Zahl sein.

Der Anforderungsfluss kann als Diagramm einer der Implementierungen der Zufallsvariablen der Funktion dargestellt werden X(T), Nehmen Sie nur nichtnegative ganzzahlige Werte an. In diesem Fall stellt die Grafik (Abb. 24.2) eine Stufenlinie mit Sprüngen dar, die entweder einer oder mehreren Einheiten entsprechen, je nachdem, ob die Anforderungen einzeln oder in Gruppen eintreffen. Also der Zufallsprozess X(T), verfügt über die folgenden Funktionen.

1. Für alle festen T Funktion X(T), nimmt nichtnegative ganzzahlige Werte 0, 1, 2,...,R,... an und nimmt mit steigender Zahl nicht ab.

2. Anzahl der über einen bestimmten Zeitraum eingegangenen Anfragen , hängt von der Länge dieses Intervalls ab, also vom Wert von t.

3. Prozessimplementierungen werden durch abgestufte Linien dargestellt, die sich etwas voneinander unterscheiden. Aus der Theorie der Zufallsprozesse ist bekannt, dass der Prozess aus probabilistischer Sicht vollständig definiert ist, wenn alle seine mehrdimensionalen Verteilungsgesetze bekannt sind:

Eine solche Funktion im allgemeinen Fall zu finden, ist jedoch eine sehr schwierige und manchmal unlösbare Aufgabe. Daher versuchen sie in der Praxis, Prozesse zu verwenden, deren Eigenschaften es ermöglichen, einfachere Wege zu ihrer Beschreibung zu finden. Zu diesen Eigenschaften gehören:

Stationarität (bessere Homogenität im Zeitverlauf);

Mangel an Nachwirkung (Markovität), manchmal spricht man von mangelndem Gedächtnis;

Alltäglichkeit.

Die aufgeführten Eigenschaften wurden oben bei der Untersuchung stationärer und Markov-Prozesse berücksichtigt, daher erinnern wir uns hier nur an das Wesen dieser Eigenschaften im Hinblick auf die Warteschlangentheorie.

Ein Nachfragefluss wird als zeitlich stationär oder homogen bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit, in einem bestimmten Zeitraum eine bestimmte Anzahl von Nachfragen zu erhalten, nur von der Länge des Intervalls und nicht von seiner zeitlichen Position abhängt (mit anderen Worten). nicht von der Herkunft abhängen). Somit ist für eine stationäre Strömung die Wahrscheinlichkeit, dass während des Intervalls wird genau ankommen R Anforderungen entspricht der Wahrscheinlichkeit des Erhalts R Anforderungen für den Zeitraum [ein, ein +T] , Wo a>0, d.h.

Dies bedeutet, dass sich die probabilistischen Eigenschaften des Flusses (Parameter des Verteilungsgesetzes) im Laufe der Zeit nicht ändern sollten.

Viele reale Nachfrageströme haben die Eigenschaft der Stationarität, wenn wir sie über kurze Zeiträume betrachten. Zu diesen Strömen gehören: der Anrufstrom bei der automatischen Telefonzentrale zu bestimmten Zeiträumen, der Kundenstrom in das Geschäft, der Strom reparaturbedürftiger Funkgeräte, die Intensität des Personenverkehrs usw. Einige davon Die aufgeführten Verkehrsströme ändern sich im Laufe des Tages (die Wahrscheinlichkeit von Anrufen ist nachts geringer als tagsüber, Spitzenzeiten für öffentliche Verkehrsmittel).

In einigen Abläufen hängt die Anzahl der Anfragen, die nach einem beliebigen Zeitpunkt in das System gelangen, nicht von der Anzahl der zuvor empfangenen Anfragen und den Zeitpunkten ihres Eintreffens ab, d. h. die Intervalle zwischen dem Eintreffen von Anfragen werden als unabhängige Größen betrachtet und es gibt keine Verbindung zwischen ihnen. Der zukünftige Zustand des Systems hängt nicht von seinem vergangenen Zustand ab. Ein Fluss mit dieser Eigenschaft wird als Fluss ohne Nachwirkung oder Markov-Fluss bezeichnet. Die Eigenschaft, keine Nachwirkung (keine Erinnerung) zu haben, ist vielen realen Flüssen inhärent. Beispielsweise ist ein Anruffluss zu einer TK-Anlage ein Fluss ohne Nachwirkung, da der nächste Anruf in der Regel eintrifft, unabhängig davon, wann und wie viele Anrufe es vorher gab.

In einer Reihe von Fällen ist der Anforderungsfluss so beschaffen, dass das gleichzeitige Auftreten von zwei oder mehr Anforderungen unmöglich oder nahezu unmöglich ist. Ein Fluss mit dieser Eigenschaft wird gewöhnlich genannt.

