توابع کوچک بی نهایت چیست؟

با این حال، یک تابع فقط می تواند در یک نقطه خاص بی نهایت کوچک باشد. همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است، تابع فقط در نقطه 0 بی نهایت کوچک است.

شکل 1. تابع بی نهایت کوچک

اگر حد ضریب دو تابع به 1 منجر شود، توابع را بی نهایت کوچک می گویند زیرا x به نقطه a تمایل دارد.

\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

تعریف

اگر توابع f(x)، g(x) برای $x > a$ بی نهایت کوچک باشند، آنگاه:

• تابع f(x) در صورتی که شرط زیر برآورده شود، بی نهایت کوچک درجه بالاتر نسبت به g(x) نامیده می شود:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• تابع f(x) در صورتی که با 0 متفاوت باشد و حد محدود باشد، بی نهایت کوچک از مرتبه n نسبت به g(x) نامیده می شود:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

مثال 1

تابع $y=x^3$ در مقایسه با تابع y=5x بینهایت کوچک از مرتبه بالاتر برای x>0 است، زیرا حد نسبت آنها 0 است، این با این واقعیت توضیح داده می شود که تابع $y=x ^3$ سریعتر به صفر تمایل دارد:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim)\limits_(x\to 0 ) x=0\]

مثال 2

توابع y=x2-4 و y=x2-5x+6 برای x>2 بی نهایت کوچک‌ترین مرتبه هستند، زیرا حد نسبت آنها برابر با 0 نیست:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ به 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+2 ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

خواص بی نهایت کوچکی معادل

1. تفاوت بین دو بی‌نهایت کوچک یک نامتناهی درجه بالاتر نسبت به هر یک از آنهاست.
2. اگر از مجموع چند بینهایت کوچک از مرتبه های مختلف، بینهایت کوچکهای مرتبه بالاتر را کنار بگذاریم، آنگاه قسمت باقیمانده که جزء اصلی نامیده می شود، معادل کل جمع است.

از ویژگی اول چنین برمی‌آید که بی‌نهایت‌های معادل می‌توانند تقریباً با یک خطای نسبی کوچک دلخواه برابر شوند. بنابراین، علامت ≈ هم برای نشان دادن هم ارزی بینهایت کوچک و هم برای نوشتن برابری تقریبی مقادیر به اندازه کافی کوچک آنها استفاده می شود.

هنگام یافتن محدودیت ها، اغلب لازم است از جایگزینی توابع معادل برای سرعت و راحتی محاسبات استفاده شود. جدول بی نهایت های معادل در زیر ارائه شده است (جدول 1).

هم ارزی بینهایت کوچک های ارائه شده در جدول را می توان بر اساس برابری ثابت کرد:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

میز 1

مثال 3

اجازه دهید هم ارزی بینهایت کوچک ln(1+x) و x را ثابت کنیم.

اثبات:

1. بیایید حد نسبت کمیت ها را پیدا کنیم
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. برای انجام این کار، ویژگی لگاریتم را اعمال می کنیم:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x)) \]
3. با دانستن اینکه تابع لگاریتمی در دامنه تعریف خود پیوسته است، می توانیم علامت حد و تابع لگاریتمی را مبادله کنیم:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ درست)\]
4. از آنجایی که x یک کمیت بینهایت کوچک است، حد به 0 تمایل دارد.
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ راست)=\ln e=1\]

(دومین محدودیت فوق العاده را اعمال کرد)

توابع بی نهایت کوچک

ما مجموعه آموزشی "محدودیت برای آدمک ها" را ادامه می دهیم که با مقالاتی افتتاح شد محدودیت ها نمونه هایی از راه حل هاو محدودیت های شگفت انگیز. اگر اولین بار است که وارد سایت می شوید، توصیه می کنم که درس را نیز بخوانید روش های حل حدود، که کارمای دانش آموزی شما را به میزان قابل توجهی بهبود می بخشد. در کتابچه راهنمای سوم که به آن نگاه کردیم توابع بی نهایت بزرگ، مقایسه آنها، و اکنون وقت آن است که خود را به یک ذره بین مسلح کنید تا پس از سرزمین غول ها به سرزمین لیلیپوتی ها نگاه کنید. تعطیلات سال نو را در پایتخت فرهنگی گذراندم و با روحیه بسیار خوبی برگشتم، بنابراین خواندن نوید می دهد که به ویژه جالب باشد.

