Schließe die nächste Runde der Fußballwettbewerbe ab. Einheitliches Staatsexamen in Mathematik. Lösungen

Jobquelle: Aufgabe 4. Um in die nächste Wettbewerbsrunde zu gelangen, muss die Fußballmannschaft punkten

Aufgabe 4. Um in die nächste Wettbewerbsrunde zu gelangen, muss eine Fußballmannschaft in zwei Spielen mindestens 4 Punkte erzielen. Wenn eine Mannschaft gewinnt, erhält sie 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt, bei einer Niederlage 0 Punkte. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team in die nächste Runde des Wettbewerbs aufsteigt. Bedenken Sie, dass in jedem Spiel die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten gleich sind und 0,4 betragen.

Lösung.

Da die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten 0,4 betragen, beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Unentschiedens 1-0,4-0,4=0,2. Somit kann eine Fußballmannschaft mit den folgenden inkompatiblen Ergebnissen in die nächste Runde einziehen:

Das erste Spiel gewonnen und das zweite Spiel gewonnen;

Hat das erste Spiel unentschieden gespielt und das zweite Spiel gewonnen;

Das erste Spiel gewonnen und das zweite unentschieden gespielt.

Die Wahrscheinlichkeit des ersten Ergebnisses beträgt . Wahrscheinlichkeit des zweiten Ergebnisses . Wahrscheinlichkeit des dritten Ergebnisses . Die erforderliche Wahrscheinlichkeit, die nächste Wettbewerbsrunde zu erreichen, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser drei unabhängigen Ergebnisse.

Fußballspiele sind anders. Dabei kann es sich lediglich um ein Freundschaftsspiel, ein Spiel der regulären nationalen Meisterschaft, ein Spiel in einem Gruppenturnier, ein zweiteiliges Pokal-Playoff-Spiel oder ein einzelnes K.-o.-Pokalspiel handeln, bei dem eine Mannschaft weiterkommen muss und die andere beseitigt werden. Bei manchen Spielen, etwa Meisterschaftsspielen oder Gruppenturnieren, wird das Ergebnis in der regulären Spielzeit erfasst. In K.-o.-Spielen kann es Optionen bis hin zu einer Verlängerung und einem Elfmeterschießen geben, um den endgültigen Sieger zu ermitteln. Bei solchen Spielen wird also nicht nur auf das Ergebnis selbst gewettet, sondern auch für den Einzug des Teams in die nächste Runde oder den Endsieg wenn das das Finale ist. Lassen Sie uns genauer über solche Tarife sprechen.

Ein Fußballspiel einer regulären Saison endet also nach 90 Minuten und mehreren vom Schiedsrichter hinzugefügten Minuten. Das Ergebnis eines solchen Spiels kann ein Sieg einer der Mannschaften oder ein Unentschieden sein. Der Gewinner erhält 3 Punkte, der Verlierer 0 Punkte. Bei einem Unentschieden erhalten beide Teams 1 Punkt. Ähnlich verhält es sich mit Spielen in Gruppenturnieren. Bei Punktegleichheit werden keine zusätzlichen Spiele oder Halbzeiten vergeben, sondern zusätzliche Indikatoren berechnet – Direktspiele, Tore usw. Es gibt jedoch Spielformate, bei denen eine Mannschaft möglicherweise nicht in der regulären Spielzeit gewinnt, aber weiter vorankommt. Schauen wir uns Beispiele an.

Konfrontation in einem Spiel. Spiele nationaler Pokalwettbewerbe einiger Länder, Endspiele europäischer Pokale, Playoff-Spiele der Welt- und Europameisterschaften usw. werden in Form eines Spiels ausgetragen. Der Ausrichter des Spiels wird durch das Los bestimmt, oder das Spiel findet auf einem neutralen Feld statt. Wenn eines der Teams in einem solchen Spiel gewinnt, ist alles ganz einfach: Es geht weiter und der Verlierer verlässt das Turnier. In der regulären Spielzeit kann jedoch ein Unentschieden verzeichnet werden. Was dann? Bei einigen Pokalen ist ein Wiederholungsspiel auf dem Spielfeld der anderen Mannschaft geplant (dies ist beispielsweise das Format in England). In anderen Situationen wird eine Verlängerung zugewiesen – zwei Hälften von jeweils 15 Minuten. Und wenn dies nicht ausreicht, um den Sieger zu ermitteln, kommt es nach dem Spiel zu einer Reihe von Strafen.

Wir wissen, dass Buchmacher Wetten auf den Hauptausgang des Spiels akzeptieren: den Sieg einer Mannschaft, den Sieg der zweiten Mannschaft und ein Unentschieden. Bei solchen Spielen kann es in der regulären Spielzeit zu einem Unentschieden kommen und die Wette wird auf der Grundlage dieses Unentschieden-Ergebnisses berechnet. Wetten auf den Endsieger, das Team, das weiterkommt oder den Pokal erhält, werden separat angenommen. Das Wette auf Teampass.