Wenn R R >2 (H) -Eintrittswahrscheinlichkeit während des Zeitraums H mehr als eine Anforderung, dann sollte für einen gewöhnlichen Fluss Folgendes vorhanden sein:

,

Das heißt, die Gewöhnlichkeit des Flusses erfordert die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von mehr als einem Bedarf in einem kurzen Zeitraum H wäre eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung als H. Bei einigen realen Flüssen ist diese Eigenschaft offensichtlich, bei anderen akzeptieren wir sie jedoch als eine ziemlich gute Annäherung an die Realität. Klassische Beispiele für einen solchen Fluss sind der Anruffluss zu einer Telefonanlage und der Kundenfluss in einem Studio.

Ein Anforderungsfluss, der diese drei Eigenschaften aufweist, wird als der einfachste bezeichnet. Es kann gezeigt werden, dass jeder einfachste Fluss durch einen Poisson-Prozess beschrieben wird. Zu diesem Zweck erinnern wir uns an die Definition des Poisson-Prozesses, die in der Theorie der Zufallsfunktionen übernommen wurde.

Zufälliger Prozess X(T) (0≤ T<∞) ganzzahlige Werte nennt man einen Poisson-Prozess, wenn es sich um einen Prozess mit unabhängigen Inkrementen handelt oder wenn ein beliebiges Inkrement des Prozesses über einen Zeitraum h nach dem Poisson-Gesetz mit dem Parameter verteilt ist λ H, Wo λ>0 diese.

Insbesondere, wenn T=0, X(0)=0, dann wird (3) wie folgt umgeschrieben:

(4)

Hier V R (H) bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass das für uns interessante Ereignis genau eintritt R einmal pro Zeitraum H(aus Sicht der Warteschlangentheorie V R (H) bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass über einen bestimmten Zeitraum H wird genau in das Servicesystem eingegeben R Anforderungen).

Bedeutung des Parameters X Es ist leicht herauszufinden, ob Sie den mathematischen Erwartungswert des Poisson-Prozesses finden: M [X(T)]=M. Bei t = 1 wir bekommen M[X(1)]=1. Daher gibt es eine durchschnittliche Anzahl von Bewerbungen pro Zeiteinheit. Daher der Wert λ oft als Intensität oder Flussdichte bezeichnet.

Aus der Definition des Poisson-Prozesses ergeben sich unmittelbar drei Eigenschaften, die mit den oben angegebenen identisch sind:

1) Unabhängigkeit der Inkremente. Die Unabhängigkeit der Inkremente für den Poisson-Prozess bedeutet das Fehlen von Nachwirkungen – die Markov-Natur des Prozesses.

2) Homogenität im Laufe der Zeit. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten V R (H) hängen nicht vom ersten Moment ab T der betrachtete Zeitraum , hängen aber nur von der Länge des Intervalls ab H:

3) Gewöhnlichkeit. Aufgrund der gewöhnlichen Natur des Poisson-Prozesses ist es praktisch unmöglich, dass eine Gruppe von Anforderungen gleichzeitig eintrifft.

Das gleichzeitige Eintreffen von zwei oder mehr Anforderungen in einem kurzen Zeitraum h ist daher unwahrscheinlich

was darauf hinweist, dass der Poisson-Prozess gewöhnlich ist.

Somit haben wir festgestellt, dass der durch den Poisson-Prozess beschriebene Fluss der einfachste ist. Allerdings trifft auch die umgekehrte Annahme zu: Die einfachste Strömung wird durch den Poisson-Prozess beschrieben. Daher wird die einfachste Strömung oft als Poisson-Strömung bezeichnet. Der Poisson-Prozess nimmt in der Warteschlangentheorie eine Sonderstellung ein, ähnlich der, die das Normalgesetz neben anderen Verteilungsgesetzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie einnimmt. Und der Punkt ist nicht, dass es mathematisch am einfachsten beschrieben werden kann, sondern dass es am häufigsten vorkommt. Der Poisson-Fluss ist limitierend (ein asymptotischer Fluss, wenn viele andere Flüsse kombiniert werden).

Elemente der Warteschlangentheorie

§ 1. Einleitung

Die Warteschlangentheorie wird auch als Warteschlangentheorie bezeichnet. Tatsächlich widmet sich die Warteschlangentheorie weitgehend der Untersuchung von Warteschlangen, die in verschiedenen Systemen entstehen.

Die Hauptmerkmale von Warteschlangensystemen sind die folgenden Zufallsvariablen:

durchschnittliche Zeit, die ein Kunde in der Warteschlange verbringt;

der Anteil der Zeit, während der das System im Leerlauf ist (aufgrund der Abwesenheit von Clients).