این مقاله به تفصیل مورد بحث قرار خواهد گرفت توابع بی نهایت کوچک، که در واقع قبلاً بارها با آنها برخورد کرده اید و مقایسه آنها. بسیاری از رویدادها ارتباط نزدیکی با رویدادهای نامرئی نزدیک به صفر دارند. محدودیت های شگفت انگیز, معادل های شگفت انگیزو بخش عملی درس عمدتاً به محاسبه حدود با استفاده از معادل‌های قابل توجه اختصاص دارد.

توابع بی نهایت کوچک مقایسه بینهایت کوچک

چی میتونم بگم...اگه محدودیت باشه تابع فراخوانی میشه بی نهایت کوچک در یک نقطه.

نکته اساسی بیانیه این واقعیت است که تابع می تواند بی نهایت کوچک باشد فقط در یک نقطه خاص .

بیایید یک خط آشنا رسم کنیم:

این تابع بی نهایت کوچکدر یک نقطه:
لازم به ذکر است که در نقاط "بعلاوه بی نهایت" و "منهای بی نهایت" همین تابع باریک تر خواهد بود. بی نهایت بزرگ: . یا در نماد فشرده تر:

در تمام نقاط دیگر، حد تابع برابر با یک عدد متناهی متفاوت از صفر خواهد بود.

بدین ترتیب، چنین چیزی وجود نداردبه عنوان "فقط یک تابع بی نهایت کوچک" یا "فقط یک تابع بی نهایت بزرگ". یک تابع می تواند بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ باشد فقط در یک نقطه خاص .

! توجه داشته باشید : برای اختصار، اغلب می گویم "تابع بی نهایت کوچک"، یعنی در نقطه مورد نظر بی نهایت کوچک است.

چنین نکاتی می تواند چندین و حتی بی نهایت زیاد باشد. بیایید نوعی سهمی غیر ترسناک ترسیم کنیم:

تابع درجه دوم ارائه شده در دو نقطه بی نهایت کوچک است - در "یک" و در "دو":

مانند مثال قبلی، در بی نهایت این تابع بی نهایت بزرگ است:

معنی علائم دوگانه :

علامت گذاری به این معنی است که چه زمانی و چه زمانی .

علامت گذاری به این معنی است که هم در و هم در .
اصل توضیح داده شده "رمزگشایی" علائم دوگانه نه تنها برای بی نهایت ها، بلکه برای هر نقطه پایانی، توابع و تعدادی دیگر از اشیاء ریاضی معتبر است.

و حالا سینوس. این یک مثال است که در آن تابع بی نهایت کوچکدر تعداد بی نهایت نقطه:

در واقع، سینوسی محور x را از طریق هر pi می‌بیند:

توجه داشته باشید که تابع با کران بالا/پایین است و هیچ نقطه ای وجود ندارد که در آن باشد بی نهایت بزرگ، سینوس فقط می تواند لب هایش را برای همیشه لیس بزند.

من به چند سوال ساده دیگر پاسخ خواهم داد:

آیا یک تابع در بی نهایت می تواند بی نهایت کوچک باشد؟

قطعا. یک گاری از این گونه نمونه ها و یک گاری کوچک وجود دارد.
یک مثال ابتدایی: . به هر حال، معنای هندسی این محدودیت در مقاله نشان داده شده است نمودارها و خواص توابع.

