Izvor posla: Zadatak 4. Za prolaz u sljedeći krug natjecanja nogometna momčad mora postići pogodak

Zadatak 4. Za prolazak u sljedeći krug natjecanja nogometna momčad mora osvojiti najmanje 4 boda u dvije utakmice. Ako momčad pobijedi, dobiva 3 boda, u slučaju neriješenog rezultata - 1 bod, ako izgubi - 0 bodova. Nađite vjerojatnost da tim prođe u sljedeći krug natjecanja. Uzmite u obzir da su u svakoj igri vjerojatnosti pobjede i poraza iste i jednake 0,4.

Riješenje.

Budući da su vjerojatnosti pobjede i poraza jednake 0,4, vjerojatnost neriješenog rezultata je 1-0,4-0,4=0,2. Dakle, nogometni tim može napredovati u sljedeći krug sa sljedećim nekompatibilnim ishodima:

Pobijedio u prvoj igri i pobijedio u drugoj igri;

Remizirao u prvoj igri i pobijedio u drugoj igri;

Pobijedio u prvoj igri i remizirao u drugoj utakmici.

Vjerojatnost prvog ishoda je . Vjerojatnost drugog ishoda . Vjerojatnost trećeg ishoda . Tražena vjerojatnost prolaska u sljedeći krug natjecanja jednaka je zbroju vjerojatnosti ova tri neovisna ishoda.

Nogometne utakmice su drugačije. To može biti samo prijateljska utakmica, utakmica redovnog državnog prvenstva, utakmica u grupnom turniru, dvomeč doigravanja kupa, jedna nokaut utakmica kupa, zbog čega jedna momčad mora proći, a druga biti eliminiran. U nekim utakmicama, kao što su prvenstvene utakmice ili grupna natjecanja, rezultat se bilježi u regularnom vremenu. U nokaut utakmicama mogu postojati opcije do produžetaka i izvođenja jedanaesteraca za određivanje konačnog pobjednika. Dakle, na takvim utakmicama klade se ne samo na sam rezultat, već i na za prolaz tima u sljedeći krug ili konačnu pobjedu ako je ovo finale. Razgovarajmo o takvim stopama detaljnije.

Dakle, nogometna utakmica bilo koje regularne sezone završava nakon 90 minuta i nekoliko dodanih minuta od strane suca. Rezultat takve utakmice može biti pobjeda jedne od momčadi ili remi. Pobjednik dobiva 3 boda, poraženi 0 bodova. Ako je neriješeno, obje ekipe dobivaju 1 bod. Ista je situacija i s utakmicama u grupnim turnirima. Ako su bodovi jednaki, ne dodjeljuju se dodatne utakmice ili poluvremena, već se računaju dodatni pokazatelji - međusobne utakmice, golovi itd. Međutim, postoje formati utakmica u kojima momčad možda neće pobijediti u regularnom vremenu, ali će proći dalje. Pogledajmo primjere.

Sučeljavanje u jednoj utakmici. Utakmice domaćih kup natjecanja pojedinih zemalja, finalne utakmice europskih kupova, utakmice doigravanja svjetskih i europskih prvenstava itd., održavaju se u obliku jedne utakmice. Domaćin utakmice određuje se ždrijebom ili se igra na neutralnom terenu. Ako jedna od momčadi pobijedi u takvoj utakmici, onda je sve jednostavno - ide dalje, a gubitnik napušta turnir. No, u regularnom vremenu može se upisati remi. Što onda? U nekim kupovima zakazana je i repriza na terenu druge momčadi (to je format npr. u Engleskoj). U ostalim situacijama dodjeljuje se produžetak - dva poluvremena po 15 minuta. A ako to nije dovoljno za određivanje pobjednika, slijedi serija jedanaesteraca nakon utakmice.

Znamo da kladionice primaju oklade na glavni ishod utakmice: pobjedu jedne momčadi, pobjedu druge momčadi i remi. U slučaju takvih igara, remi se može zabilježiti u regularnom vremenu, a oklada se izračunava na temelju tog remija. Oklade na konačnog pobjednika, momčad koja će proći dalje ili dobiti pehar primaju se zasebno. Ovaj kladiti se na timski prolaz.