Die Funktionalität von Warteschlangensystemen wird durch folgende Faktoren bestimmt:

Verteilung von Kundenverteilungsmomenten;

Verteilung der Dienstdauer;

Konfiguration des Versorgungssystems (serielle, parallele oder parallel-serielle Wartung);

Disziplin in der Warteschlange (Bedienung in der Reihenfolge des Eintreffens, Bedienung in umgekehrter Reihenfolge, zufällige Auswahl der Kunden);

Warteblockkapazität (begrenzt oder unbegrenzt);

Kapazität oder Leistung der Nachfragequelle (begrenzt und unbegrenzt);

einige andere Merkmale des Systems (die Fähigkeit von Clients, von einer Warteschlange in eine andere zu wechseln, Ausfallwahrscheinlichkeit ungleich Null usw.).

Die Hauptfaktoren sind die ersten beiden.

Jedes Warteschlangensystem besteht aus den folgenden Hauptelementen:

eingehender Kundenstrom;

Servicegerät;

Disziplin im Einklang.

§ 2 . Eingabefluss der Kunden

Betrachten Sie Folgen von Zufallsvariablen

Tun wir mal so T o = 0 – Anfangszeitpunkt des Systembetriebs; T 1 = T o + τ 1 , T 2 = T 1 + τ 2 , …, T k = T k -1 + τ k , …., wo τ k sind unabhängige Zufallsvariablen mit einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ.

Z Hier T 1 – Zeitpunkt der Ankunft des ersten Kunden, τ 1 – das Zeitintervall zwischen dem Start des Systembetriebs und dem Moment, in dem der erste Kunde ankommt, τ 2 – das Zeitintervall zwischen der Ankunft des ersten und zweiten Kunden usw.

Folge
, wie oben definiert, heißt das einfachste (Poisson) fließen. Eine Konstante wird der einfachste Flussparameter genannt.

Eigenschaften des einfachsten Flusses

1. Flussverschiebung um den Wert T

Lass es einen einfachen Fluss geben
mit Parameter λ.

Durch Verschieben des Durchflusses um einen Betrag T, wir bekommen einen Stream
, was auch der einfachste Fluss mit demselben Parameter λ sein wird. Zum Beispiel, wenn T ist zwischen Und , dann sieht der neue Stream so aus:

, ….

2. Zwei Threads zusammenführen

P
Es gebe zwei unabhängige einfachste Flüsse

Mit
Parameter λ (1) , λ (2) bzw. Wir werden sagen, dass ein Fluss durch die Verschmelzung zweier Flüsse entstanden ist, wenn die Menge ( Tk) ist die Vereinigung von Mengen ( Tk (1) }, {t k ( 2) ) und Elemente der Menge ( Tk) werden in aufsteigender Reihenfolge sortiert.

P
Der Fluss, der aus der Fusion zweier unabhängiger einfacher Streams resultiert, ist ebenfalls ein einfacher Stream mit dem Parameter λ = λ (1) + λ (2), Wo λ(j)– Durchflussparameter

3. Einen einfachen Stream aufteilen

Es sei ein einfacher Stream mit einem Parameter vorhanden λ,

und eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen
, wobei zwei Werte angenommen werden:

P(ξ ich = 1) = P, P(ξ ich = 0) = Q, P  0, Q  0, P + Q = 1.

Solche Zufallsvariablen heißen Bernoulli(mit Parameter P). Stream-Splitting-Verfahren ( Tk) ist wie folgt: Zahl t i beziehen sich auf den ersten Fluss, wenn ξ ich= 1; wenn ξ ich= 0, dann die Zahl t i beziehen wir uns auf den zweiten Fluss. Wir nennen diesen Vorgang das Teilen eines Stroms in zwei Bernoulli(mit Parameter P).

Die aus der Bernoulli-Teilung der Elementarströmung resultierenden Strömungen sind unabhängige Elementarströmungen mit den Parametern λ (1) = λp bzw. λ (2) = λq.

Beachten Sie, dass Beweise für diese Eigenschaften des einfachsten Flusses in zu finden sind.

H
durch X(t) Im Folgenden geben wir an, wie viele Clients sich derzeit im System befinden T, d.h.

Eigenschaften von Poisson-Prozessen

Das Inkrement des Poisson-Prozesses ist gleichmäßig.

Bezeichnen wir mit X((A,B])= X(B) – X(A) Prozessinkrement, das als die Anzahl der Clients interpretiert werden kann, die im Intervall ( A,B]. Unter Homogenität versteht man die Erfüllung der Bedingung:

P( X((A,B]) = k) = P( X((0,B-A]) = k) = P( X(B-A) = k),

diese. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Clients, die im Intervall in das System eintreten ( A,B], hängt nur von der Länge dieses Intervalls ab.

Die Inkremente des Poisson-Prozesses sind unabhängig.

Betrachten Sie das Intervall (0, B] und nehmen an, dass es in disjunkte Intervalle (0, B 1 ], (B 1 , B 2 ], , ( B N-1, B N]. Lassen B 0 = 0. Dann X((B 0 , B 1 ]), X((B 1 , B 2 ]), , X((B N-1, B N ]) – die Anzahl der Kunden, die in den entsprechenden Zeiträumen das System betreten. Diese Größen sind unabhängig, d.h.