آیا یک تابع می تواند بی نهایت کوچک نباشد؟
(در هر نقطه حوزه تعریف)

آره. یک مثال واضح یک تابع درجه دوم است که نمودار آن (پارابولا) محور را قطع نمی کند. به هر حال، گزاره مخالف به طور کلی نادرست است - هذلولی از سؤال قبلی، اگرچه محور x را قطع نمی کند، اما بی نهایت کوچکدر بی نهایت

مقایسه توابع بینهایت کوچک

بیایید دنباله ای بسازیم که به سمت صفر گرایش داشته باشد و چندین مقدار از سه جمله ای را محاسبه کنیم:

بدیهی است که با کاهش مقادیر "x"، تابع سریعتر از بقیه به صفر می رسد (مقادیر آن به رنگ قرمز دایره شده اند). می گویند عملکرد تا عملکرد ، و مرتبه بالاتر کوچکی، چگونه اما تند دویدن در سرزمین لیلیپوتی‌ها شجاعت نیست؛ «لحن را آهسته‌ترین کوتوله تنظیم می‌کند، که آن‌طور که شایسته یک رئیس است، کندتر از همه به صفر می‌رسد». به او بستگی دارد چقدر سریعمقدار به صفر نزدیک می شود:

به بیان تصویری، تابع بینهایت کوچک هر چیز دیگری را "جذب" می کند، که به ویژه در نتیجه نهایی خط سوم به وضوح قابل مشاهده است. گاهی هم همین را می گویند مرتبه پایین تر از کوچکی، چگونه و مقدار آنها

در حد در نظر گرفته شده، همه اینها، البته، اهمیت زیادی ندارد، زیرا نتیجه هنوز صفر است. با این حال، "مغزهای سنگین وزن" شروع به ایفای نقش اساسی در محدودیت های کسری می کنند. بیایید با مثال هایی شروع کنیم که، هرچند به ندرت، در کارهای عملی واقعی یافت می شوند:

مثال 1

محاسبه حد

در اینجا عدم قطعیت وجود دارد و از درس مقدماتی در مورد در محدوده توابعبیایید اصل کلی آشکارسازی این عدم قطعیت را به خاطر بسپارید: شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید و سپس چیزی را کاهش دهید:

در مرحله اول، عدد را در صورت و "x" را در مخرج خارج می کنیم. در مرحله دوم، صورت و مخرج را با "X" کاهش می دهیم و در نتیجه عدم قطعیت را حذف می کنیم. نشان می‌دهیم که «X»های باقی‌مانده به صفر تمایل دارند و پاسخ را دریافت می‌کنیم.

در حد، نتیجه یک فرمان است، بنابراین، تابع شمارنده مرتبه بالاتر کوچکینسبت به تابع مخرج یا به طور خلاصه: . چه مفهومی داره؟ شمارنده به سمت صفر میل می کند سریعتر، از مخرج، به همین دلیل در نهایت صفر شد.

همانطور که در مورد توابع بی نهایت بزرگ، پاسخ را می توان از قبل فهمید. این تکنیک مشابه است، اما با این تفاوت که در صورت و مخرج باید ذهنی همه عبارت‌ها را کنار بگذارید. بزرگتردرجه، زیرا همانطور که در بالا ذکر شد، کوتوله های آهسته اهمیت تعیین کننده ای دارند:

مثال 2

محاسبه حد

صفر به صفر... بیایید فوراً پاسخ را دریابیم: از نظر ذهنی بیایید همه چیز را کنار بگذاریم بزرگتراصطلاحات (کوتوله های سریع) صورت و مخرج:

الگوریتم حل دقیقاً مانند مثال قبلی است:

در این مثال مخرج مرتبه کوچکی بالاتر از صورت. با کاهش مقادیر "x"، کندترین کوتوله شمارنده (و کل حد) در رابطه با حریف سریعتر خود به یک هیولای واقعی تبدیل می شود. به عنوان مثال، اگر، پس - در حال حاضر 40 برابر بیشتر ... البته با توجه به معنای "X" هنوز یک هیولا نیست، اما قبلاً چنین موضوعی با شکم آبجو بزرگ است.

و یک محدودیت نمایشی بسیار ساده:

مثال 3

محاسبه حد

بیایید پاسخ را با دور انداختن ذهنی همه چیز دریابیم بزرگترعبارات صورت و مخرج:

ما تصمیم گرفتیم:

نتیجه یک عدد محدود است. ضخامت رئیس صورت دقیقا دو برابر رئیس مخرج است. این وضعیتی است که در آن صورت و مخرج است یک مرتبه کوچکی.