Prolazne oklade mogu se pronaći u dodatnoj liniji ulaskom unutar određene utakmice, u kojoj se glavni ishod možda neće poklapati s prolaznim ishodom.

U različitim kladionicama takav blok oklada različito je dizajniran i nazvan...

...ali suština je ista.

Sučeljavanje u dvije utakmice. U nekim domaćim kupovima, u europskim kupovima, u doigravanjima selekcija za svjetska i europska prvenstva itd., format playoffa, nokaut utakmica, podrazumijeva dvomeč. Jedna utakmica je kod kuće, druga u gostima. Ovdje može biti nekoliko opcija.

Momčad može pobijediti u jednoj utakmici i remizirati u drugoj. I ona prolazi. To znači da ako se ne kladite na drugu igru, već na prolaz, dobit ćete. I oklada na pobjedu će izgubiti, jer... bilo je neriješeno.

Štoviše, momčad može dobiti jednu utakmicu i izgubiti drugu. A momčad koja je pobijedila većom razlikom na zbroju dvije utakmice prolazi. Ako je razlika nula (primjerice: 2:1, 0:1), onda dalje ide momčad koja je postigla više golova na stranom terenu. Ako su rezultati identični (3:1, 1:3), tada se u drugom susretu dodjeljuju produžeci, kao u situaciji s jednom utakmicom doigravanja.

Očito je da momčad može dobiti drugu utakmicu i ne proći dalje. Na primjer, momčad izgubi utakmicu u gostima 2:0, ali pobijedi 1:0 kod kuće. Kao rezultat toga, utakmica je dobivena i odigrana je odgovarajuća oklada na glavni ishod utakmice. Ali oklada na prolazak takve momčadi gubi.

Momčadi mogu igrati dvije utakmice neriješeno. Ako obje utakmice u regularnom vremenu završe istim neodlučenim rezultatom (0:0, 0:0 ili 2:2, 2:2), dosuđuju se produžeci, a zatim jedanaesterac. Dakle, sve oklade na momčadske pobjede u takvim utakmicama su isključene. Ali ipak neka momčad ide dalje.

Mogu se bilježiti razni neodlučeni ishodi, primjerice 0:0 i 1:1. Onda momčad koja je zabila na gostovanju ide ovako. I opet igra oklada na prolaz odgovarajuće momčadi, a oklade na pobjede su izgubljene zbog remija u regularnom vremenu.

Upečatljiv primjer rezultata dvomeča sučeljavanja je četvrtfinalna utakmica aktualne Lige prvaka. Real Madrid izgubio je na gostovanju kod Wolfsburga 0:2. A prije uzvrata na prolaz Reala izgledi više nisu bili tako smiješni kao u početku. Ipak, poraz od 2 gola i manjak golova u gostima je ozbiljan.

Dakle, u relevantnim utakmicama potrebno je razlikovati rezultat same utakmice i rezultat sučeljavanja u doigravanju. Ne smijemo zaboraviti da momčad može remizirati, pa čak i izgubiti, ali ipak proći.

Još jedan primjer. Sevilla – Atleti Bilbao. Susreti u playoffu Europske lige 2015-2016 Sevilla pobjeđuje u gostima 1:2. Dakle, na što se želite kladiti na povratnu utakmicu kod kuće? Sevilla je tako kod kuće izgubila istim rezultatom 1:2 i tako prekinula svoj dugi niz bez poraza na domaćem terenu. No, ujedno je prošla dalje, svladavši protivnicu u sudačkoj nadoknadi.

zaključke. Nakon pobjedničkog rezultata u prvom susretu, iznimno je opasno kladiti se na pobjedu momčadi u drugom susretu. U takvim serijama momčadi često igraju na rezultat. Mogu otvoreno igrati na neriješeno, ali na kraju mogu izgubiti. Dakle, ponekad biste trebali dati prednost klađenju na prolaz nego na glavni ishod utakmice. Ili, okladu na glavni ishod treba dovesti u korelaciju sa stvarnom motivacijom pojedine momčadi za pojedinu utakmicu.

Ako ste uvjereni u snagu tima i predviđate njegov konačni uspjeh, onda je bolje kladiti se na prolaz. U ogorčenoj borbi momčadi mogu odigrati neriješeno u regularnom vremenu, a pobjedu će na kraju odnijeti ista momčad koja je najjača i najiskusnija.

