¿Qué son infinitas funciones pequeñas?

Sin embargo, una función sólo puede ser infinitesimal en un punto específico. Como se muestra en la Figura 1, la función es infinitesimal sólo en el punto 0.

Figura 1. Función infinitesimal

Si el límite del cociente de dos funciones resulta en 1, se dice que las funciones son infinitesimales equivalentes cuando x tiende al punto a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definición

Si las funciones f(x), g(x) son infinitesimales para $x > a$, entonces:

• Una función f(x) se llama infinitesimal de orden superior con respecto a g(x) si se cumple la siguiente condición:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Una función f(x) se llama infinitesimal de orden n con respecto a g(x) si es distinta de 0 y el límite es finito:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Ejemplo 1

La función $y=x^3$ es infinitesimal de orden superior para x>0, en comparación con la función y=5x, ya que el límite de su relación es 0, esto se explica porque la función $y=x ^3$ tiende a cero más rápido:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) )x=0\]

Ejemplo 2

Las funciones y=x2-4 e y=x2-5x+6 son infinitesimales del mismo orden para x>2, ya que el límite de su relación no es igual a 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ a 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Propiedades de infinitesimales equivalentes

1. La diferencia entre dos infinitesimales equivalentes es un infinitesimal de orden superior respecto de cada uno de ellos.
2. Si de la suma de varios infinitesimales de diferente orden descartamos los infinitesimales de orden superior, entonces la parte restante, llamada parte principal, equivale a la suma total.

De la primera propiedad se deduce que los infinitesimales equivalentes pueden volverse aproximadamente iguales con un error relativo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, el signo ≈ se usa tanto para indicar la equivalencia de infinitesimales como para escribir la igualdad aproximada de sus valores suficientemente pequeños.

Al encontrar límites, muy a menudo es necesario utilizar la sustitución de funciones equivalentes para acelerar y facilitar los cálculos. La tabla de infinitesimales equivalentes se presenta a continuación (Tabla 1).

La equivalencia de los infinitesimales dados en la tabla se puede probar basándose en la igualdad:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

tabla 1

Ejemplo 3

Demostremos la equivalencia de los infinitesimales ln(1+x) y x.

Prueba:

1. Encontremos el límite de la relación de cantidades.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Para ello aplicamos la propiedad del logaritmo:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Sabiendo que la función logarítmica es continua en su dominio de definición, podemos intercambiar el signo del límite y la función logarítmica:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ bien)\]
4. Como x es una cantidad infinitesimal, el límite tiende a 0. Esto significa:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ derecha)=\ln e=1\]

(aplicó el segundo límite maravilloso)

Funciones infinitesimales.

Continuamos la serie educativa “Límites para tontos”, que abrió con artículos. Límites. Ejemplos de soluciones Y Límites maravillosos. Si es la primera vez que visitas el sitio, te recomiendo que leas también la lección. Métodos para resolver límites., lo que mejorará significativamente tu karma estudiantil. En el tercer manual vimos funciones infinitamente grandes, su comparación, y ahora toca armarse con una lupa para que después de la Tierra de los Gigantes mires hacia la Tierra de los Liliputienses. Pasé las vacaciones de Año Nuevo en la capital cultural y regresé de muy buen humor, por lo que la lectura promete ser especialmente interesante.

Este artículo discutirá en detalle. funciones infinitesimales, con los que ya te habrás encontrado muchas veces, y su comparación. Muchos eventos están estrechamente relacionados con eventos invisibles cercanos a cero. límites maravillosos, maravillosas equivalencias, y la parte práctica de la lección se dedica principalmente a calcular límites utilizando equivalencias notables.

Funciones infinitesimales. Comparación de infinitesimales

¿Qué puedo decir? Si hay un límite, entonces se llama a la función. infinitesimal en un punto.

El punto esencial de la declaración es el hecho de que la función puede ser infinitesimal solo en un punto especifico .

Dibujemos una línea familiar:

Esta función infinitamente pequeño en un solo punto:
Cabe señalar que en los puntos “más infinito” y “menos infinito” esta misma función será más estrecha infinitamente grande: . O en una notación más compacta:

En todos los demás puntos, el límite de la función será igual a un número finito distinto de cero.

De este modo, no existe tal cosa como "sólo una función infinitesimal" o "sólo una función infinitamente grande". Una función puede ser infinitesimal o infinitamente grande. solo en un punto especifico .