در واقع، مقایسه توابع بینهایت کوچک مدتهاست در درسهای قبلی ظاهر شده است:
(مثال شماره 4 درس محدودیت ها نمونه هایی از راه حل ها);
(نمونه شماره 17 درس روش های حل حدود) و غیره.

در همان زمان به شما یادآوری می کنم که "x" نه تنها می تواند به صفر، بلکه به یک عدد دلخواه و همچنین به بی نهایت تمایل داشته باشد.

چه چیزی اساساً در تمام مثال های در نظر گرفته شده مهم است؟

اولا, حد باید در یک نقطه مشخص وجود داشته باشد. برای مثال محدودیتی وجود ندارد. اگر، پس تابع شمارنده در نقطه "به علاوه بی نهایت" تعریف نشده است (در زیر ریشه معلوم می شود بی نهایت بزرگیک عدد منفی). مثال‌های مشابه و به ظاهر خیالی در عمل یافت می‌شوند: به‌طور غیرمنتظره، مقایسه‌ای بین توابع بی‌نهایت کوچک و عدم قطعیت «صفر تا صفر» نیز وجود دارد. در واقع، اگر، پس. …راه حل؟ ما از کسر چهار طبقه خلاص می شویم، عدم قطعیت را بدست می آوریم و با استفاده از روش استاندارد آن را آشکار می کنیم.

شاید کسانی که شروع به مطالعه محدودیت‌ها می‌کنند با این سؤال متحیر شوند: «این چگونه ممکن است؟ عدم قطعیت 0:0 وجود دارد، اما شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید! کاملاً درست است، غیرممکن است. همین حد را در نظر بگیریم. تابع در نقطه صفر تعریف نشده است. اما این، به طور کلی، مورد نیاز نیست. مهمبه طوری که تابع در هر کجا وجود داشته باشد بی نهایت نزدیک به صفرنقطه (یا به طور دقیق تر - در هر محله بی نهایت کوچک صفر).

مهم ترین ویژگی LIMIT به عنوان یک مفهوم

آیا آن "x" است بی نهایت نزدیکبه نقطه خاصی نزدیک می شود، اما «مجبور» نیست که «به آنجا برود»! یعنی برای وجود حدی از یک تابع در یک نقطه مهم نیست، آیا خود تابع در آنجا تعریف شده است یا خیر. در این مقاله می توانید اطلاعات بیشتری در این مورد بخوانید محدودیت های کوشی، اما در حال حاضر اجازه دهید به موضوع درس امروز برگردیم:

دوما, توابع صورت و مخرج باید در یک نقطه معین بی نهایت کوچک باشند. بنابراین، برای مثال، محدودیت از یک دستور کاملا متفاوت است، در اینجا تابع شمارنده به صفر تمایل ندارد: .

بیایید اطلاعات مربوط به مقایسه توابع بینهایت کوچک را سیستماتیک کنیم:

اجازه دهید - توابع بی نهایت کوچک در یک نقطه(یعنی در ) و محدودیتی برای رابطه آنها وجود دارد. سپس:

1) اگر، پس تابع مرتبه بالاتر کوچکی، چگونه
ساده ترین مثال: ، یعنی تابعی مکعبی با مرتبه کوچکی بالاتر از درجه دوم.

2) اگر، پس تابع مرتبه بالاتر کوچکی، چگونه
ساده ترین مثال: ، یعنی یک تابع درجه دوم با مرتبه کوچکی بالاتر از یک تابع خطی.

3) اگر، که در آن یک ثابت غیر صفر است، آنگاه توابع دارند همان ترتیب کوچکی.
ساده‌ترین مثال: به عبارت دیگر، کوتوله دقیقاً دو برابر کندتر به سمت صفر می‌رود و «فاصله» بین آنها ثابت می‌ماند.

جالب ترین مورد خاص زمانی است که . چنین توابعی نامیده می شوند بی نهایت کوچک معادلکارکرد.

قبل از ارائه یک مثال اساسی، اجازه دهید در مورد خود اصطلاح صحبت کنیم. برابری. این کلمه قبلاً در کلاس دیده شده است. روش های حل حدود، در مقالات دیگر و بیش از یک بار ظاهر می شود. هم ارزی چیست؟ یک تعریف ریاضی از هم ارزی، منطقی، فیزیکی و غیره وجود دارد، اما بیایید سعی کنیم خود ماهیت را درک کنیم.

