Što su beskonačno male funkcije

Međutim, funkcija može biti infinitezimalna samo u određenoj točki. Kao što je prikazano na slici 1, funkcija je infinitezimalna samo u točki 0.

Slika 1. Infinitezimalna funkcija

Ako granica kvocijenta dviju funkcija rezultira 1, kaže se da su funkcije ekvivalentne infinitezimalne jer x teži točki a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definicija

Ako su funkcije f(x), g(x) infinitezimalne za $x > a$, tada:

• Funkcija f(x) se naziva infinitezimalnom višeg reda u odnosu na g(x) ako je zadovoljen sljedeći uvjet:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Funkcija f(x) se naziva infinitezimalnom reda n u odnosu na g(x) ako je različita od 0 i ako je granica konačna:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Primjer 1

Funkcija $y=x^3$ je infinitezimalna višeg reda za x>0, u usporedbi s funkcijom y=5x, jer je granica njihovog omjera 0, što se objašnjava činjenicom da je funkcija $y=x ^3$ brže teži nultoj vrijednosti:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x=0\]

Primjer 2

Funkcije y=x2-4 i y=x2-5x+6 su infinitezimale istog reda za x>2, jer granica njihovog omjera nije jednaka 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ do 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Svojstva ekvivalentnih infinitezimala

1. Razlika između dvije ekvivalentne infinitezimale je infinitezimal višeg reda u odnosu na svaku od njih.
2. Ako iz zbroja nekoliko infinitezimala različitih redova odbacimo infinitezimale viših redova, tada je preostali dio, koji se naziva glavni dio, ekvivalentan cijelom zbroju.

Iz prvog svojstva slijedi da ekvivalentne infinitezimale mogu postati približno jednake uz proizvoljno malu relativnu pogrešku. Stoga se znak ≈ koristi i za označavanje ekvivalencije infinitezimala i za pisanje približne jednakosti njihovih dovoljno malih vrijednosti.

Prilikom pronalaženja granica vrlo je često potrebno koristiti zamjenu ekvivalentnih funkcija za brzinu i praktičnost izračuna. Tablica ekvivalentnih infinitezimala prikazana je u nastavku (tablica 1).

Ekvivalencija infinitezimala danih u tablici može se dokazati na temelju jednakosti:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

stol 1

Primjer 3

Dokažimo ekvivalentnost infinitezimalnog ln(1+x) i x.

Dokaz:

1. Nađimo granicu omjera količina
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Da bismo to učinili, primjenjujemo svojstvo logaritma:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Znajući da je logaritamska funkcija kontinuirana u svojoj domeni definicije, možemo zamijeniti predznak granice i logaritamske funkcije:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ pravo)\]
4. Budući da je x infinitezimalna veličina, granica teži 0. To znači:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \lijevo(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ desno)=\ln e=1\]

(primijenjena druga divna granica)

Infinitezimalne funkcije.

Nastavljamo edukativni serijal “Granice za glupane” koji smo otvorili člancima Ograničenja. Primjeri rješenja I Divna ograničenja. Ako ste prvi put na stranici, preporučujem da pročitate i lekciju Metode rješavanja granica, što će vam značajno popraviti studentsku karmu. U trećem priručniku koji smo pogledali beskonačno velike funkcije, njihovu usporedbu, a sada je vrijeme da se oboružate povećalom da nakon Zemlje divova pogledate u Zemlju Liliputanaca. Novogodišnje praznike provela sam u kulturnoj prijestolnici i vratila se vrlo dobro raspoložena, pa štivo obećava biti posebno zanimljivo.

Ovaj članak će se detaljno raspravljati infinitezimalne funkcije, s kojima ste se zapravo već mnogo puta susreli, te njihovu usporedbu. Mnogi događaji usko su povezani s nevidljivim događajima blizu nule. divne granice, divne ekvivalencije, a praktični dio lekcije uglavnom je posvećen izračunavanju limita pomoću izvanrednih ekvivalencija.