Za primanje korisnih i ažurne informacije za vaše uspješne oklade na nogomet, pretplatite se na ažuriranja projekta. Unesite svoj email u obrazac s desne strane.

Prototip zadatka B10 (br. 320188) Za prolazak u sljedeći krug natjecanja nogometna momčad treba osvojiti najmanje 4 boda u dvije utakmice. Ako momčad pobijedi, dobiva 3 boda, u slučaju neriješenog rezultata - 1 bod, ako izgubi - 0 bodova. Nađite vjerojatnost da tim prođe u sljedeći krug natjecanja. Uzmite u obzir da su u svakoj igri vjerojatnosti pobjede i poraza iste i jednake 0,4.

Zadatak B10 (br. 321491) U razredu su 33 učenika, među njima i dva prijatelja - Mihail i Vadim. Razred je nasumično podijeljen u 3 jednake grupe. Nađite vjerojatnost da će Mihail i Vadim biti u istoj skupini.

Riješenje. Sukladno pitanju problema, zanima nas raspodjela dvojice momaka u tri skupine (radi lakšeg posluživanja označit ćemo ove skupine brojevima: skupina 1, skupina 2 i skupina 3). Stoga su mogući ishodi eksperimenta koji se razmatra:

U 1 = (Mikhail u prvoj skupini, Vadim u drugoj skupini) = (M1, B2),

U 2 = (Mikhail u prvoj skupini, Vadim u trećoj skupini) = (M1, B3),

U 3 = (Mikhail u prvoj skupini, Vadim u prvoj skupini) = (M1, B1),

U 4 = (Mihail u drugoj skupini, Vadim u prvoj skupini) = (M2, B1),

U 5 = (Mihail u drugoj skupini, Vadim u drugoj skupini) = (M2, B2),

U 6 = (Mihail u drugoj skupini, Vadim u trećoj skupini) = (M2, B3),

U 7 = (Mihail u trećoj skupini, Vadim u prvoj skupini) = (M3, B1),

U 8 = (Mihail u trećoj skupini, Vadim u drugoj skupini) = (M3, B2),

U 9 ​​​​= (Mikhail u trećoj skupini, Vadim u trećoj skupini) = (M3, B3),

Dakle, skup U svih ishoda eksperimenta koji se razmatra sastoji se od devet elemenata U= (U 1 , U 2, U 3 ,… U 7, U 9), a događaj A - "Mikhail i Vadim bili su u istoj skupini" - favoriziraju samo tri ishoda - U 3, U 5 i U 9. Nađimo vjerojatnost svakog od ovih ishoda. Budući da je, prema uvjetima zadatka, razred od 33 učenika nasumično podijeljen u tri jednake grupe, svaka će takva grupa sadržavati 11 učenika iz tog razreda. Čisto radi lakšeg rješavanja zadatka, zamislimo 33 stolice poredane u jednom redu, a na sjedalima su ispisani brojevi: na prvih 11 stolica je napisan broj 1, na sljedećih 11 stolica broj 2, a na zadnjih jedanaest stolica ispisan je broj 3. Vjerojatnost da ćete Mikhail dobiti stolicu s brojem 1 jednaka je (11 stolica s brojem 1 od ukupnog broja stolica). Nakon što Mihail sjedne na stolicu s brojem 1, ostaju samo 32 stolice, među kojima je samo 10 stolica s brojem 1, stoga je vjerojatnost da Vadim dobije stolicu s istim brojem 1 jednaka . Stoga je vjerojatnost ishoda U 3 = (Mihail u prvoj skupini, Vadim u prvoj skupini) = (M1, B1) jednaka umnošku i jednaka je . Rasuđujući na sličan način, nalazimo vjerojatnosti ishoda U 5 i U 9 . Imamo, P(U 5)=P(U 9)=P(U 3)=.

Dakle, P(A)=P(U 3)+P(U 5)+P(U 9)=.

Odgovor. 0,3125.

Komentar. Mnogi studenti, nakon što su sastavili skup U mogućih ishoda eksperimenta koji se razmatra, traže željenu vjerojatnost kao kvocijent dijeljenja broja ishoda U 3 , U 5 i U 9 koji favoriziraju događaj A s brojem svih mogućih ishoda U 1 , U 2, U 3 ,… U 7, U 9, odnosno P(A)=. Pogreška takve odluke leži u činjenici da ishodi predmetnog eksperimenta nisu jednako vjerojatni. Doista, P(U 1)=, i P(U 3)=.