هم ارزی از برخی جهات هم ارزی (یا هم ارزی) است.. وقت آن است که عضلات خود را کشیده و کمی از ریاضیات بالاتر استراحت کنید. اکنون یخبندان خوبی در ژانویه وجود دارد، بنابراین عایق کاری بسیار مهم است. لطفا به راهرو بروید و در کمد لباس را باز کنید. تصور کنید که دو کت پوست گوسفند یکسان در آنجا آویزان است که فقط از نظر رنگ متفاوت هستند. یکی نارنجی، دیگری بنفش است. این کت های پوست گوسفند از نظر ویژگی های گرم کننده آنها معادل هستند. چه در کت پوست گوسفند اول و چه در کت دوم به یک اندازه گرم خواهید بود، یعنی انتخاب برابر است، نارنجی بپوشید یا بنفش - بدون برنده شدن: "یک به یک برابر است". اما از نقطه نظر ایمنی در جاده ها، کت های پوست گوسفند دیگر معادل نیستند - رنگ نارنجی برای رانندگان وسایل نقلیه بیشتر قابل مشاهده است، ... و گشت متوقف نخواهد شد، زیرا با صاحب چنین لباس هایی همه چیز مشخص است. در این رابطه، می‌توان در نظر گرفت که کت‌های پوست گوسفند «از درجه یکسانی» هستند، به طور نسبی، «کت پوست گوسفند نارنجی» دو برابر «ایمن‌تر» از «کت پوست گوسفند بنفش» است («که بدتر است، اما همچنین قابل توجه در تاریکی"). و اگر فقط با یک ژاکت و جوراب به هوای سرد بروید، تفاوت بسیار زیاد خواهد بود، بنابراین کت و کت پوست گوسفند "از درجه های مختلف" هستند.

... شما در مشکل هستید، باید آن را با پیوند این درس در ویکی پدیا ارسال کنید =) =) =)

مثال واضح توابع معادل بینهایت کوچک برای شما آشناست - اینها توابع هستند اولین حد قابل توجه .

اجازه دهید یک تفسیر هندسی از اولین حد قابل توجه ارائه دهیم. بیایید نقاشی را انجام دهیم:

خوب، دوستی قوی مردانه نمودارها حتی با چشم غیر مسلح نیز قابل مشاهده است. آ حتی مادر خودم هم نمی توانست آنها را از هم تشخیص دهد. بنابراین، اگر، پس توابع بی نهایت کوچک و معادل هستند. اگر تفاوت ناچیز باشد چه؟ سپس در حد سینوس بالاتر از شما می توانید جایگزین کردن"ایکس": ، یا "x" در زیر با سینوس: . در واقع، معلوم شد که اثبات هندسی اولین حد قابل توجه =)

به همین ترتیب، به هر حال، می توان آن را نشان داد هر حد فوق العاده، که برابر با یک است.

! توجه! هم ارزی اشیا به معنای همزمانی اشیا نیست! کت های نارنجی و بنفش پوست گوسفند به طور معادل گرم هستند، اما کت های پوست گوسفند متفاوت هستند. توابع عملاً در نزدیکی صفر قابل تشخیص نیستند، اما اینها دو تابع متفاوت هستند.

تعیین: هم ارزی با یک tilde نشان داده می شود.
به عنوان مثال: - "سینوس x معادل x است" اگر .

یک نتیجه گیری بسیار مهم از مطالب فوق حاصل می شود: اگر دو تابع بینهایت کوچک هم ارز باشند، می توان یکی را با دیگری جایگزین کرد. این تکنیک به طور گسترده در عمل مورد استفاده قرار می گیرد، و در حال حاضر خواهیم دید که چگونه:

معادل های قابل توجه در داخل

برای حل مثال های کاربردی نیاز دارید جدول معادلات قابل توجه. یک دانش آموز نمی تواند با یک چند جمله ای زندگی کند، بنابراین زمینه فعالیت بیشتر بسیار گسترده خواهد بود. ابتدا با استفاده از تئوری توابع معادل بینهایت کوچک، نمونه های قسمت اول درس را بررسی می کنیم. محدودیت های قابل توجه نمونه هایی از راه حل ها، که در آن محدودیت های زیر یافت شد:

1) بیایید حد را حل کنیم. اجازه دهید تابع عدد بینهایت کوچک را با تابع بی نهایت کوچک جایگزین کنیم:

چرا چنین جایگزینی امکان پذیر است؟ زیرا بی نهایت نزدیک به صفرنمودار تابع عملاً با نمودار تابع منطبق است.

