Muchas veces el tasador tiene que analizar el mercado inmobiliario del segmento en el que se encuentra el objeto de tasación. Si el mercado está desarrollado, puede ser difícil analizar todo el conjunto de objetos presentados, por lo tanto, se utiliza una muestra de objetos para el análisis. Esta muestra no siempre es homogénea, a veces es necesario despejarla de extremos: ofertas de mercado demasiado altas o demasiado bajas. Para ello, se aplica intervalo de confianza. Objetivo este estudio- realizar un análisis comparativo de dos métodos para calcular el intervalo de confianza y elegir Mejor opción cálculo al trabajar con diferentes muestras en el sistema estimatica.pro.

Intervalo de confianza: calculado sobre la base de la muestra, el intervalo de valores de la característica, que con una probabilidad conocida contiene el parámetro estimado de la población general.

El significado de calcular el intervalo de confianza es construir un intervalo de este tipo basado en los datos de la muestra para que se pueda afirmar con una probabilidad determinada que el valor del parámetro estimado se encuentra en este intervalo. En otras palabras, el intervalo de confianza con cierta probabilidad contiene el valor desconocido de la cantidad estimada. Cuanto mayor sea el intervalo, mayor será la inexactitud.

Existen diferentes métodos para determinar el intervalo de confianza. En este artículo, consideraremos 2 formas:

• a través de la mediana y la desviación estándar;
• a través del valor crítico del estadístico t (coeficiente de Student).

Etapas de un análisis comparativo de diferentes métodos para calcular IC:

1. formar una muestra de datos;

2. procesarlo métodos de estadística: calcular la media, la mediana, la varianza, etc.;

3. calculamos el intervalo de confianza de dos maneras;

4. Analizar las muestras limpias y los intervalos de confianza obtenidos.

Etapa 1. Muestreo de datos

La muestra se conformó utilizando el sistema estimatica.pro. La muestra incluyó 91 ofertas para la venta de apartamentos de 1 habitación en la 3ª zona de precios con el tipo de planificación "Khrushchev".

Tabla 1. Muestra inicial

Figura 1. Muestra inicial

Etapa 2. Procesamiento de la muestra inicial

El procesamiento de muestras por métodos estadísticos requiere el cálculo de los siguientes valores:

1. Media aritmética

2. Mediana - un número que caracteriza la muestra: exactamente la mitad de los elementos de la muestra son mayores que la mediana, la otra mitad es menor que la mediana

(para una muestra con un número impar de valores)

3. Rango: la diferencia entre los valores máximo y mínimo en la muestra

4. Varianza: se utiliza para estimar con mayor precisión la variación de los datos

5. La desviación estándar de la muestra (en adelante, RSD) es el indicador más común de la dispersión de los valores de ajuste alrededor de la media aritmética.

6. Coeficiente de variación: refleja el grado de dispersión de los valores de ajuste

7. coeficiente de oscilación: refleja la fluctuación relativa de los valores extremos de los precios en la muestra alrededor del promedio

Tabla 2. Indicadores estadísticos de la muestra original

El coeficiente de variación, que caracteriza la homogeneidad de los datos, es del 12,29%, pero el coeficiente de oscilación es demasiado grande. Así, podemos afirmar que la muestra original no es homogénea, así que pasemos al cálculo del intervalo de confianza.

Etapa 3. Cálculo del intervalo de confianza

Método 1. Cálculo a través de la mediana y desviación estándar.

El intervalo de confianza se determina de la siguiente manera: el valor mínimo: la desviación estándar se resta de la mediana; el valor máximo: la desviación estándar se agrega a la mediana.

Por lo tanto, el intervalo de confianza (47179 CU; 60689 CU)

Arroz. 2. Valores dentro del intervalo de confianza 1.

Método 2. Construcción de un intervalo de confianza a través del valor crítico del estadístico t (coeficiente de Student)

S.V. Gribovsky en el libro " métodos matemáticos evaluación del valor de la propiedad” describe cómo calcular el intervalo de confianza a través del coeficiente de Student. Al calcular por este método, el propio estimador debe establecer el nivel de significación ∝, que determina la probabilidad con la que se construirá el intervalo de confianza. Los niveles de significancia de 0.1 se usan comúnmente; 0,05 y 0,01. Corresponden a probabilidades de confianza de 0,9; 0,95 y 0,99. Con este método, los valores verdaderos de la esperanza matemática y la varianza se consideran prácticamente desconocidos (lo que casi siempre es cierto cuando se resuelven problemas prácticos de evaluación).

Fórmula del intervalo de confianza:

n - tamaño de la muestra;

El valor crítico de las estadísticas t (distribuciones de Student) con un nivel de significación ∝, el número de grados de libertad n-1, que se determina mediante tablas estadísticas especiales o utilizando MS Excel (→"Estadístico"→ STUDRASPOBR);

∝ - nivel de significancia, tomamos ∝=0.01.

Arroz. 2. Valores dentro del intervalo de confianza 2.

Paso 4. Análisis de diferentes formas de calcular el intervalo de confianza

Dos métodos para calcular el intervalo de confianza, a través de la mediana y el coeficiente de Student, llevaron a diferentes valores de los intervalos. En consecuencia, se obtuvieron dos muestras purificadas diferentes.

Tabla 3. Indicadores estadísticos para tres muestras.