! Nota : Para abreviar, a menudo diré "función infinitesimal", lo que significa que es infinitesimal en el punto en cuestión.

Puede haber varios e incluso infinitos puntos de este tipo. Dibujemos una especie de parábola que no sea aterradora:

La función cuadrática presentada es infinitesimal en dos puntos: en "uno" y en "dos":

Como en el ejemplo anterior, en el infinito esta función es infinitamente grande:

El significado de los signos dobles. :

La notación significa que cuándo y cuándo.

La notación significa que tanto en como en .
El principio comentado de "descifrar" signos dobles es válido no sólo para infinitos, sino también para cualquier punto final, función y una serie de otros objetos matemáticos.

Y ahora el seno. Este es un ejemplo donde la función infinitamente pequeño en un número infinito de puntos:

De hecho, la sinusoide "cose" el eje x a través de cada "pi":

Tenga en cuenta que la función tiene un límite superior/inferior y no hay ningún punto en el que sería infinitamente grande, el seno sólo puede lamerse los labios para siempre.

Responderé un par de preguntas más simples:

¿Puede una función ser infinitesimal en el infinito?

Ciertamente. Hay un carro lleno de especímenes de este tipo y un carro pequeño.
Un ejemplo elemental: . El significado geométrico de este límite, por cierto, se ilustra en el artículo. Gráficas y propiedades de funciones..

¿Puede una función NO SER infinitesimal?
(en cualquier punto dominio de definición)

Sí. Un ejemplo obvio es una función cuadrática cuya gráfica (parábola) no corta al eje. La afirmación opuesta, por cierto, es generalmente incorrecta: la hipérbola de la pregunta anterior, aunque no corta el eje x, pero infinitamente pequeño en el infinito.

Comparación de funciones infinitesimales

Construyamos una secuencia que tiende a cero y calculemos varios valores del trinomio:

Obviamente, a medida que los valores de "x" disminuyen, la función llega a cero más rápido que todas las demás (sus valores están encerrados en un círculo rojo). Dicen función que función , y orden superior de pequeñez, cómo . Pero correr rápido en el país de los liliputienses no es valor; “la pauta la marca” el enano más lento, que, como corresponde a un jefe, llega a cero el más lento de todos. depende de el Qué rápido la cantidad se acercará a cero:

En sentido figurado, la función infinitesimal “absorbe” todo lo demás, lo que se ve especialmente claramente en el resultado final de la tercera línea. A veces dicen que orden inferior de pequeñez, cómo y su importe.

En el límite considerado, todo esto, por supuesto, no importa mucho, porque el resultado sigue siendo cero. Sin embargo, los "enanos de peso pesado" comienzan a desempeñar un papel fundamental en los límites con fracciones. Comencemos con ejemplos que, aunque raramente, se encuentran en el trabajo práctico real:

Ejemplo 1

Calcular límite

Aquí hay incertidumbre, y de la lección introductoria sobre dentro de los límites de las funciones Recordemos el principio general para revelar esta incertidumbre: es necesario factorizar el numerador y el denominador y luego restar algo:

En el primer paso, quitamos , en el numerador y "x" en el denominador. En el segundo paso, reducimos el numerador y el denominador en “X”, eliminando así la incertidumbre. Indicamos que las “X” restantes tienden a cero y obtenemos la respuesta.

En el límite, el resultado es un volante, por lo tanto, la función del numerador orden superior de pequeñez que la función denominador. O en resumen: . ¿Qué significa? El numerador tiende a cero. más rápido, que el denominador, por lo que acabó siendo cero.

Como es el caso de funciones infinitamente grandes, la respuesta se puede encontrar de antemano. La técnica es similar, pero se diferencia en que en el numerador y denominador es necesario descartar MENTALMENTE todos los términos con MAYOR grados, ya que, como se señaló anteriormente, las enanas lentas tienen una importancia decisiva:

Ejemplo 2

Calcular límite

Cero a cero... Averigüemos la respuesta de inmediato: MENTALMENTE descartemos todo. mayor términos (enanas rápidas) del numerador y denominador:

El algoritmo de solución es exactamente el mismo que en el ejemplo anterior:

En este ejemplo denominador de mayor orden de pequeñez que el numerador. A medida que los valores de "x" disminuyen, el enano más lento del numerador (y de todo el límite) se convierte en un auténtico monstruo en relación a su oponente más rápido. Por ejemplo, si , entonces - ya 40 veces más... Todavía no es un monstruo, por supuesto, dado el significado de "X", pero ya es un sujeto con una gran barriga cervecera.