P( X((B 0 , B 1 ]) = ich 1 , , X((B N-1, B N]) = ich N) =

P( X((B 0 , B 1 ]) = ich 1)  P( X((B N-1, B N]) = ich N).

Beweise für diese Eigenschaften finden sich in.

Aufgaben zu § 2.

2.1. Es gibt zwei Zufallsvariablen  1 und  2. Sie sind unabhängig und haben eine Exponentialverteilung mit Parametern  1 und  2 bzw. Lassen Sie uns die folgende Zufallsvariable einführen:  = min(  1 ,  2). Beweisen Sie, dass diese Größe eine Exponentialverteilung mit dem Parameter hat = 1 + 2 .

2.2. Gegeben sind zwei unabhängige Zufallsvariablen  1 Und  2 mit einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter  1 Und  2 bzw. Lassen Sie die Zufallsvariable  = 1 + 2. Beweisen Sie, dass diese Größe eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter hat  = 1 + 2 .

2.3. Lassen  ist die Anzahl der Kunden in Geschäften und hat eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter  . Lassen Sie jeden Kunden mit Wahrscheinlichkeit P kauft in diesem Geschäft ein. Sie müssen mit dem Parameter nachweisen, dass die Anzahl der Kunden, die in diesem Geschäft einen Einkauf getätigt haben, eine Poisson-Verteilung aufweist p.

2.4. Kunden kommen gemäß einem Poisson-Flow mit einer durchschnittlichen Häufigkeit von 20 Kunden pro Stunde im Restaurant an. Das Restaurant öffnet um 11.00 Uhr.

a) die Wahrscheinlichkeit, dass um 11.12 Uhr 20 Besucher im Restaurant sein werden, vorausgesetzt, dass um 11.07 Uhr 18 Besucher im Restaurant waren;

b) die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Kunde zwischen 11.28 und 11.30 Uhr im Restaurant eintrifft, wenn bekannt ist, dass der vorherige Kunde um 11.25 Uhr im Restaurant eingetroffen ist.

2.5. Die Produkte werden aus einem Lager mit einer Kapazität von 80 gelagerten Produkteinheiten entnommen, gemäß einem Poisson-Fluss mit einer Intensität von 5 Produkteinheiten pro Tag.

a) die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten beiden Tagen 10 Produkteinheiten aus dem Lager entnommen werden;

b) die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende des vierten Tages keine einzige Produkteinheit mehr im Lager ist.

§

3. Der Prozess von Tod und Fortpflanzung

Lassen Sie uns den Prozess des Todes und der Fortpflanzung aufbauen X(T) „konstruktiv“.

Betrachten Sie zwei Sequenzen und. Der erste ist für den Eintritt von Clients in das System verantwortlich (Reproduktion), der zweite für die Betreuung von Clients (Tod):

Gegeben seien außerdem zwei unabhängige Folgen
unabhängige Zufallsvariablen mit Exponentialverteilung mit Parameter =1.

Verfahren X(t) ist wie folgt aufgebaut. Lassen
, Wo
. Dann in der Pause
Verfahren X(t) behält seinen Wert , Wo
,

.

In dem Moment T 1 Prozesswert X(T) erhöht oder verringert sich um eins, je nachdem, welches der beiden Momente vorliegt
kommt früher:

Damit haben wir die Bedeutung des Prozesses dargelegt X(t) am Punkt T 1 gleich ; dann die Entwicklung des Prozesses X(T) auf dem Intervall
, Wo
Und
, gehorcht dem gleichen Gesetz: X(T) ändert sich in diesem Intervall derzeit nicht T 2

erhöht sich um eins, wenn
und verringert sich ansonsten um eins.

Wenn
, dann der Wert des Prozesses X(T) erhöht sich zu einem zufälligen Zeitpunkt um eins
.

Der auf diese Weise aufgebaute Prozess
, nennt man einen zeitlich einheitlichen Prozess von Tod und Fortpflanzung; seine Verteilungen werden vollständig durch den Parametersatz und die Anfangsverteilung X(0) bestimmt:

Es ist praktisch, Folgendes zu verwenden Diagramm Prozessentwicklung darzustellen X(T):

Die Pfeile oben entsprechen der Dynamik des Reproduktionsprozesses: von ich-State, zu dem der Prozess geht ( ich+1)-ter Zustand mit Intensität ; Die Pfeile unten entsprechen der Dynamik des Sterbeprozesses: mit Intensität Prozess von ich-state geht in ( ich-1)-ter Staat.

Funktionsumfang

beschreibt die Verteilung des Prozesses X(T); Nachfolgend stellen wir ein Gleichungssystem vor, das diese Funktionen erfüllen.