Pass-Wetten können in der Zusatzzeile gefunden werden, indem man sich auf ein bestimmtes Spiel einlässt, bei dem das Hauptergebnis möglicherweise nicht mit dem Pass-Ergebnis übereinstimmt.

Bei verschiedenen Buchmachern ist ein solcher Wettblock unterschiedlich gestaltet und heißt unterschiedlich...

...aber das Wesentliche ist dasselbe.

Zwei-Spiele-Konfrontation. In einigen nationalen Pokalen, in Europapokalen, in den Playoffs der Auswahl für die Welt- und Europameisterschaft usw. impliziert das Playoff-Format, Ko-Spiele, eine Konfrontation über zwei Spiele. Ein Spiel findet zu Hause statt, das zweite auswärts. Hier kann es mehrere Möglichkeiten geben.

Eine Mannschaft kann ein Spiel gewinnen und das zweite unentschieden spielen. Und sie besteht. Das heißt, wenn Sie nicht auf das zweite Spiel, sondern auf den Pass wetten, gewinnen Sie. Und die Wette auf den Sieg wird verlieren, denn... es gab ein Unentschieden.

Darüber hinaus kann eine Mannschaft ein Spiel gewinnen und das zweite verlieren. Und das Team, das mit der größeren Differenz in der Summe von zwei Pässen gewonnen hat. Wenn die Differenz Null ist (zum Beispiel: 2:1, 0:1), rückt die Mannschaft vor, die auf einem fremden Feld mehr Tore erzielt hat. Wenn die Ergebnisse identisch sind (3:1, 1:3), wird im zweiten Spiel eine Verlängerung gewährt, wie in einer Situation mit einem Playoff über ein Spiel.

Natürlich kann eine Mannschaft das zweite Spiel gewinnen und nicht weiterkommen. Beispielsweise verliert eine Mannschaft ein Auswärtsspiel mit 2:0, gewinnt aber zu Hause mit 1:0. Als Ergebnis wird das Spiel gewonnen und die entsprechende Wette auf den Hauptausgang des Spiels wird gespielt. Aber eine Wette auf den Durchgang einer solchen Mannschaft ist verloren.

Teams können zwei Spiele unentschieden spielen. Wenn beide Spiele in der regulären Spielzeit mit demselben Unentschieden enden (0:0, 0:0 oder 2:2, 2:2), wird eine Verlängerung und anschließend eine Strafe gewährt. Daher sind alle Wetten auf Mannschaftssiege in solchen Spielen ungültig. Dennoch zieht einiges Team weiter.

Es können verschiedene Unentschieden erfasst werden, beispielsweise 0:0 und 1:1. Dann geht das Team, das auswärts punktete, so vor. Und wiederum gilt: Die Wette auf das Weiterkommen der entsprechenden Mannschaft spielt, und die Wetten auf Siege gehen aufgrund von Unentschieden in der regulären Spielzeit verloren.

Ein markantes Beispiel für die Ergebnisse einer Zwei-Spiele-Konfrontation ist das Viertelfinalspiel der aktuellen Champions League. Real Madrid verlor auswärts gegen Wolfsburg mit 0:2. Und vor dem Rückspiel für den Pass von Real waren die Quoten nicht mehr so lächerlich wie ursprünglich. Dennoch ist eine Niederlage mit 2 Toren und das Fehlen von Auswärtstoren schwerwiegend.

Daher muss in den entsprechenden Spielen zwischen dem Ergebnis des Spiels selbst und dem Ergebnis der Konfrontation in den Playoffs unterschieden werden. Wir dürfen nicht vergessen, dass eine Mannschaft unentschieden spielen oder sogar verlieren und trotzdem passen kann.

Noch ein Beispiel. Sevilla – Atleti Bilbao. Begegnungen in den Playoffs der Europa League 2015-2016. Sevilla gewinnt das Auswärtsspiel mit 1:2. Was möchten Sie also auf das Rückspiel im Heimspiel wetten? Infolgedessen verlor Sevilla zu Hause mit dem gleichen Ergebnis mit 1:2 und beendete damit seine lange ungeschlagene Heimserie. Doch gleichzeitig kam sie weiter voran und schlug ihre Gegnerin im Elfmeterschießen.

Schlussfolgerungen. Nach einem siegreichen Ergebnis im ersten Spiel ist es äußerst gefährlich, auf den Sieg der Mannschaft im zweiten Spiel zu wetten. In solchen Serien spielen Teams häufig ergebnisorientiert. Sie können offen auf ein Unentschieden spielen, am Ende aber auch verlieren. Daher sollten Sie manchmal lieber auf den Pass als auf den Hauptausgang des Spiels wetten. Oder die Wette auf den Hauptausgang sollte mit der tatsächlichen Motivation einer bestimmten Mannschaft für ein bestimmtes Spiel korreliert werden.

