Программирование и комп-ры

Применение метода частотных диаграмм в исследовании устойчивости систем с логическими алгоритмами управления


     Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана



                  Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”
                                     на
                                    тему:
          Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию
          устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.



      Выполнил: ст-т гр. АК4-81
                           Смык В.Л.
Руководитель: профессор
                            Хабаров В.С.



                                    Реутов 1997 г.

  Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости
                систем с логическими алгоритмами управления.


  На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование
устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание
большинства теоретических исследований сводилось к иследованию
устойчивости.
  “Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя
говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С.
Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и
нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых
понятиях и терминах.
  Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно
длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего
существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой.
Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют
не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает
логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет
иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны.
(Металлический шар
устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта
прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как
инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается
устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и
той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие
не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым
относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это
отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по
отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала.
Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по
отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать,
устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких
переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой
устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с
логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.

  Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет
круговой критерий. Пусть дана система
                   .
                   x=Ax+b(,   (=c’x,             (1)

 где ( и ( - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с -
прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на
линейной оси. Предположим , что для некоторого (, [pic]( ( ([pic]
система (1), дополненая соотношением (((((, асимптотически усойчива.
   Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе
М([pic]) нелинейностей (((((,t), удовлетворяющих условию

       [pic]( ((((t)/( ([pic]                    (2)
достаточно, чтобы при всех (( (((((((( выполнялось соотношение


        Re{[1+[pic](((((([pic]W(j()]}>0.      (3)

  Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы
F((((((([pic]((((((([pic]((( Действительно, как было показано выше, форма
F(j((() имеет вид
   F(j((((((Re{[1+[pic]W(j(((((([pic]W(j()]}|(|[pic]
  Из этой формулы после сокращения на |(|[pic] следует (3).
  В (3) [pic]((( (  [pic](((( Случай, когда либо [pic] (((, либо [pic] (((
рассматривается аналогично.
  Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных
критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с
одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он
получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную
характеристику линейной части W(j().
  Обозначая комплексную переменную W(j()=z, рассмотрим систему с одной
нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:
   Re[(1+[pic]z(((([pic]z[pic])](0, если  [pic]((( (  [pic]((((    (4)
   Re[(1+[pic]z)z[pic]](0, если  [pic]((( (  [pic]((((          (5)
   Re[z(1+[pic]z[pic])](0, если  [pic]((( (  [pic]((((          (6)

  Пусть С([pic]) - облость комплексной плоскости z, определяемая этими
условиями. Граница В([pic]) области определяемая уравнениями получаемыми из
(4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность,
проходящую через точки -1/[pic], -1/[pic] с центром на оси абсцисс, причем
область С будет внутренностью этой окружности, если [pic]>0, т.е. если
нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если
сектор ([pic]) захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ
сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если [pic]=0 или [pic]=0 , то
область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой,
проходящей соответственно через -1/[pic] или -1/[pic]. На рисунке 1
показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов ([pic])
в плоскости (( (. Там же изображены кривые W(j(), (>0 для неособого случая,
расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только
приемлимого расположения хаоактеристик W(j() еще недостаточно для суждения
об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы
линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
  Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы
с любым блоком, вход ( и выход ( которого удовлетворяют для всех t
неравенству
     ([pic](-()((-[pic]()(0                            (7)

[pic]
                   Рисунок 1, а.

Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.



           А          Х    ([pic]    У  [pic](P)         Z
              (-)
                        G(p)      g


                          Рисунок 2.
  Здесь W[pic](p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в
общем случае следущий вид:

            W[pic](p)=[pic];
                                               (8)
         W(p)=[pic];

  Алгоритм регулятора имеет вид:
              y=([pic]x,

             [pic] при gx>0
      ([pic]=                                     (9)
             -[pic] при gx<0,
        g=([pic]
   В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:

         [pic]=[pic],         [pic]
         [pic]=-[pic],                  (10)


                    k[pic] при g[pic]>0
       где    [pic]=
                   - k[pic] при g[pic]<0,

          g=c[pic]+[pic]; [pic]=[pic].
  Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при
W[pic](p)=[pic] в уравнениях (10) имеем:
  [pic] [pic]                       (11)

а при W(p)=[pic]     имеем:
  [pic]                       (12)
Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение
                      [pic]                       (13)
В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде
структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - [pic] и
G(p) или в виде формы Коши (10).
   Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой
системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на
рис. 3.
                           [pic]|x|=c

 (                          g              y                z
 (-)    x         G(p)                           W(p)


                        Рисунок 3.


Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных
представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать
систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда [pic]|x|
- var.

   Далее перейдем к анализу нашего метода.
Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на
рис. 3 лостаточно, чтобы при всех (, изменяющихся от    ( ( до + (,
выполнялось соотношение:

            Re{[1+[pic](((((([pic]W(j()]}>0,
а гадограф (W(j()+1 при [pic][pic] соответствовал критерию Найквиста.
  Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде
(4) и (5).
  На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса
М([pic]) и годографы W(j(), расположенные таким образом, что согласно (4) и
(5) возможна абсолютная устойчивость.
           y ^

                 y=[pic]g   ([pic])

                   [pic]|x|        y=[pic]g (при [pic]=0)
[pic] [pic]
                               >
                  [pic]                                         0



            “а”                                         “б”



            “в”                                         “г”

                     Рисунок 4.
 В рассматриваемом случае (10) при

               W[pic](p)=[pic], когда
         W(p)= W[pic](p)G(p), G(p)=[pic]p+1,
 годограф W(j() системы на рис. 5.
                            j
                                      W(j()


                                    (((

                   [pic]>[pic]          [pic]<[pic]

                                      [pic]=[pic]
                        (=0


                       Рисунок 5.

 В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в,г, т.е.
исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или
(5) при
                    [pic]>[pic]                       (14)
 Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости
по Ляпунову
         а > 0 , ((t) > 0
                 и
                 a > c
для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной
устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется
требование
                 ((t) > 0                       (15)
поскольку, согласно (11) и (13)  a=a[pic]=[pic].
    Докажем это, используя условия существования скользящего режима
       -[pic]k(((t)=c[pic][pic]k
т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через
[pic], [pic], [pic], тогда получим

       -[pic][pic]([pic]((t)=[pic] ([pic][pic]             (16)
Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:
1) при [pic] = [pic], ((t)=0
2) при [pic] > [pic], ((t)>0
3) при [pic] < [pic], ((t)<0,
   что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее
логическая схема приведена на рис. 6.

                             [pic]|x|=c

 (                      g            (                            z
 (-)    x         G(p)                    [pic](p)         [pic]

                                                          [pic]



                        Рисунок 6.

В данном случае считаем что:
  [pic] - варьируемая величина,
[pic]=0.5,
[pic]=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного параметра
исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),
[pic]=0.1,1 (коэффициент обратной связи),
[pic]=10,100.
 Рассмотрим теперь саму функцию:

             W(p)=G(p)W[pic](p),
где G(p) - функция корректора, W[pic](p)= [pic](p)W[pic](p), где

[pic](p)=[pic], а W[pic](p) в свою очередь будет:

          W[pic](p)=[pic],
  где [pic], соответственно вся функция имеет вид:

      W(p)=[pic];
 Теперь заменяем p на j( и имеем вид:

      [pic];

Для построения гадогрофа выведем формулы для P((), jQ(() которые имеют вид:

 P(()=[pic];

 jQ([pic];
 Графики можно посмотреть в приложении N 2.
 Учитывая , что добротность ( должна быть ( 0.5(0.7 мы можем определить
добротность нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за
увеличения [pic] и [pic],  ( уменьшается, можно сделать вывод, что
колебательность звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 -
1.16 в приложении N 2.
Но это не подходит по требованию нашей задачи.  Так как
[pic][pic][pic]>[pic] , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять
только на высоких частотах, а на низких будет преобладать [pic], что можно
наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать
минемальные значения [pic], это значит что, при этих значениях будет
максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.
   Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках
1.9 - 1.12, особенно при минемальном значении  [pic].