Infinitezimalne funkcije. Usporedba infinitezimala

Što reći... Ako postoji granica, onda se funkcija poziva infinitezimalna u točki.

Bitna poanta iskaza je činjenica da funkcija može biti infinitezimalna samo u određenoj točki .

Povucimo poznatu liniju:

Ova funkcija beskrajno malen u jednoj točki:
Treba napomenuti da će u točkama "plus beskonačno" i "minus beskonačno" ova ista funkcija biti uža beskrajno velik: . Ili u kompaktnijoj notaciji:

U svim drugim točkama granica funkcije bit će jednaka konačnom broju različitom od nule.

Tako, ne postoji takva stvar kao "samo infinitezimalna funkcija" ili "samo beskonačno velika funkcija". Funkcija može biti infinitezimalna ili beskonačno velika samo u određenoj točki .

! Bilješka : Radi kratkoće, često ću reći "infinitezimalna funkcija", što znači da je infinitezimalna u točki o kojoj je riječ.

Takvih točaka može biti nekoliko, pa čak i beskonačno mnogo. Nacrtajmo neku vrstu nezastrašujuće parabole:

Predstavljena kvadratna funkcija je infinitezimalna u dvije točke - u "jedan" i u "dva":

Kao u prethodnom primjeru, u beskonačnosti je ova funkcija beskonačno velika:

Značenje dvoznaka :

Oznaka znači da kada , i kada .

Oznaka znači da i na i na .
Komentirano načelo “dešifriranja” dvostrukih znakova vrijedi ne samo za beskonačnosti, već i za sve krajnje točke, funkcije i niz drugih matematičkih objekata.

A sada sinus. Ovo je primjer gdje funkcija beskrajno malen u beskonačnom broju točaka:

Doista, sinusoida "prošiva" x-os kroz svaki "pi":

Imajte na umu da je funkcija ograničena odozgo/odozdo i ne postoji točka u kojoj bi bila beskrajno velik, sine može vječno samo oblizivati.

Odgovorit ću na još par jednostavnih pitanja:

Može li funkcija biti infinitezimalna u beskonačnosti?

Sigurno. Ovakvih primjeraka ima puna kola i mala kolica.
Elementarni primjer: . Usput, geometrijsko značenje ove granice ilustrirano je u članku Grafovi i svojstva funkcija.

Može li funkcija NE BITI infinitezimalna?
(u bilo kojem trenutku domena definicije)

Da. Očit primjer je kvadratna funkcija čiji graf (parabola) ne siječe os. Suprotna tvrdnja, inače, općenito je netočna - hiperbola iz prethodnog pitanja, iako ne siječe x-os, ali beskrajno malen u beskraju.

Usporedba infinitezimalnih funkcija

Konstruirajmo niz koji teži nuli i izračunajmo nekoliko vrijednosti trinoma:

Očito, kako se vrijednosti "x" smanjuju, funkcija radi na nulu brže od svih ostalih (njene vrijednosti su zaokružene crvenom bojom). Kažu funkcija nego funkcija , i viši red malenkosti, kako . Ali brzo trčanje u Zemlji Liliputanaca nije hrabrost, "ton daje" najsporiji patuljak, koji, kako i priliči šefu, ide na nulu najsporije od svih. Ovisi o njemu koliko brzo iznos će se približiti nuli:

Slikovito rečeno, infinitezimalna funkcija “apsorbira” sve ostalo, što je posebno jasno vidljivo u konačnom rezultatu trećeg retka. Ponekad to kažu niži red malenkosti, kako i njihov iznos.