Beachten Sie, dass nicht jeder Parametersatz
entspricht einem „nicht entarteten“ Prozess X(T); Der Punkt ist, dass wenn die Zahlen sehr schnell wachsen
, dann der Prozess X(T) im letzten Moment T kann „explodieren“, d.h. mit einer positiven Wahrscheinlichkeit, ein beliebiges Niveau zu überschreiten und auf anzusteigen
.

So verhält sich beispielsweise eine Bakterienpopulation in einer günstigen Umgebung. Ähnlich aufgebaut sind die Prozesse, die chemische Reaktionen beschreiben, die zu einer Explosion führen. X(T Prozesse
), wofür alles , gehören zu den sogenannten Prozesse der reinen Reproduktion
. Prozesse für die , angerufen.

Prozesse purer Zerstörung
Das folgende Lemma gibt notwendige und hinreichende Bedingungen für die Parameter an
, die die Endlichkeit des Prozesses der reinen Reproduktion garantieren

mit Parametern.. Lemma

Der Prozess der reinen Reproduktion mit Parametern sei . Damit der Prozess endlich ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Reihen divergieren X(T Lassen ) Prozess von Tod und Fortpflanzung mit den gleichen Parametern Verfahren
sowie Parameter

P( X(T. Es ist klar, dass X + (T)  ) .

Daher erhalten wir ein Korollar aus dem Lemma.

Folge. Wenn für einen willkürlichen Prozess des Todes der Reproduktion X(t) die Bedingung erfüllt ist
, dann für jeden
gerecht P( X(t)  ) = 1, d.h. Der Vorgang ist abgeschlossen.

Der Beweis des Lemmas findet sich in.

Aufgaben zu § 3

3.1. Betrachten wir den Prozess des Todes und der Fortpflanzung, für den

Es ist erforderlich, ein diesem Prozess entsprechendes Diagramm zu zeichnen.

3.2. Lassen Sie Kunden, die telefonisch Hilfe erhalten möchten, mit dem Parameter einen einfachen Ablauf erstellen. Lass jedes Gespräch dauern - Richtzeit. Lassen X(T) ist die Anzahl der Clients im System zum Zeitpunkt t. Zeichnen Sie ein Diagramm, das dem Prozess entspricht X(T).

3.3. Unter den Bedingungen des Problems 3.2

Das Telefon verfügt über einen Speicher für einen Kunden: Wenn ein Kunde anruft und das Telefon besetzt ist, der Telefonspeicher jedoch frei ist, bietet das Gerät an, aufzulegen und auf den Anruf zu warten. Wenn das Telefon frei ist, ertönt der Anruf;

es gibt eine automatische Telefonzentrale und zwei Telefone, jedes Telefon hat seinen eigenen Operator: Wenn zum Zeitpunkt des Anrufs des Kunden ein kostenloses Telefon vorhanden ist, wird der Kunde von der Telefonzentrale automatisch an dieses Telefon weitergeleitet;

der Switch (siehe Punkt 2)) verfügt über Speicher für einen Client;

Jedes Telefon (siehe Punkt 2) verfügt über einen Speicher für einen Client.

Zeichnen Sie für alle oben genannten Fälle ein Diagramm, das dem Prozess entspricht X(T).

3.4. Bestimmen Sie, ob die Prozesse der reinen Reproduktion mit den folgenden Reproduktionsintensitäten abgeschlossen sind:

A)  k =k +  ,  >0,  >0, k= 0, 1, ...

B)  0 = 1,  k +1 = (k+1) k , k = 0, 1, ...

V)  k =  k , k = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. Differentialgleichungen, die dem Prozess von Tod und Fortpflanzung entsprechen

Tun wir mal so X(T) – der Prozess des Todes und der Fortpflanzung mit Merkmalen und. Sei es für einige endliche Zahlen A Und B es gibt Ungleichheiten  ich  A + Bi, ich= 0, 1, ...Diese Bedingung garantiert die Endlichkeit des Prozesses X(T). Gleichzeitig sind wir uns einig, dass der obere Pfeil auf der linken Seite zu jedem Zustand (sogar zu Zustand 0) und der Intensität der Geburt führt λ kann gleich Null sein (zum Beispiel λ –1 = 0); Von jedem Zustand kommt der untere Pfeil nach links und die Intensität des Todes μ kann auch gleich Null sein (zum Beispiel λ –1 = 0). Eine solche Neudefinition des Diagramms ändert nichts am Kern der Sache, wird aber für weitere Diskussionen nützlich sein. Schauen wir uns ein Diagramm an, das unserem Prozess entspricht X(T):

Bezeichnen wir wie zuvor mit

P k (T) = P(X(T) = k), k = 0,1,…,

die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt T Anzahl der Kunden X(T) wird gleich sein k.

Satz 1.EigenschaftenVerfahrenX(T), oben definiert, erfüllt das folgende System von Differentialgleichungen

Wo k = 0,1,…, und Anfangsbedingungen

Es lohnt sich klarzustellen, dass die erste Zeile (mit k= 0) Gleichungssystem (1) hat die Form

Nachweisen. Bezeichnen wir mit P k ( t+Δ) = P(X(T+ Δ) = k).