                   Приложение N 1.
   Программа для построения годографов на языке программирования
                         СИ ++.

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
                 int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);
void Osi(int Xc, int Yc, int kol);
int   xmax, ymax;
float Kos[]={0.1,1.0},
            Ko[] ={10.0,100.0},
            Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};


void main(void)
{
      float P_w, Q_w, w;
      int  driver, mode, err;
      driver = DETECT;
      initgraph(&driver,&mode,"");
      err = graphresult();
      if (err!=grOk) {cout<<"\n\t"<abs(P_w1)) P_w1=P_w;
            if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;
            if (P_w=220) KmasX=150;
      if (KmasY>=140) KmasY=100;
      if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4;};
      w = 0;
      if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
             (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-
To*Tpr*w*w*w))!=0){
            P_w =  KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
             (Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
             ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
             (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
            Q_w =  KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
             Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
             ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
             (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
            moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w);     };
      setcolor(Color);
      setcolor(9);
      line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10);
      gotoxy(2,5);
      printf("K2=");
      printf("%f",(-1/P_w_min));
      setcolor(15);
      for(w=0;w<=700;w=w+0.05){
      if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
             (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-
To*Tpr*w*w*w))!=0){
            P_w =  KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
             (Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
             ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
             (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
            Q_w =  KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
             Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
             ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
             (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
            lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w);
                                                         };
                         };
      setcolor(13);
      circle(Xc-KmasX,Yc,2);
      circle(Xc-KmasX,Yc,1);
      putpixel(Xc-KmasX,Yc,13);
      outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1");
      setcolor(15);
      if (err==1){
        if (x==0) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.01");
        if (x==1) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.09");
        if (x==2) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.2");
        if (x==3) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.5");
        if (y==0) outtextxy(10,30,"Ko = 10");
        if (y==1) outtextxy(10,30,"Ko = 100");
        if (z==0) outtextxy(10,50,"Koc = 0.1");
        if (z==1) outtextxy(10,50,"Koc = 1.0");}
       else {
      char ch=' ';
      while(ch!=27&&ch!=13)
            if (kbhit()!=0) ch=getch();};
};

void Osi(int Xc, int Yc, int kol)
{
      setcolor(15);
      rectangle(0,0,xmax,ymax);
      line(Xc,10,Xc,ymax-10);
      line(10,Yc,xmax-10,Yc);
      line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10);
      line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15);
      line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2));
      line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2));
      settextstyle(2,0,5);
      outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,"jQ(w)");
      outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,"P(w)");
      settextstyle(2,0,4);
      outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,"0");
      settextstyle(0,0,0);
      if (kol==5) outtextxy(5,ymax-15,"'Esc' - exit");
      else outtextxy(5,ymax-15,"'Enter' - next ");
      setcolor(15);
};

                   Приложение N 2.
[pic]
                    Рисунок N 1.1       [pic]
                 Рисунок N 1.2
[pic]
                    Рисунок 1.3
[pic]
                      Рисунок 1.4
[pic]
                      Рисунок 1.5
[pic]
                 Рисунок 1.6
[pic]
                    Рисунок 1.7
[pic]
              Рисунок 1.8
[pic]
                Рисунок 1.9
[pic]
               Рисунок 1.10
[pic]
                  Рисунок 1.11
[pic]
               Рисунок 1.12
[pic]
               Рисунок 1.13
[pic]
              Рисунок 1.14
[pic]
            Вставка 1.15
[pic]
          Рисунок 1.16



                                    Литература:
1. Емильянов С.В., Системы автоматического управления с переменной
структурой. - М.: Наука, 1967.
2. Воронов А.А.,Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва
“Наука”, 1979.
3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной
устойчивости СПС: Научн.-исслед. работа.
4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал В.Л.Смык,-1997.



              Список постраничных ссылок:


1. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом
Ляпунова.-М.: Мир, 1964.-168 с.
2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - Собр. соч.-
М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.





смотреть на рефераты похожие на "Применение метода частотных диаграмм в исследовании устойчивости систем с логическими алгоритмами управления"