در این مثال از معادل جدول استفاده کردیم که در آن . راحت است که پارامتر "آلفا" نه تنها "x" بلکه یک تابع پیچیده باشد، که به سمت صفر میل می کند.

2) بیایید حد را پیدا کنیم. در مخرج از معادل یکسانی استفاده می کنیم، در این مورد:

لطفا توجه داشته باشید که سینوس در ابتدا در زیر مربع قرار داشت، بنابراین در مرحله اول نیز لازم است که آن را به طور کامل زیر مربع قرار دهید.

از نظریه غافل نشویم: در دو مثال اول اعداد متناهی به دست آمد که به این معنی است صورت‌ها و مخرج‌های هم ردیف کوچکی.

3) بیایید حد را پیدا کنیم. اجازه دهید تابع عدد بینهایت کوچک را با تابع معادل جایگزین کنیم ، جایی که :

اینجا صورت‌دهنده مرتبه کوچکی بالاتر از مخرج. لیلیپوت (و معادل لیلیپوتی) سریعتر از صفر به صفر می رسد.

4) بیایید حد را پیدا کنیم. اجازه دهید تابع عدد بی نهایت کوچک را با یک تابع معادل جایگزین کنیم، که در آن:

و در اینجا، برعکس، مخرج مرتبه بالاتر کوچکی، کوتوله سریعتر از کوتوله (و کوتوله معادل آن) به صفر می رسد.

آیا باید از معادل های قابل توجه در عمل استفاده کرد؟باید، اما نه همیشه. بنابراین، حل محدودیت‌های نه چندان پیچیده (مانند مواردی که اخیراً در نظر گرفته شد) از طریق معادل‌های قابل توجه توصیه نمی‌شود. ممکن است متهم به هک کاری شوید و مجبور شوید آنها را به روشی استاندارد با استفاده از فرمول های مثلثاتی و اولین حد فوق العاده حل کنید. با این حال، با استفاده از ابزار مورد نظر، بررسی راه حل یا حتی یافتن فوری پاسخ صحیح بسیار سودمند است. مثال شماره 14 درس معمولی است روش های حل حدود:

در نسخه نهایی، توصیه می شود یک راه حل کامل نسبتا بزرگ با تغییر متغیر ترسیم کنید. اما پاسخ آماده در ظاهر نهفته است - ما از نظر ذهنی از معادل سازی استفاده می کنیم: .

و بار دیگر معنای هندسی: چرا جایز است تابع در صورت را با تابع جایگزین کنیم؟ بی نهایت نزدیک به صفرنمودارهای آنها را فقط می توان در زیر یک میکروسکوپ قدرتمند تشخیص داد.

علاوه بر بررسی راه حل، معادل های قابل توجه در دو مورد دیگر استفاده می شود:

- وقتی مثال کاملاً پیچیده یا به طور کلی غیرقابل حل است به روش معمول؛
- زمانی که هم ارزهای قابل توجهی باید بر اساس شرایط اعمال شوند.

بیایید وظایف معنادارتری را در نظر بگیریم:

مثال 4

حد را پیدا کنید

دستور کار عدم قطعیت صفر به صفر است و وضعیت مرزی است: راه حل می تواند به روش استاندارد انجام شود، اما دگرگونی های زیادی وجود خواهد داشت. از دیدگاه من، استفاده از معادل های فوق العاده در اینجا کاملاً مناسب است:

اجازه دهید توابع بی نهایت کوچک را با توابع معادل جایگزین کنیم. در:

همین!