Verwenden wir die Definition der Ableitung einer Funktion einer Variablen:

.

Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:

A 0 (T, Δ) = (auf der Strecke [ T, T+Δ] Prozess X(T) hat keinen einzigen Sprung gemacht);

A 1 (T, Δ) = (auf der Strecke [ T, T+Δ] Prozess X(T) hat genau einen Sprung gemacht);

A 2 (T, Δ) = (auf der Strecke [ T, T+Δ] Prozess X(T) machte zwei Sprünge oder mehr).

Dann ist es offensichtlich

Bezeichnen wir weiter mit

; durch
drei exponentielle Zufallsvariablen mit Parametern
. Alle diese Größen seien unabhängig. Dann ist es offensichtlich, dass der stationäre (stationäre) Modus vorliegt. P k (T) = P(im Moment im System T gelegen k Kunden).

Finden Sie die Lösung des Differentialgleichungssystems sowie die stationären Wahrscheinlichkeiten.

4.2. Schreiben Sie für die Sterbe- und Fortpflanzungsprozesse aus Aufgabe 3.3 Differentialgleichungen auf, die die Wahrscheinlichkeiten in Beziehung setzen P k (T) = P(im Moment im System T gelegen k Kunden).

Finden Sie stationäre Wahrscheinlichkeiten.

Bei der Lösung von Kontrollproblemen, einschließlich der Führung und Kontrolle von Truppen, treten häufig eine Reihe ähnlicher Probleme auf:

• Einschätzung der Kapazität einer Kommunikationsrichtung, eines Eisenbahnknotenpunkts, eines Krankenhauses usw.;
• Einschätzung der Wirksamkeit der Reparaturbasis;
• Bestimmen der Anzahl der Frequenzen für ein Funknetz usw.

Alle diese Aufgaben ähneln sich in dem Sinne, dass sie einen enormen Servicebedarf mit sich bringen. An der Befriedigung dieser Nachfrage sind bestimmte Elemente beteiligt, die ein Warteschlangensystem (QS) bilden (Abb. 2.9).

Die Elemente des QS sind:

• Eingang (eingehend) Nachfragefluss(Anfragen) für den Service;
• Servicegeräte (Kanäle);
• Warteschlange von Anwendungen, die auf ihre Bearbeitung warten;
• freier Tag ( ausgehender) Fluss bearbeitete Anträge;
• Fluss unbearbeiteter Anträge;
• Warteschlange freier Kanäle (für Mehrkanal-QS).

Eingehender Fluss ist eine Sammlung von Serviceanfragen. Oftmals wird die Anwendung mit ihrem Träger identifiziert. Beispielsweise stellt ein Strom defekter Funkgeräte, der in eine Werkstatt eines Vereins gelangt, einen Fluss von Anfragen dar – Anforderungen für den Service in diesem QS.

In der Praxis handelt es sich in der Regel um sogenannte rekurrente Strömungen – Strömungen, die folgende Eigenschaften aufweisen:

• Stationarität;
• normal;
• begrenzte Nachwirkung.

Die ersten beiden Eigenschaften haben wir bereits definiert. Der begrenzte Nacheffekt liegt darin, dass die Intervalle zwischen eingehenden Bewerbungen unabhängige Zufallsvariablen sind.

Es gibt viele wiederkehrende Threads. Jedes Intervallverteilungsgesetz erzeugt seinen eigenen wiederkehrenden Fluss. Wiederkehrende Flüsse werden auch Palmflüsse genannt.

Eine Strömung ohne Nachwirkung wird, wie bereits erwähnt, als stationäre Poissonströmung bezeichnet. Seine zufälligen Intervalle zwischen Aufträgen haben eine Exponentialverteilung:

hier ist die Strömungsintensität.

Der Name der Strömung – Poisson – kommt daher, dass dafür Strömungswahrscheinlichkeit Das Auftreten von Ordnungen während des Intervalls wird durch das Poissonsche Gesetz bestimmt:

Ein Fluss dieser Art wird, wie bereits erwähnt, auch als der einfachste bezeichnet. Genau von diesem Ablauf gehen Designer bei der Entwicklung eines QS aus. Dies hat drei Gründe.

Erstens, ein Fluss dieser Art in der Warteschlangentheorie ähnelt dem Normalverteilungsgesetz in der Wahrscheinlichkeitstheorie in dem Sinne, dass der einfachste Fluss durch den Übergang zum Grenzwert für einen Fluss erreicht wird, der die Summe von Flüssen mit willkürlichen Eigenschaften mit einem unendlichen Anstieg ist Begriffe und eine Abnahme ihrer Intensität. Das heißt, die Summe beliebiger unabhängiger (ohne Dominanz) Flüsse mit Intensitäten ist der einfachste Fluss mit Intensität

Zweitens Wenn die Bereitstellungskanäle (Geräte) für den einfachsten Anforderungsfluss ausgelegt sind, wird die Bearbeitung anderer Arten von Flüssen (mit der gleichen Intensität) mit nicht weniger Effizienz bereitgestellt.