Y un límite de demostración muy simple:

Ejemplo 3

Calcular límite

Averigüemos la respuesta tirando todo MENTALMENTE a la basura mayor términos del numerador y denominador:

Nosotros decidimos:

El resultado es un número finito. La protuberancia del numerador es exactamente el doble de gruesa que la protuberancia del denominador. Esta es una situación en la que el numerador y el denominador un orden de pequeñez.

De hecho, la comparación de funciones infinitesimales apareció hace mucho tiempo en lecciones anteriores:
(Ejemplo No. 4 de la lección Límites. Ejemplos de soluciones);
(Ejemplo No. 17 de la lección Métodos para resolver límites.) etc.

Les recuerdo al mismo tiempo que “x” puede tender no sólo a cero, sino también a un número arbitrario, así como al infinito.

¿Qué es fundamentalmente importante en todos los ejemplos considerados?

En primer lugar, el límite debe existir en un punto dado. Por ejemplo, no hay límite. Si , entonces la función del numerador no está definida en el punto "más infinito" (debajo de la raíz resulta infinitamente grande un número negativo). En la práctica se encuentran ejemplos similares, aparentemente fantásticos: inesperadamente, también hay una comparación de funciones infinitesimales y una incertidumbre "cero a cero". De hecho, si, entonces. …¿Solución? Nos deshacemos de la fracción de cuatro pisos, obtenemos la incertidumbre y la revelamos utilizando el método estándar.

Quizás quienes empiezan a estudiar los límites se sientan perforados por la pregunta: “¿Cómo es posible esto? ¡Hay una incertidumbre de 0:0, pero no se puede dividir por cero! Totalmente cierto, es imposible. Consideremos el mismo límite. La función no está definida en el punto cero. Pero esto, en términos generales, no es necesario. importante para que la función exista EN CUALQUIER LUGAR infinitamente cerca de cero punto (o más estrictamente - en cualquier vecindad infinitesimal cero).

LA CARACTERÍSTICA MÁS IMPORTANTE DEL LÍMITE COMO CONCEPTO

es esa "x" infinitamente cerca se acerca a cierto punto, ¡pero no está “obligado” a “ir allí”! Es decir, para la existencia de un límite de una función en un punto no importa, ya sea que la función en sí esté definida allí o no. Puedes leer más sobre esto en el artículo. Límites de Cauchy, pero por ahora volvamos al tema de la lección de hoy:

En segundo lugar, las funciones numerador y denominador deben ser infinitesimales en un punto dado. Entonces, por ejemplo, el límite proviene de un comando completamente diferente, aquí la función del numerador no tiende a cero: .

Sistematicemos información sobre la comparación de funciones infinitesimales:

Dejar - funciones infinitesimales en un punto(es decir, en ) y hay un límite para su relación. Entonces:

1) Si , entonces la función orden superior de pequeñez, cómo .
El ejemplo más simple: , es decir, una función cúbica de mayor orden de pequeñez que una cuadrática.

2) Si , entonces la función orden superior de pequeñez, cómo .
El ejemplo más simple: , es decir, una función cuadrática de mayor orden de pequeñez que una lineal.

3) Si , donde es una constante distinta de cero, entonces las funciones tienen mismo orden de pequeñez.
El ejemplo más sencillo: , en otras palabras, el enano corre hacia cero exactamente el doble de lento que , y la “distancia” entre ellos permanece constante.

El caso especial más interesante es cuando . Tales funciones se llaman infinitesimal equivalente funciones.

Antes de dar un ejemplo básico, hablemos del término en sí. Equivalencia. Esta palabra ya se ha encontrado en clase. Métodos para resolver límites., en otros artículos y aparecerá más de una vez. ¿Qué es la equivalencia? Existe una definición matemática de equivalencia, lógica, física, etc., pero intentemos entender la esencia misma.