U razmatranoj granici sve to, naravno, nema velike važnosti, jer rezultat je i dalje nula. Međutim, "teški patuljci" počinju igrati fundamentalno važnu ulogu u granicama s razlomcima. Počnimo s primjerima koji se, iako rijetko, nalaze u stvarnom praktičnom radu:

Primjer 1

Izračunajte granicu

Ovdje postoji neizvjesnost, a iz uvodne lekcije o u granicama funkcija Prisjetimo se općeg principa otkrivanja ove nesigurnosti: trebate faktorizirati brojnik i nazivnik, a zatim nešto smanjiti:

U prvom koraku izbacujemo , u brojniku, i “x” u nazivniku. U drugom koraku smanjujemo brojnik i nazivnik za "X", čime eliminiramo nesigurnost. Označimo da preostali "X" teže nuli i dobijemo odgovor.

U krajnjoj liniji, rezultat je volan, dakle funkcija brojnika viši red malenkosti nego funkcija nazivnika. Ili ukratko: . Što to znači? Brojnik teži nuli brže, nego nazivnik, zbog čega je na kraju bio nula.

Kao što je slučaj sa beskonačno velike funkcije, odgovor se može saznati unaprijed. Tehnika je slična, ali se razlikuje po tome što u brojniku i nazivniku trebate MENTALNO odbaciti sve članove s STARIJI stupnjeva, budući da su, kao što je gore navedeno, spori patuljci od odlučujuće važnosti:

Primjer 2

Izračunajte granicu

Od nule do nule... Odmah saznajmo odgovor: MENTALNO odbacimo sve starijičlanovi (brzi patuljci) brojnika i nazivnika:

Algoritam rješenja potpuno je isti kao u prethodnom primjeru:

U ovom primjeru nazivnik višeg reda malenosti od brojnika. Kako se vrijednosti "x" smanjuju, najsporiji patuljak brojnika (i cijelog limita) postaje pravo čudovište u odnosu na svog bržeg protivnika. Na primjer, ako , tada - već 40 puta više... ne još čudovište, naravno, s obzirom na značenje "X", ali već takav subjekt s velikim pivskim trbuhom.

I vrlo jednostavno ograničenje demonstracije:

Primjer 3

Izračunajte granicu

Saznajmo odgovor tako što ćemo MENTALNO sve odbaciti stariji pojmovi brojnika i nazivnika:

Mi odlučujemo:

Rezultat je konačan broj. Izbočina brojnika točno je dvostruko deblja od izbočine nazivnika. Ovo je situacija u kojoj su brojnik i nazivnik jedan red malenkosti.

Zapravo, usporedba infinitezimalnih funkcija odavno se pojavljuje u prethodnim lekcijama:
(Primjer br. 4 lekcije Ograničenja. Primjeri rješenja);
(Primjer br. 17 lekcije Metode rješavanja granica) itd.

Ujedno vas podsjećam da "x" može težiti ne samo nuli, već i proizvoljnom broju, kao i beskonačnosti.

Što je temeljno važno u svim razmatranim primjerima?

Prvo, granica mora uopće postojati u datoj točki. Na primjer, nema ograničenja. Ako , tada funkcija brojnika nije definirana u točki "plus beskonačno" (pod korijenom se ispostavlja beskrajno velik negativan broj). Slični, naizgled fantastični primjeri nalaze se u praksi: neočekivano, postoji i usporedba infinitezimalnih funkcija i nesigurnosti "nula na nulu". Doista, ako , onda . …Riješenje? Oslobađamo se četverokatnice, dobivamo neizvjesnost i otkrivamo je standardnom metodom.

Možda su oni koji počinju proučavati granice izbušeni pitanjem: “Kako je to moguće? Postoji neizvjesnost 0:0, ali ne možete dijeliti s nulom!” Apsolutno točno, to je nemoguće. Razmotrimo istu granicu. Funkcija nije definirana u točki nula. Ali to, općenito govoreći, nije potrebno. važno tako da funkcija postoji BILO GDJE beskonačno blizu nule točki (ili strože - u bilo kojoj infinitezimalno susjedstvo nula).