Drittens Genau dieser Fluss bestimmt den Markov-Prozess im System und damit die Einfachheit der analytischen Analyse des Systems. Bei anderen Strömen ist die Analyse der Funktionsweise des QS komplex.

Es gibt oft Systeme, in denen der Fluss der Eingabeanfragen von der Anzahl der bearbeiteten Anfragen abhängt. Solche SMOs werden genannt geschlossen(ansonsten - offen). Beispielsweise kann die Arbeit einer Verbandskommunikationswerkstatt durch ein geschlossenes QS-Modell abgebildet werden. Dieser Workshop soll dazu dienen, die Radiosender des Vereins zu betreuen. Jeder von ihnen hat Fehlerrate. Der Eingangsstrom der ausgefallenen Ausrüstung wird die folgende Intensität haben:

Wo ist die Anzahl der Radiosender, die sich bereits zur Reparatur in der Werkstatt befinden?

Für Bewerbungen gelten möglicherweise unterschiedliche Voraussetzungen für den Dienstantritt. In diesem Fall sagen sie, dass Anwendungen heterogen. Die Vorteile einiger Anwendungsflüsse gegenüber anderen werden durch die Prioritätsskala bestimmt.

Ein wichtiges Merkmal des Eingabestreams ist der Variationskoeffizient:

wo ist der mathematische Erwartungswert der Intervalllänge;

Standardabweichung einer Zufallsvariablen (Intervalllänge).

Für den einfachsten Ablauf

Für die meisten echten Threads.

Wenn der Fluss regelmäßig ist, ist er deterministisch.

Der Variationskoeffizient- ein Merkmal, das den Grad der Ungleichmäßigkeit beim Eingang der Bewerbungen widerspiegelt.

Servicekanäle (Geräte). Das QS kann über ein oder mehrere Bediengeräte (Kanäle) verfügen. Demnach werden QS einkanalig oder mehrkanalig genannt.

Mehrkanalig Das QS kann aus gleichen oder unterschiedlichen Gerätetypen bestehen. Wartungsgeräte können sein:

• Kommunikationsleitungen;
• Reparaturtechniker;
• Landebahnen;
• Verkehrsmittel;
• Liegeplätze;
• Friseure, Verkäufer usw.

Das Hauptmerkmal eines Kanals ist die Servicezeit. Die Servicezeit ist in der Regel ein Zufallswert.

Typischerweise glauben Praktiker, dass die Dienstzeit einem exponentiellen Verteilungsgesetz unterliegt:

Wo ist die Serviceintensität?

Mathematische Erwartung der Dienstzeit.

Das heißt, der Serviceprozess ist Markovianisch, und dies bietet, wie wir jetzt wissen, einen erheblichen Komfort bei der analytischen mathematischen Modellierung.

Neben der Exponentialverteilung gibt es Erlang-Verteilungen, Hyperexponentialverteilungen, Dreiecksverteilungen und einige andere. Dies sollte uns nicht verwirren, da sich gezeigt hat, dass der Wert der QS-Effizienzkriterien kaum von der Art des Dienstzeit-Wahrscabhängt.

Beim Studium von QS geht die Essenz des Dienstes außer Acht, Servicequalität.

Kanäle können sein absolut zuverlässig, das heißt, nicht zu scheitern. Oder besser gesagt, dies kann bei der Recherche akzeptiert werden. Kanäle können haben ultimative Zuverlässigkeit. In diesem Fall ist das QS-Modell wesentlich komplizierter.

Anwendungswarteschlange. Aufgrund der zufälligen Natur des Flusses von Anfragen und Diensten kann es sein, dass bei einer eingehenden Anfrage der Kanal bzw. die Kanäle mit der Bearbeitung der vorherigen Anfrage beschäftigt sind. In diesem Fall bleibt das QS entweder unversorgt oder verbleibt im System und wartet auf den Beginn seines Dienstes. Dementsprechend unterscheiden sie:

• QS mit Ausfällen;
• SMO mit Vorfreude.

CMO mit Vorfreude gekennzeichnet durch das Vorhandensein von Warteschlangen. Eine Warteschlange kann eine begrenzte oder unbegrenzte Kapazität haben: .

Der Forscher ist normalerweise an den folgenden statistischen Merkmalen interessiert, die mit dem Verweilen von Bewerbungen in der Warteschlange verbunden sind:

• die durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange während des Studienzeitraums;
• durchschnittliche Wartezeit (Warten) auf eine Bewerbung in der Warteschlange. QS mit begrenzter Warteschlangenkapazität wird als gemischter QS-Typ bezeichnet.