Wenn Sie von der Stärke der Mannschaft überzeugt sind und ihren endgültigen Erfolg vorhersagen, ist es besser, auf den Pass zu wetten. In einem erbitterten Kampf können Mannschaften in der regulären Spielzeit unentschieden spielen, und der Sieg wird am Ende an dieselbe Mannschaft gehen, die die stärkste und erfahrenste ist.

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Prototyp der Aufgabe B10 (Nr. 320188) Um in die nächste Wettbewerbsrunde einzuziehen, muss eine Fußballmannschaft in zwei Spielen mindestens 4 Punkte erzielen. Wenn eine Mannschaft gewinnt, erhält sie 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt, bei einer Niederlage 0 Punkte. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team in die nächste Runde des Wettbewerbs aufsteigt. Bedenken Sie, dass in jedem Spiel die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten gleich sind und 0,4 betragen.

Aufgabe B10 (Nr. 321491) In der Klasse sind 33 Schüler, darunter zwei Freunde – Mikhail und Vadim. Die Klasse wird nach dem Zufallsprinzip in 3 gleich große Gruppen eingeteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Mikhail und Vadim zur selben Gruppe gehören.

Lösung. Je nach Problemstellung interessiert uns die Aufteilung zweier Männer in drei Gruppen (der Einfachheit halber werden wir diese Gruppen nummerieren: Gruppe 1, Gruppe 2 und Gruppe 3). Daher sind die möglichen Ergebnisse des betrachteten Experiments:

U 1 = (Mikhail in der ersten Gruppe, Vadim in der zweiten Gruppe) = (M1, B2),

U 2 = (Mikhail in der ersten Gruppe, Vadim in der dritten Gruppe) = (M1, B3),

U 3 = (Mikhail in der ersten Gruppe, Vadim in der ersten Gruppe) = (M1, B1),

U 4 = (Mikhail in der zweiten Gruppe, Vadim in der ersten Gruppe) = (M2, B1),

U 5 = (Mikhail in der zweiten Gruppe, Vadim in der zweiten Gruppe) = (M2, B2),

U 6 = (Mikhail in der zweiten Gruppe, Vadim in der dritten Gruppe) = (M2, B3),

U 7 = (Mikhail in der dritten Gruppe, Vadim in der ersten Gruppe) = (M3, B1),

U 8 = (Mikhail in der dritten Gruppe, Vadim in der zweiten Gruppe) = (M3, B2),

U 9 \u003d (Mikhail in der dritten Gruppe, Vadim in der dritten Gruppe) = (M3, B3),

Somit besteht die Menge U aller Ergebnisse des betrachteten Experiments aus neun Elementen U= (U 1 , U 2, U 3 ,… U 7, U 9) und Ereignis A – „Mikhail und Vadim waren in derselben Gruppe“ – wird nur durch drei Ergebnisse begünstigt – U 3, U 5 und U 9. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ergebnisse ermitteln. Da eine Klasse mit 33 Personen je nach Problemstellung zufällig in drei gleich große Gruppen eingeteilt wird, besteht jede dieser Gruppen aus 11 Schülern dieser Klasse. Um das Problem einfacher zu lösen, stellen wir uns vor, dass 33 Stühle in einer Reihe angeordnet sind und auf den Sitzen Nummern stehen: Die Nummer 1 steht auf den ersten 11 Stühlen, die Nummer 2 steht auf den nächsten 11 Stühlen und Auf den letzten elf Stühlen steht die Nummer 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Mikhail einen Stuhl mit der Nummer 1 bekommt, ist gleich (11 Stühle mit der Nummer 1 aus der Gesamtzahl der Stühle). Nachdem Mikhail auf dem Stuhl mit der Nummer 1 sitzt, sind nur noch 32 Stühle übrig, darunter nur noch 10 Stühle mit der Nummer 1, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass Vadim einen Stuhl mit der gleichen Nummer 1 bekommt, gleich . Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses U 3 = (Mikhail in der ersten Gruppe, Vadim in der ersten Gruppe) = (M1, B1) gleich dem Produkt und ist gleich . Wenn wir auf ähnliche Weise argumentieren, ermitteln wir die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse U 5 und U 9 . Es gilt P(U 5)=P(U 9)=P(U 3)=.

Somit ist P(A)=P(U 3)+P(U 5)+P(U 9)=.

Antwort. 0,3125.