تنها تفاوت فنی: در ابتدا مماس مربع بود، بنابراین پس از جایگزینی، آرگومان نیز باید مربع شود.

مثال 5

حد را پیدا کنید

این حد از طریق فرمول های مثلثاتی قابل حل است و محدودیت های شگفت انگیز، اما راه حل دوباره چندان خوشایند نخواهد بود. این مثالی است که می‌توانید خودتان آن را حل کنید، به ویژه در هنگام تبدیل عدد محتاط باشید. اگر در مورد درجه ها ابهامی وجود دارد، آن را به عنوان یک محصول نشان دهید:

مثال 6

حد را پیدا کنید

اما این یک مورد دشوار است زمانی که انجام یک راه حل به روش استاندارد بسیار دشوار است. بیایید از چند معادل فوق العاده استفاده کنیم:

بیایید بینهایت کوچک را با موارد معادل جایگزین کنیم. در:

نتیجه بی نهایت است، به این معنی که مخرج درجه کوچکی بالاتری نسبت به صورت دارد.

تمرین بدون لباس بیرونی سریع پیش رفت =)

مثال 7

حد را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. به نحوه برخورد با لگاریتم فکر کنید ;-)

استفاده از معادل‌های قابل توجه در ترکیب با روش‌های دیگر برای حل حدود، غیرمعمول نیست:

مثال 8

حد یک تابع را با استفاده از بی نهایت کوچک و سایر تبدیل ها پیدا کنید

توجه داشته باشید که در اینجا معادل های قابل توجهی مورد نیاز است.

ما تصمیم گرفتیم:

در مرحله اول از معادل های قابل توجه استفاده می کنیم. در:

همه چیز با سینوس مشخص است: . با لگاریتم چه کنیم؟ بیایید لگاریتم را در شکل نشان دهیم و معادل را اعمال کنیم. همانطور که متوجه شدید، در این مورد و

در مرحله دوم، تکنیک مورد بحث در درس را اعمال می کنیم.

همانطور که نشان داده شد، مجموع، تفاوت و حاصلضرب توابع بینهایت کوچک بی نهایت کوچک است، اما در مورد خاص نمی توان چنین گفت: تقسیم یک بینهایت کوچک بر دیگری می تواند نتایج متفاوتی به همراه داشته باشد.

به عنوان مثال، اگر a(x) = 2x، p(x) = 3x، پس

اگر a(x) = x 2، P (l;) = x 3، پس

توصیه می شود قوانینی برای مقایسه توابع بینهایت کوچک با استفاده از اصطلاحات مناسب معرفی کنید.

اجازه دهید در ایکس -» آتوابع a(x) و p(.v) بی نهایت کوچک هستند. سپس بسته به مقدار، گزینه های زیر برای مقایسه آنها متمایز می شوند بامحدود کردن در یک نقطه آرابطه آنها:

• 1. اگر با= I، سپس a(x) و P(x) بی نهایت کوچک هستند: a(x) - p(x).
• 2. اگر با= 0، سپس a(x) یک بی نهایت کوچک با مرتبه بالاتر از p(x) است (یا دارای مرتبه کوچکی بالاتری است).
• 3. اگر با = د* 0 (د- شماره)، سپس اوه)و P(x) بینهایت کوچکی از یک مرتبه هستند.

اغلب این کافی نیست که بدانیم یک بی نهایت کوچک نسبت به دیگری بینهایت کوچک درجه بالاتری از کوچکی است؛ همچنین باید بزرگی این مرتبه را تخمین زد. بنابراین از قانون زیر استفاده می شود.

4. اگر Mm - - =d*0،سپس a(x) یک بی نهایت کوچک از مرتبه l است با توجه به - *->lp"(*)

به معنای واقعی کلمه P(x). در این مورد از نماد استفاده کنید o "o"کوچک"): a(x) = o(P(x)).

توجه داشته باشید که قوانین مشابه برای مقایسه توابع بینهایت کوچک برای x -»oo معتبر هستند، ایکس-" -اوو، ایکس-> +«>، و همچنین در مورد محدودیت های یک طرفه در x -» آچپ و راست.