La equivalencia es equivalencia (o equivalencia) en algún aspecto.. Es hora de estirar los músculos y tomar un pequeño descanso de las matemáticas superiores. Ahora afuera hay una buena helada de enero, por lo que es muy importante aislar bien. Vaya al pasillo y abra el armario con la ropa. Imagínese que allí cuelgan dos abrigos de piel de oveja idénticos, que sólo se diferencian en el color. Uno es naranja, el otro es morado. Desde el punto de vista de sus cualidades cálidas, estos abrigos de piel de oveja son equivalentes. Tanto en el primer como en el segundo abrigo de piel de oveja estarás igualmente abrigado, es decir, la elección es equivalente, si usar naranja o violeta, sin ganar: "uno a uno es igual a uno". Pero desde el punto de vista de la seguridad en la carretera, los abrigos de piel de oveja ya no son equivalentes: el color naranja es más visible para los conductores de vehículos ... y la patrulla no se detendrá, porque todo está claro con el dueño de esa ropa. En este sentido, podemos considerar que los abrigos de piel de oveja son “del mismo orden de magnitud”, relativamente hablando, un “abrigo de piel de oveja naranja” es dos veces más “seguro” que un “abrigo de piel de oveja violeta” (“que es peor, pero también perceptible en la oscuridad”). Y si sales al frío solo con una chaqueta y calcetines, entonces la diferencia será colosal, por lo que la chaqueta y el abrigo de piel de oveja son "de diferentes órdenes de magnitud".

...estás en problemas, necesitas publicarlo en Wikipedia con un enlace a esta lección =) =) =)

El ejemplo obvio de funciones equivalentes infinitesimales le resulta familiar: estas son las funciones primer límite notable .

Demos una interpretación geométrica del primer límite destacable. Hagamos el dibujo:

Bueno, la fuerte amistad masculina de los gráficos es visible incluso a simple vista. A Ni siquiera mi propia madre podía distinguirlos. Por tanto, si , entonces las funciones son infinitesimales y equivalentes. ¿Qué pasa si la diferencia es insignificante? Entonces en el límite del seno está arriba puedes reemplazar"X": , o "x" a continuación con un seno: . De hecho, resultó ser una prueba geométrica del primer límite destacable =)

Del mismo modo, dicho sea de paso, se puede ilustrar cualquier límite maravilloso, que es igual a uno.

! ¡Atención! ¡La equivalencia de objetos no implica coincidencia de objetos! Los abrigos de piel de oveja naranja y morado son igualmente cálidos, pero son abrigos de piel de oveja diferentes. Las funciones son prácticamente indistinguibles cerca de cero, pero son dos funciones diferentes.

Designación: La equivalencia se indica con una tilde.
Por ejemplo: – “el seno de x es equivalente a x” si .

De lo anterior se desprende una conclusión muy importante: Si dos funciones infinitesimales son equivalentes, entonces una puede ser reemplazada por la otra.. Esta técnica es muy utilizada en la práctica, y ahora veremos cómo:

Equivalencias notables dentro

Para resolver ejemplos prácticos necesitarás tabla de equivalencias destacables. Un estudiante no puede vivir según un solo polinomio, por lo que el campo de actividad futura será muy amplio. Primero, usando la teoría de funciones equivalentes infinitesimales, veamos los ejemplos de la primera parte de la lección. Límites notables. Ejemplos de soluciones, en el que se encontraron los siguientes límites:

1) Resolvamos el límite. Reemplacemos la función numeradora infinitesimal con la función infinitesimal equivalente:

¿Por qué es posible tal reemplazo? Porque infinitamente cerca de cero la gráfica de la función prácticamente coincide con la gráfica de la función.

En este ejemplo utilizamos tablas de equivalencia donde . Es conveniente que el parámetro "alfa" pueda ser no solo "x", sino también una función compleja, que tiende a cero.

2) Encontremos el límite. En el denominador utilizamos la misma equivalencia, en este caso:

Tenga en cuenta que el seno se ubicó inicialmente debajo del cuadrado, por lo que en el primer paso también es necesario colocarlo completamente debajo del cuadrado.

No nos olvidemos de la teoría: en los dos primeros ejemplos se obtuvieron números finitos, lo que significa numeradores y denominadores del mismo orden de pequeñez.

3) Encontremos el límite. Reemplacemos la función numeradora infinitesimal con la función equivalente , Dónde :

Aquí numerador de mayor orden de pequeñez que el denominador. Liliput (y su equivalente liliputiense) llega a cero más rápido que .