NAJVAŽNIJA ZNAČAJKA LIMITA KAO POJMA

je li to "x" beskrajno blizu približava se određenoj točki, ali nije “dužan” “ići tamo”! To jest, za postojanje limita funkcije u točki nema veze, bez obzira je li sama funkcija tamo definirana ili ne. Više o tome možete pročitati u članku Cauchyjeve granice, ali za sada se vratimo na temu današnje lekcije:

Drugo, funkcije brojnika i nazivnika moraju biti infinitezimalne u danoj točki. Tako, na primjer, granica je iz potpuno druge naredbe, ovdje funkcija brojnika ne teži nuli: .

Usustavimo informacije o usporedbi infinitezimalnih funkcija:

Neka - infinitezimalne funkcije u točki(tj. u ) i postoji ograničenje njihovog odnosa. Zatim:

1) Ako je , tada je funkcija viši red malenkosti, kako .
Najjednostavniji primjer: , odnosno kubnu funkciju višeg reda malenosti od kvadratne.

2) Ako je , tada je funkcija viši red malenkosti, kako .
Najjednostavniji primjer: , odnosno kvadratna funkcija višeg reda malenosti od linearne.

3) Ako je , gdje je konstanta različita od nule, tada funkcije imaju isti red malenkosti.
Najjednostavniji primjer: , drugim riječima, patuljak juri prema nuli točno dvostruko sporije od , a “udaljenost” između njih ostaje konstantna.

Najzanimljiviji poseban slučaj je kada . Takve se funkcije nazivaju infinitezimalnog ekvivalent funkcije.

Prije nego što navedemo osnovni primjer, razgovarajmo o samom pojmu. Ekvivalencija. Ova se riječ već susrela u razredu. Metode rješavanja granica, u drugim člancima i pojavit će se više puta. Što je ekvivalentnost? Postoji matematička definicija ekvivalencije, logička, fizička itd., ali pokušajmo shvatiti samu bit.

Ekvivalencija je istovjetnost (ili istovrijednost) u nekom pogledu.. Vrijeme je da protegnete mišiće i malo se odmorite od više matematike. Sada je vani dobar siječanjski mraz, pa je vrlo važno dobro izolirati. Molimo idite u hodnik i otvorite ormar s odjećom. Zamislite da tamo vise dva identična bunda, koja se razlikuju samo po boji. Jedna je narančasta, druga ljubičasta. S gledišta svojih toplinskih svojstava, ovi su kaputi od ovčje kože jednaki. I u prvoj i u drugoj bundi bit će vam jednako toplo, odnosno izbor je jednak, hoćete li obući narančastu ili ljubičastu - bez dobitka: “jedan prema jedan jednako je jedan”. Ali sa stajališta sigurnosti na cesti, bunde više nisu ekvivalentne - narančasta boja je vidljivija vozačima vozila, ... a patrola neće stati, jer s vlasnikom takve odjeće sve je jasno. S tim u vezi, možemo smatrati da su bunde „istog reda veličine“, relativno govoreći, „narančasta bunda“ dvostruko je „sigurnija“ od „ljubičaste bunde“ („što je gore, ali također uočljivo u mraku”). A ako izađete na hladnoću samo u jakni i čarapama, tada će razlika biti kolosalna, pa su jakna i bunda "različitog reda veličine".

...u nevolji ste, morate to objaviti na Wikipediji s poveznicom na ovu lekciju =) =) =)

Očit primjer infinitezimalnih ekvivalentnih funkcija vam je poznat - to su funkcije prva značajna granica .

Dajmo geometrijsku interpretaciju prve značajne granice. Napravimo crtež:

Pa, snažno muško prijateljstvo s top lista vidljivo je čak i golim okom. A Čak ih ni moja vlastita majka nije mogla razlikovati. Stoga, ako , tada su funkcije infinitezimalne i ekvivalentne. Što ako je razlika zanemariva? Onda je u granici sinus iznad možete zamijeniti"X": , ili "x" ispod sa sinusom: . Zapravo, pokazalo se da je to bio geometrijski dokaz prve izvanredne granice =)

Slično, usput, može se ilustrirati svaka divna granica, što je jednako jedan.