Riješenje. Prema zadatku, momčad igra dvije utakmice, a rezultat svake takve igre može biti ili pobjeda, poraz ili remi. To znači da su mogući ishodi ovog eksperimenta: U 1 = (B; B), ovdje i dalje B - tim je dobio igru, P - tim je izgubio utakmicu, H - tim je odigrao neriješeno, U 2 = (B; H), U 3 = (B; P), U 4 = (P; B), U 5 = (P; N), U 6 = (P; P), U 7 = (N; N) , U 8 = (N; P), U 8 = (N; V). Dakle, skup svih mogućih ishoda eksperimenta koji se razmatra sastoji se od 9 elemenata, a događaj C - “nogometna momčad prošla u sljedeći krug natjecanja” favoriziraju ishodi U 1 = (B; B), U 2 = (B; H) i U 8 = ( N; C), budući da pojavljivanje svakog od ovih ishoda jamči potreban broj bodova za prolaz u sljedeći krug natjecanja. Nađimo vjerojatnosti ishoda U 1 = (B; B), U 2 = (B; H) i U 8 = (H; B). Prema uvjetima zadatka, vjerojatnosti pobjede i poraza jednake su 0,4, budući da rezultat jedne igre može biti ili pobjeda, poraz ili remi, tada je vjerojatnost remija jednaka razlici 1 -(U 2 +U 8) i jednak je 0,2. To znači, prema teoremu o vjerojatnosti umnoška neovisnih događaja, P(U 1)=0,40,4=0,16 i P(U 2)=P(U 8)=0,40,2=0,08. Dakle, željena vjerojatnost je jednaka: P(C)= P(U 1)+ P(U 2)+P(U 8)=0,16+0,08+0,08=0,32.

Da bi napredovala u sljedeći krug natjecanja, nogometna momčad mora postići pogodak
barem 9 bodova u dvije utakmice. Ako momčad pobijedi, ona prima 5 naočale,
u slučaju neriješenog rezultata - 4 bodova ako izgubi - 0 bodova. Pronađite vjerojatnost
da će tim moći proći u sljedeći krug natjecanja. Smatrati
da su u svakoj igri vjerojatnosti pobjede i poraza jednake 0,4 .

Očito, ne možete izgubiti od momčadi. Neće joj odgovarati ni oba remija. Što je ostalo?
1) Pobijedite oba puta. 2) Pobijedite samo jednom, a drugu igru ​​smanjite na remi.

Vjerojatnost dobitka je 0,4 . Vjerojatnost dobitka oba puta je jednaka 0,4 · 0,4 = 0,16.

Vjerojatnost remija je 1 - 0,4 - 0,4 = 0,2 . Kolika je vjerojatnost jednog vremena
jednom remizirati i pobijediti? 0,4 · 0,2? Ne, jednako je 0,4 0,2 + 0,2 0,4.
Poanta je da možete dobiti prvu utakmicu, a možete dobiti i drugu, to je važno.
Sada izračunavamo vjerojatnost prolaska u sljedeći krug: 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0,32 .

Odgovor: 0,32

Rješenje ilustrirajmo grafički pomoću tablice 10 x 10 iz 100 Stanice:

Crvena boja označava pobjedu, boja močvare označava poraz, plava boja označava neriješeno.

Siva ćelija: prva utakmica je poraz, druga utakmica je poraz.
Crvena stanica: prva utakmica je poraz, druga utakmica je pobjeda.
Green cell: prva utakmica je pobjeda, druga utakmica je neriješeno.
Plavi kvadrat: prva partija je neriješeno, druga partija je neriješeno.

U ovom dijagramu ćemo obje pobjede obojiti u žuto,
plava - jedna pobjeda i jedan remi.

I još jedan vizualni dijagram. U prvom trenutku tim ima
tri opcije za razvoj događaja: pobjeda, remi i poraz.

U svakom slučaju, postoje tri moguća ishoda druge utakmice.

Ostavimo samo one grane koje odgovaraju momčadi.

Izračunajmo vjerojatnost svake grane i zbrojimo ih.