یک ویژگی مهم از قوانین مقایسه به دست می آید:

سپس یک محدودیت وجود دارد 1، و هر دوی این حد مساوی هستند.

در تعدادی از موارد، بیانیه اثبات شده محاسبه حدود و انجام برآوردها را ساده می کند.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

1. توابع گناه ایکسو ایکسدر ایکس-» 0 به دلیل حد (8.11) معادل بینهایت کوچک هستند، یعنی. در ایکس -> 0 گناه ایکس ~ ایکس.

در واقع ما داریم:

• 2. توابع گناه khو گناه ایکسدر q هستند: -> 0 بینهایت کوچک از همان ترتیب، زیرا
• 3. تابع a(x) = cos آه - cos bx (الف * ب)است در ایکس-» 0 بی نهایت کوچک از مرتبه دوم کوچکی نسبت به infinitesimal.v، زیرا

مثال 7. لیم را پیدا کنید

*-+° x + x"

راه حل.از گناه kh ~ khو ایکس + x 2 ~ ایکس:

مقایسه توابع بی نهایت بزرگ

برای توابع بی‌نهایت بزرگ، قوانین مقایسه مشابهی نیز اعمال می‌شود، تنها تفاوت این است که برای آنها، به‌جای عبارت «ترتیب کوچکی»، از عبارت «ترتیب رشد» استفاده می‌شود.

اجازه دهید آنچه را که گفته شد با مثال توضیح دهیم.

1. توابع f(x) = (2 + x)/xو g(x) = 2/xدر ایکس-» 0 معادل بی نهایت بزرگ است، زیرا

داده های تابع /(ایکس)و #(*) دارای ترتیب رشد یکسانی هستند.

2. بیایید ترتیب رشد توابع را با هم مقایسه کنیم f(x) = 2x؟+من و g(x)= x 3 + ایکسدر ایکس-> چرا حد نسبت آنها را پیدا کنید:

نتیجه می شود که تابع g(x) مرتبه رشد بالاتری نسبت به تابع / (x) دارد.

3. توابع بی نهایت بزرگ برای x -» °o /(x) = 3x 3 + ایکسو #(x) = x 3 - 4x 2 دارای ترتیب رشد یکسانی هستند، زیرا

4. تابع /(x) = x 3 + 2x + 3 برای x -» بی نهایت بزرگ است.

مرتبه سوم با توجه به یک تابع بی نهایت بزرگ g(x) = x - من، از آنجا که

تست

رشته: ریاضیات عالی

موضوع: محدودیت ها مقایسه کمیت های بی نهایت کوچک

1. حد دنباله اعداد

2. محدودیت عملکرد

3. دومین حد فوق العاده

4. مقایسه کمیت های بی نهایت کوچک

ادبیات

1. حد دنباله اعداد

حل بسیاری از مسائل ریاضی و کاربردی منجر به دنباله ای از اعداد می شود که به روش خاصی مشخص می شوند. بیایید برخی از خواص آنها را دریابیم.

تعریف 1.1.اگر برای هر عدد طبیعی

بر اساس تعریف 1، واضح است که یک دنباله اعداد همیشه شامل تعداد نامتناهی عنصر است. مطالعه توالی اعداد مختلف نشان می دهد که با افزایش تعداد، اعضای آنها رفتار متفاوتی از خود نشان می دهند. آنها ممکن است به طور نامحدود افزایش یا کاهش پیدا کنند، ممکن است دائماً به یک عدد خاص نزدیک شوند یا اصلاً هیچ الگوی را نشان ندهند.

تعریف 1.2.عدد

دنباله ای که حدی دارد همگرا نامیده می شود. در این مورد می نویسند

بدیهی است که برای روشن شدن مسئله همگرایی یک دنباله عددی، باید معیاری داشت که فقط بر اساس ویژگی های عناصر آن باشد.

قضیه 1.1.(قضیه کوشی در مورد همگرایی یک دنباله اعداد). برای همگرا شدن یک دنباله اعداد کافی و لازم است که برای هر عددی

اثبات ضرورت. با توجه به اینکه دنباله اعداد

نتیجه می شود که

کفایت. داده شده است که

بیایید خودسرانه بگیریم

نتیجه می شود که