! Pažnja! Ekvivalencija objekata ne implicira podudarnost objekata! Narančasti i ljubičasti ovčji kaputi jednako su topli, ali su različiti ovčji kaputi. Funkcije se praktički ne razlikuju blizu nule, ali to su dvije različite funkcije.

Oznaka: Ekvivalencija je označena tildom.
Na primjer: – “sinus od x je ekvivalentan x” ako .

Iz navedenog proizlazi vrlo važan zaključak: ako su dvije infinitezimalne funkcije ekvivalentne, tada se jedna može zamijeniti drugom. Ova tehnika se naširoko koristi u praksi, a sada ćemo vidjeti kako:

Izvanredne jednakosti unutar

Za rješavanje praktičnih primjera trebat će vam tablica izvanrednih ekvivalencija. Učenik ne može živjeti od jednog polinoma, pa će polje daljnje aktivnosti biti vrlo široko. Prvo, koristeći teoriju infinitezimalnih ekvivalentnih funkcija, kliknimo kroz primjere iz prvog dijela lekcije Izvanredna ograničenja. Primjeri rješenja, u kojem su pronađene sljedeće granice:

1) Riješimo limit. Zamijenimo infinitezimalnu funkciju brojnika s ekvivalentnom infinitezimalnom funkcijom:

Zašto je takva zamjena moguća? Jer beskonačno blizu nule graf funkcije praktički se poklapa s grafom funkcije.

U ovom smo primjeru koristili tablicu ekvivalentnosti gdje je . Zgodno je da parametar "alfa" može biti ne samo "x", već i složena funkcija, koja teži nuli.

2) Pronađimo granicu. U nazivniku koristimo istu ekvivalenciju, u ovom slučaju:

Imajte na umu da se sinus u početku nalazio ispod kvadrata, pa ga je u prvom koraku također potrebno staviti u cijelosti ispod kvadrata.

Ne zaboravimo na teoriju: u prva dva primjera dobiveni su konačni brojevi, što znači brojnici i nazivnici istog reda sitnosti.

3) Pronađimo granicu. Zamijenimo infinitezimalnu funkciju brojnika s ekvivalentnom funkcijom , Gdje :

Ovdje brojnik višeg reda malenosti od nazivnika. Liliput (i ekvivalent Liliputanac) dostiže nulu brže od .

4) Pronađimo granicu. Zamijenimo infinitezimalnu funkciju brojnika s ekvivalentnom funkcijom, gdje je:

A ovdje, naprotiv, nazivnik viši red malenkosti, nego brojnik, patuljak bježi na nulu brže od patuljka (i njegovog ekvivalenta patuljka).

Trebaju li se u praksi koristiti izvanredne ekvivalencije? Trebalo bi, ali ne uvijek. Prema tome, nije preporučljivo rješavati ne baš složene granice (poput onih koje smo upravo razmotrili) pomoću značajnih ekvivalencija. Možda ćete biti optuženi za hackwork i prisiljeni da ih rješavate na standardni način koristeći trigonometrijske formule i prvu prekrasnu granicu. Međutim, korištenjem predmetnog alata vrlo je korisno provjeriti rješenje ili čak odmah saznati točan odgovor. Primjer br. 14 lekcije je tipičan Metode rješavanja granica:

U konačnoj verziji preporučljivo je izraditi prilično veliko cjelovito rješenje s promjenom varijable. Ali gotov odgovor leži na površini - mi mentalno koristimo ekvivalenciju: .

I još jednom geometrijsko značenje: zašto je dopušteno funkciju u brojniku zamijeniti funkcijom ? Beskonačno blizu blizu nule njihovi se grafikoni mogu razlikovati samo pod snažnim mikroskopom.