Oftmals gibt es CMOs, bei denen Bewerbungen vorliegen begrenzte Zeit in der Warteschlange unabhängig von seiner Kapazität. Solche QS werden auch als Mischtyp-QS klassifiziert.

Ausgabestrom ist der Fluss der betreuten Anwendungen, die das QS verlassen.

Es gibt Fälle, in denen Anfragen mehrere QS durchlaufen: Transitkommunikation, Produktionsförderer usw. In diesem Fall ist der ausgehende Fluss für das nächste QS eingehend. Eine Menge sequentiell miteinander verbundener QS wird aufgerufen Mehrphasen-Warteschlangensystem oder QS-Netze.

Der eingehende Fluss des ersten QS, der durch nachfolgende QS verläuft, ist verzerrt und dies erschwert die Modellierung. Allerdings sollte man das im Hinterkopf behalten Mit dem einfachsten Eingabestrom und exponentiellen Dienst (d. h. in Markov-Systemen) ist auch der Ausgabestrom am einfachsten. Wenn die Servicezeit eine nicht-exponentielle Verteilung aufweist, ist der ausgehende Fluss nicht nur nicht der einfachste, sondern auch nicht wiederkehrend.

Beachten Sie, dass die Intervalle zwischen Anfragen des ausgehenden Flusses nicht mit den Serviceintervallen identisch sind. Schließlich kann es sein, dass der QS nach dem Ende des nächsten Gottesdienstes mangels Bewerbungen noch einige Zeit stillsteht. In diesem Fall besteht das Intervall des ausgehenden Flusses aus der Zeit der Inaktivität des QS und dem Serviceintervall der ersten Anfrage, die nach der Inaktivitätszeit eintraf.

Eingabeinformationsfluss

Der Eingabeinformationsfluss ist eine Folge von Dokumenten und Daten, die zur Eingabe in das Informationssystem empfangen werden.

Siehe auch: Informationsgehalt

• - ein Gerät am Systemeingang, das Eingangssignale umwandelt, um den Betrieb des Systems mit einer externen Quelle zu koordinieren. Auswirkungen...

  Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

• - ein Gleissignal, das die Gleise eines separaten Punktes schützt. Als V. s. Es können Ampeln oder Signallichter verwendet werden. Das Eingangssignal ist nicht näher als 50 m installiert, die Ampel ist nicht näher als 15 m von der Spitze des Eingangspfeils entfernt ...

  Technisches Eisenbahnwörterbuch

• - „...Kontrolle von Lieferantenprodukten, die der Verbraucher oder Kunde erhält und die für die Herstellung, Reparatur oder den Betrieb von Produkten bestimmt sind …“ Quelle: Order of Roscartography vom 29. Juni …

  Offizielle Terminologie

• - Kontrolle der Einhaltung der Passdaten von Industrieprodukten, die für den Bau geliefert werden...

  Konstruktionswörterbuch

• - Materialfluss, der von außen in das Logistiksystem gelangt...

  Wörterbuch der Geschäftsbegriffe

• - ein Dokument, das in einer bestimmten Form erstellt wurde und Daten enthält, die zur Eingabe in ein Informationssystem bestimmt sind. Siehe auch: Informationsinhalt  ...

  Finanzwörterbuch

• - eine Reihe von im System zirkulierenden Nachrichten, die für die Umsetzung von Managementprozessen erforderlich sind...

  Großes Wirtschaftswörterbuch

• - externer Materialfluss, der aus der externen Umgebung in ein bestimmtes Logistiksystem gelangt...

  Großes Wirtschaftswörterbuch

• - ein Gerät am Eingang eines Systems oder Geräts, das Eingangseinflüsse in Signale umwandelt, die zur weiteren Verarbeitung, Übertragung und Aufzeichnung oder zur Koordinierung des Betriebs von Systemen mit unterschiedlichen Eingängen geeignet sind -...

  Große sowjetische Enzyklopädie

• - ...

  Wörterbuch der Antonyme

• - EINGANG siehe Eintreten und...

  Ozhegovs erklärendes Wörterbuch

• - EINGANG, Eingang, Eingang. adj. zum Eingang. Eingangstür. Eintrittskarte. Einlass...

  Uschakows erklärendes Wörterbuch

• - Eingang I Adj. Anfänglich, beginnend, anfänglich. II Adj. 1. Das Recht geben, 1. irgendwo einzutreten. 2. Als Eingang dienen...

  Erklärendes Wörterbuch von Efremova

• - Eingangsadj., gebraucht. vergleichen oft 1. Wenn Sie von einer Tür sprechen, meinen Sie die Außentür, die von der Straße in Ihr Haus führt. Jemand kam in den Flur und öffnete die Haustür. 2...

  Dmitrievs erklärendes Wörterbuch

• - Eingang...

  Russisches Rechtschreibwörterbuch

• - ...

  Wortformen

„Eingabeinformationsfluss“ in Büchern

Informationsfluss in der Natur

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