4) Encontremos el límite. Reemplacemos la función del numerador infinitesimal con una función equivalente, donde:

Y aquí, por el contrario, el denominador. orden superior de pequeñez, que el numerador, la enana escapa a cero más rápido que la enana (y su equivalente enana).

¿Deberían utilizarse en la práctica equivalencias notables? Debería, pero no siempre. Por tanto, no es aconsejable resolver límites no muy complejos (como los que acabamos de considerar) mediante equivalencias destacables. Es posible que lo acusen de piratería y lo obliguen a resolverlos de manera estándar usando fórmulas trigonométricas y el primer límite maravilloso. Sin embargo, utilizando la herramienta en cuestión, resulta muy beneficioso comprobar la solución o incluso encontrar inmediatamente la respuesta correcta. El ejemplo número 14 de la lección es típico. Métodos para resolver límites.:

En la versión final, es recomendable elaborar una solución completa bastante grande con un cambio de variable. Pero la respuesta está en la superficie: usamos mentalmente la equivalencia: .

Y una vez más el significado geométrico: ¿por qué está permitido sustituir la función en el numerador por la función ? Infinitamente cerca de cero sus gráficos sólo pueden distinguirse bajo un potente microscopio.

Además de comprobar la solución, se utilizan equivalencias destacables en dos casos más:

– cuando el ejemplo sea bastante complejo o, en general, no pueda resolverse de la forma habitual;
– cuando es necesario aplicar equivalencias notables por condición.

Consideremos tareas más significativas:

Ejemplo 4

Encuentra el límite

La agenda es una incertidumbre de cero a cero y la situación es límite: la solución se puede llevar a cabo de forma estándar, pero habrá muchas transformaciones. Desde mi punto de vista, es bastante apropiado utilizar aquí las maravillosas equivalencias:

Reemplacemos funciones infinitesimales con funciones equivalentes. En :

¡Eso es todo!

El único matiz técnico: inicialmente la tangente estaba elevada al cuadrado, por lo que después de la sustitución el argumento también debe elevarse al cuadrado.

Ejemplo 5

Encuentra el límite

Este límite se puede resolver mediante fórmulas trigonométricas y límites maravillosos, pero la solución tampoco será muy agradable. Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta, ten especial cuidado al convertir el numerador. Si hay alguna confusión sobre los títulos, represéntela como un producto:

Ejemplo 6

Encuentra el límite

Pero este es un caso difícil en el que es muy difícil llevar a cabo una solución de forma estándar. Usemos algunas equivalencias maravillosas:

Reemplacemos los infinitesimales por otros equivalentes. En :

El resultado es infinito, lo que significa que el denominador es de un orden de pequeñez mayor que el numerador.

La práctica transcurrió rápidamente sin ropa exterior =)

Ejemplo 7

Encuentra el límite

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Piensa en cómo lidiar con el logaritmo ;-)

No es raro que se utilicen equivalencias notables en combinación con otros métodos para resolver límites:

Ejemplo 8

Encuentra el límite de una función usando infinitesimales equivalentes y otras transformaciones.

Tenga en cuenta que aquí se requieren algunas equivalencias notables.

Nosotros decidimos:

En el primer paso utilizamos equivalencias notables. En :

Todo está claro con el seno: . ¿Qué hacer con el logaritmo? Representemos el logaritmo en la forma y apliquemos la equivalencia. Como comprenderás, en este caso y

En el segundo paso, aplicaremos la técnica discutida en la lección.

Como se ha demostrado, la suma, diferencia y producto de funciones infinitesimales son infinitesimales, pero no se puede decir lo mismo de las particulares: dividir un infinitesimal por otro puede dar resultados diferentes.

Por ejemplo, si a(x) = 2x, p(x) = 3x, entonces

Si a(x) = x 2, P (l;) = x 3, entonces

Es aconsejable introducir reglas para comparar funciones infinitesimales utilizando la terminología adecuada.

dejar en X -» A las funciones a(x) y p(.v) son infinitesimales. Luego se distinguen las siguientes opciones para su comparación, dependiendo del valor. Con límite en un punto A su relación:

• 1. Si Con= I, entonces a(x) y P(x) son infinitesimales equivalentes: a(x) - p(x).
• 2. Si Con= 0, entonces a(x) es un infinitesimal de orden superior a p(x) (o tiene un orden de pequeñez superior).
• 3. Si Con = d* 0 (d- número), entonces Oh) y P(x) son infinitesimales del mismo orden.