Osim provjere rješenja, izvanredne ekvivalencije se koriste u još dva slučaja:

– kada je primjer prilično složen ili općenito nerješiv na uobičajeni način;
– kada je potrebno primijeniti izvanredne ekvivalencije prema uvjetu.

Razmotrimo smislenije zadatke:

Primjer 4

Pronađite granicu

Dnevni red je neizvjesnost od nula do nule i situacija je na granici: rješenje se može izvesti na standardan način, ali će biti puno transformacija. S moje točke gledišta, sasvim je prikladno ovdje upotrijebiti divne ekvivalencije:

Zamijenimo infinitezimalne funkcije ekvivalentnim funkcijama. u:

To je sve!

Jedina tehnička nijansa: u početku je tangenta bila na kvadrat, tako da nakon zamjene argument također mora biti na kvadrat.

Primjer 5

Pronađite granicu

Ova granica je rješiva ​​pomoću trigonometrijskih formula i divne granice, ali rješenje opet neće biti baš ugodno. Ovo je primjer koji morate sami riješiti, posebno pripazite pri preračunavanju brojnika. Ako postoji bilo kakva zabuna oko stupnjeva, predstavite to kao proizvod:

Primjer 6

Pronađite granicu

Ali ovo je težak slučaj kada je vrlo teško izvesti rješenje na standardni način. Upotrijebimo neke prekrasne ekvivalencije:

Zamijenimo infinitezimale ekvivalentnima. u:

Rezultat je beskonačnost, što znači da je nazivnik višeg reda malenosti od brojnika.

Trening je prošao žustro bez vanjske odjeće =)

Primjer 7

Pronađite granicu

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Razmislite kako postupiti s logaritmom ;-)

Nije neuobičajeno da se izvanredne ekvivalencije koriste u kombinaciji s drugim metodama za rješavanje granica:

Primjer 8

Pronađite granicu funkcije pomoću ekvivalentnih infinitezimala i drugih transformacija

Imajte na umu da su ovdje potrebne neke izvanredne ekvivalencije.

Mi odlučujemo:

U prvom koraku koristimo izvanredne ekvivalencije. u:

Sa sinusom je sve jasno: . Što učiniti s logaritmom? Predstavimo logaritam u obliku i primijenimo ekvivalenciju. Kao što razumijete, u ovom slučaju i

U drugom koraku primijenit ćemo tehniku ​​o kojoj smo govorili u lekciji.

Kao što je pokazano, zbroj, razlika i umnožak infinitezimalnih funkcija su infinitezimalni, ali isto se ne može reći za partikularne: dijeljenje jedne infinitezimalne funkcije drugom može dati različite rezultate.

Na primjer, ako je a(x) = 2x, p(x) = 3x, tada

Ako je a(x) = x 2, P (l;) = x 3, tada je

Preporučljivo je uvesti pravila za usporedbu infinitezimalnih funkcija koristeći odgovarajuću terminologiju.

Neka u x -» A funkcije a(x) i p(.v) su infinitezimalne. Zatim se razlikuju sljedeće opcije za njihovu usporedbu, ovisno o vrijednosti S ograničiti u točki A njihov odnos:

• 1. Ako S= I, tada su a(x) i P(x) ekvivalentne infinitezimale: a(x) - p(x).
• 2. Ako S= 0, tada je a(x) infinitezimal višeg reda od p(x) (ili ima viši red malenosti).
• 3. Ako S = d* 0 (d- broj), zatim Oh) i P(x) su infinitezimali istog reda.

Često nije dovoljno znati da je jedan infinitezimal u odnosu na drugi infinitezimal višeg reda malenosti; treba također procijeniti veličinu tog reda. Stoga se koristi sljedeće pravilo.