Kommentar. Viele Studenten ermitteln, nachdem sie eine Menge U möglicher Ergebnisse des betrachteten Experiments zusammengestellt haben, die gewünschte Wahrscheinlichkeit als Quotient aus der Division der Anzahl der Ergebnisse U 3 , U 5 und U 9 , die Ereignis A begünstigen, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse U 1 , U 2, U 3 ,… U 7, U 9, also P(A)=. Der Trugschluss einer solchen Entscheidung liegt darin, dass die Ergebnisse des betreffenden Experiments nicht gleich wahrscheinlich sind. Tatsächlich gilt P(U 1)= und P(U 3)=.

Lösung. Je nach Problem spielt die Mannschaft zwei Spiele, und das Ergebnis jedes dieser Spiele kann entweder ein Sieg, eine Niederlage oder ein Unentschieden sein. Das bedeutet, dass die möglichen Ergebnisse dieses Experiments sind: U 1 = (B; B), hier und weiter B – die Mannschaft hat das Spiel gewonnen, P – die Mannschaft hat das Spiel verloren, H – die Mannschaft hat unentschieden gespielt, U 2 = (B; H), U 3 = (B; P), U 4 = (P; B), U 5 = (P; N), U 6 = (P; P), U 7 = (N; N) , U 8 = (N; P), U 8 = (N; V). Somit besteht die Menge aller möglichen Ergebnisse des betrachteten Experiments aus 9 Elementen, und das Ereignis C – „die Fußballmannschaft gelangt in die nächste Wettbewerbsrunde“ wird durch die Ergebnisse U 1 = (B; B), U begünstigt 2 = (B; H) und U 8 = (N; C), da das Eintreten jedes dieser Ergebnisse die erforderliche Punktzahl für den Aufstieg in die nächste Wettbewerbsrunde garantiert. Finden wir die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse U 1 = (B; B), U 2 = (B; H) und U 8 = (H; B). Gemäß den Bedingungen des Problems betragen die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten 0,4. Da das Ergebnis eines Spiels entweder ein Sieg, eine Niederlage oder ein Unentschieden sein kann, entspricht die Wahrscheinlichkeit eines Unentschiedens der Differenz 1 -(U 2 +U 8) und ist gleich 0,2. Dies bedeutet nach dem Satz über die Wahrscheinlichkeit des Produkts unabhängiger Ereignisse P(U 1)=0,40,4=0,16 und P(U 2)=P(U 8)=0,40,2=0,08. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist also gleich: P(C)= P(U 1)+ P(U 2)+P(U 8)=0,16+0,08+0,08=0,32.

Um in die nächste Wettbewerbsrunde zu gelangen, muss eine Fußballmannschaft punkten
obwohl 9 Punkte in zwei Spielen. Wenn ein Team gewinnt, erhält es 5 Gläser,
im Falle eines Unentschiedens - 4 Punkte, wenn er verliert - 0 Punkte. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit
dass das Team in die nächste Wettbewerbsrunde aufsteigen kann. In Betracht ziehen
dass in jedem Spiel die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen und zu verlieren, gleich ist 0,4 .

Natürlich kann man gegen eine Mannschaft nicht verlieren. Beide Auslosungen werden ihr auch nicht gefallen. Was ist übrig?
1) Beide Male gewinnen. 2) Gewinnen Sie nur einmal und reduzieren Sie das zweite Spiel auf ein Unentschieden.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 0,4 . Die Wahrscheinlichkeit, beide Male zu gewinnen, ist gleich 0,4 · 0,4 = 0,16.

Die Wahrscheinlichkeit eines Unentschiedens beträgt 1 - 0,4 - 0,4 = 0,2 . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines einmaligen Auftretens?
Einmal unentschieden spielen und gewinnen? 0,4 · 0,2? Nein, es ist gleich 0,4 0,2 + 0,2 0,4.
Der Punkt ist, dass man das erste Spiel gewinnen kann, und man kann das zweite gewinnen, das ist wichtig.
Jetzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, die nächste Runde zu erreichen: 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0,32 .

Antwort: 0,32

Lassen Sie uns die Lösung anhand einer Tabelle grafisch veranschaulichen 10 x 10 aus 100 Zellen:

Die rote Farbe zeigt einen Sieg an, die Sumpffarbe zeigt eine Niederlage an und die blaue Farbe zeigt ein Unentschieden an.

Graue Zelle: Das erste Spiel ist eine Niederlage, das zweite Spiel ist eine Niederlage.
Rote Zelle: Das erste Spiel ist eine Niederlage, das zweite Spiel ist ein Sieg.
Grüne Zelle: Das erste Spiel ist ein Sieg, das zweite Spiel ist ein Unentschieden.
Blaues Quadrat: Das erste Spiel ist unentschieden, das zweite Spiel ist unentschieden.

In diesem Diagramm werden wir beide Siege gelb einfärben,
blau - ein Sieg und ein Unentschieden.