A menudo no basta con saber que un infinitesimal en relación con otro es un infinitesimal de un orden superior de pequeñez; también es necesario estimar la magnitud de este orden. Por lo tanto se utiliza la siguiente regla.

4. Si mm - - =d*0, entonces a(x) es un infinitesimal de orden l-ésimo con respecto a - *->lp"(*)

literalmente P(x). En este caso, utilice el símbolo o "o" pequeño"): a(x) = o(P(x)).

Tenga en cuenta que son válidas reglas similares para comparar funciones infinitesimales para x -»oo. X-" -oo, X-> +«>, así como en el caso de límites unilaterales en x -» A izquierda y derecha.

Una propiedad importante se desprende de las reglas de comparación:

entonces hay un límite lim 1, y ambos límites son iguales.

En muchos casos, la declaración comprobada simplifica el cálculo de los límites y la realización de estimaciones.

Veamos algunos ejemplos.

1. Funciones del pecado X Y X en X-» 0 son equivalentes a infinitesimales debido al límite (8.11), es decir en X -> 0 pecado X ~ X.

De hecho, tenemos:

• 2. Funciones del pecado kh y el pecado X están en q: -> 0 infinitesimales del mismo orden, ya que
• 3. Función a(x) = cos ah- porque bx (a*b) Me senté X-» 0 infinitesimal de segundo orden de pequeñez con respecto a infinitesimal.v, ya que

Ejemplo 7. Encuentra lim

*-+° x+x"

Solución. desde el pecado kh ~ kh Y X + x2 ~ X:

Comparación de funciones infinitamente grandes

Para funciones infinitamente grandes, también se aplican reglas de comparación similares, con la única diferencia de que para ellas, en lugar del término "orden de pequeñez", se utiliza el término "orden de crecimiento".

Expliquemos lo dicho con ejemplos.

1. Funciones f(x) = (2 + x)/x y g(x) = 2/x en X-» 0 son equivalentes a infinitamente grandes, ya que

Datos de función /(X) y #(*) tienen el mismo orden de crecimiento.

2. Comparemos los órdenes de crecimiento de funciones. f(x) = ¿2 veces?+yo y gramo(x)= x 3 + X en X-> por qué encontrar el límite de su relación:

De ello se deduce que la función gramo(x) tiene un orden de crecimiento mayor que la función /(x).

3. Funciones infinitamente grandes para x -» °o /(x) = 3x 3 + X y #(x) = x 3 - 4x 2 tienen el mismo orden de crecimiento, ya que

4. La función /(x) = x 3 + 2x + 3 es infinitamente grande para x -»

tercer orden con respecto a una función infinitamente grande gramo(x) = x - I, ya que

Prueba

Disciplina: Matemáticas superiores

Tema: Límites. Comparación de cantidades infinitesimales

1. Límite de secuencia numérica

2. Límite de función

3. El segundo límite maravilloso

4. Comparación de cantidades infinitesimales

Literatura

1. Límite de secuencia numérica

La solución de muchos problemas matemáticos y aplicados conduce a una secuencia de números especificada de cierta manera. Conozcamos algunas de sus propiedades.

Definición 1.1. Si para cada numero natural

Según la Definición 1, está claro que una secuencia numérica siempre contiene un número infinito de elementos. El estudio de varias secuencias numéricas muestra que a medida que aumenta el número, sus miembros se comportan de manera diferente. Pueden aumentar o disminuir indefinidamente, pueden acercarse constantemente a un cierto número o pueden no mostrar ningún patrón en absoluto.

Definición 1.2. Número

Una secuencia que tiene un límite se llama convergente. En este caso escriben

Obviamente, para aclarar la cuestión de la convergencia de una secuencia numérica, es necesario tener un criterio que se base únicamente en las propiedades de sus elementos.

Teorema 1.1.(Teorema de Cauchy sobre la convergencia de una secuencia numérica). Para que una secuencia numérica sea convergente, es necesario y suficiente que para cualquier número

Prueba. Necesidad. Dado que la secuencia numérica

Resulta que

Adecuación. se da que

Tomemos un arbitrario

Resulta que