4. Ako Mm - - =d*0, tada je a(x) infinitezimal l-tog reda u odnosu na - *->lp"(*)

doslovno P(x). U tom slučaju koristite simbol o "o" mali"): a(x) = o(P(x)).

Imajte na umu da slična pravila za usporedbu infinitezimalnih funkcija za x -»oo vrijede, x-" -oo, x-> +«>, kao iu slučaju jednostranih granica na x -» A lijevo i desno.

Jedno važno svojstvo proizlazi iz pravila usporedbe:

tada postoji limit lim 1, a obje ove granice su jednake.

U nizu slučajeva dokazana izjava pojednostavljuje izračun ograničenja i provođenje procjena.

Pogledajmo nekoliko primjera.

1. Sin funkcije x I x na x-» 0 su zbog granice (8.11) ekvivalentne infinitezimalnim, t.j. na x -> 0 grijehu x ~ X.

Doista, imamo:

• 2. Sin funkcije kh i grijeh x su na q: -> 0 infinitezimali istog reda, jer
• 3. Funkcija a(x) = cos ah - cos bx (a * b) je na x-» 0 infinitezimal drugog reda malenosti u odnosu na infinitezimal.v, budući da

Primjer 7. Nađi lim

*-+° x + x"

Riješenje. Od grijeha kh ~ kh I x + x 2 ~ X:

Usporedba beskonačno velikih funkcija

Za beskonačno velike funkcije također vrijede slična pravila usporedbe, s tom razlikom što se za njih umjesto pojma “red malenosti” koristi izraz “red rasta”.

Pojasnimo rečeno na primjerima.

1. Funkcije f(x) = (2 + x)/x i g(x) = 2/x na x-» 0 su ekvivalentne beskonačno velikim, budući da

Podaci o funkciji /(X) i #(*) imaju isti redoslijed rasta.

2. Usporedimo redove rasta funkcija f(x) = 2x?+ja i g(x)= x 3 + x na x-> zašto pronaći granicu njihovog omjera:

Iz toga slijedi da funkcija g(x) ima viši red rasta od funkcije / (x).

3. Beskonačno velike funkcije za x -» °o /(x) = 3x 3 + x i #(x) = x 3 - 4x 2 imaju isti red rasta, jer

4. Funkcija /(x) = x 3 + 2x + 3 beskonačno je velika za x -»

trećeg reda u odnosu na beskonačno veliku funkciju g(x) = x - I, jer

Test

Disciplina: Viša matematika

Tema: Granice. Usporedba infinitezimalnih veličina

1. Ograničenje niza brojeva

2. Ograničenje funkcije

3. Druga divna granica

4. Usporedba infinitezimalnih veličina

Književnost

1. Ograničenje niza brojeva

Rješavanje mnogih matematičkih i primijenjenih problema dovodi do niza brojeva specificiranih na određeni način. Otkrijmo neka od njihovih svojstava.

Definicija 1.1. Ako za svaki prirodni broj

Na temelju definicije 1 jasno je da brojčani niz uvijek sadrži beskonačan broj elemenata. Proučavanje različitih nizova brojeva pokazuje da se kako se broj povećava, njihovi članovi ponašaju drugačije. Mogu se neograničeno povećavati ili smanjivati, mogu se neprestano približavati određenom broju ili uopće ne moraju pokazivati ​​nikakav obrazac.

Definicija 1.2. Broj

Niz koji ima limit naziva se konvergentan. U ovom slučaju pišu

Očito, da bi se razjasnilo pitanje konvergencije numeričkog niza, potrebno je imati kriterij koji bi se temeljio samo na svojstvima njegovih elemenata.

Teorem 1.1.(Cauchyjev teorem o konvergenciji niza brojeva). Da bi brojčani niz bio konvergentan potrebno je i dovoljno da za bilo koji broj

Dokaz. Nužnost. S obzirom da brojčani niz

Iz toga slijedi da

Adekvatnost. Dato je da

Uzmimo proizvoljno

Iz toga slijedi da