En base a los cálculos realizados, podemos decir que los valores de los intervalos de confianza obtenidos por diferentes métodos se cruzan, por lo que se puede utilizar cualquiera de los métodos de cálculo a criterio del valuador.

Sin embargo, creemos que al trabajar en el sistema estimatica.pro, es recomendable elegir un método para calcular el intervalo de confianza, dependiendo del grado de desarrollo del mercado:

• si el mercado no está desarrollado, aplicar el método de cálculo a través de la mediana y la desviación estándar, ya que el número de objetos retirados en este caso es pequeño;
• si el mercado es desarrollado, aplicar el cálculo a través del valor crítico del estadístico t (coeficiente de Student), ya que es posible formar una muestra inicial grande.

En la elaboración del artículo se utilizaron:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Métodos matemáticos para evaluar el valor de la propiedad. Moscú, 2014

2. Datos del sistema estimatica.pro

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA FRECUENCIAS Y PARTES

© 2008

Instituto Nacional de Salud Pública, Oslo, Noruega

El artículo describe y discute el cálculo de intervalos de confianza para frecuencias y proporciones utilizando los métodos de Wald, Wilson, Klopper-Pearson, utilizando la transformación angular y el método de Wald con corrección Agresti-Cowll. El material presentado da información general sobre métodos para el cálculo de intervalos de confianza para frecuencias y proporciones y tiene como objetivo despertar el interés de los lectores de la revista no solo en el uso de intervalos de confianza al momento de presentar los resultados de sus propias investigaciones, sino también en la lectura de literatura especializada antes de comenzar a trabajar en futuras publicaciones.

Palabras clave : intervalo de confianza, frecuencia, proporción

En una de las publicaciones anteriores, se mencionó brevemente la descripción de datos cualitativos y se informó que su estimación de intervalo es preferible a una estimación puntual para describir la frecuencia de aparición de la característica estudiada en la población general. De hecho, dado que los estudios se realizan utilizando datos de muestra, la proyección de los resultados sobre la población general debe contener un elemento de inexactitud en la estimación de la muestra. El intervalo de confianza es una medida de la precisión del parámetro estimado. Es interesante que en algunos libros sobre los fundamentos de la estadística para médicos, se ignore por completo el tema de los intervalos de confianza para las frecuencias. En este artículo, consideraremos varias formas de calcular los intervalos de confianza para las frecuencias, suponiendo características de la muestra como la no recurrencia y la representatividad, así como la independencia de las observaciones entre sí. La frecuencia en este artículo no se entiende como un número absoluto que muestra cuántas veces ocurre este o aquel valor en el agregado, sino un valor relativo que determina la proporción de participantes del estudio que tienen el rasgo en estudio.

En la investigación biomédica, los intervalos de confianza del 95% son los más utilizados. Este intervalo de confianza es la región dentro de la cual cae la verdadera proporción el 95% del tiempo. En otras palabras, se puede decir con un 95 % de certeza que el verdadero valor de la frecuencia de aparición de un rasgo en la población general estará dentro del intervalo de confianza del 95 %.

La mayoría de los libros de texto de estadística para investigadores médicos informan que el error de frecuencia se calcula utilizando la fórmula

donde p es la frecuencia de ocurrencia de la característica en la muestra (valor de 0 a 1). En la mayoría de los artículos científicos nacionales, se indica el valor de la frecuencia de aparición de una característica en la muestra (p), así como su error (s) en forma de p ± s. Sin embargo, es más conveniente presentar un intervalo de confianza del 95% para la frecuencia de aparición de un rasgo en la población general, que incluirá valores de

antes.

En algunos libros de texto, para muestras pequeñas, se recomienda reemplazar el valor de 1.96 con el valor de t para N - 1 grados de libertad, donde N es el número de observaciones en la muestra. El valor de t se encuentra en las tablas para la distribución t, que están disponibles en casi todos los libros de texto de estadística. El uso de la distribución de t para el método de Wald no proporciona ventajas visibles sobre otros métodos discutidos a continuación y, por lo tanto, algunos autores no lo aceptan.

El método anterior para calcular intervalos de confianza para frecuencias o fracciones lleva el nombre de Abraham Wald (Abraham Wald, 1902–1950), ya que comenzó a usarse ampliamente después de la publicación de Wald y Wolfowitz en 1939. Sin embargo, el método en sí fue propuesto por Pierre Simon Laplace (1749–1827) ya en 1812.

El método de Wald es muy popular, pero su aplicación está asociada con problemas significativos. El método no se recomienda para tamaños de muestra pequeños, así como en casos donde la frecuencia de ocurrencia de una característica tiende a 0 o 1 (0% o 100%) y simplemente no es posible para frecuencias de 0 y 1. Además, la aproximación de distribución normal, que se utiliza al calcular el error, "no funciona" en los casos en que n p< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

Dado que la nueva variable tiene una distribución normal, los límites superior e inferior del intervalo de confianza del 95 % para la variable φ serán φ-1,96 y φ+1,96left">

En lugar de 1,96 para muestras pequeñas, se recomienda sustituir el valor de t por N - 1 grados de libertad. Este método no da valores negativos y le permite estimar con mayor precisión los intervalos de confianza para las frecuencias que el método de Wald. Además, se describe en muchos libros de referencia nacionales sobre estadísticas médicas, lo que, sin embargo, no condujo a su uso generalizado en la investigación médica. No se recomienda calcular los intervalos de confianza usando una transformada de ángulo para frecuencias cercanas a 0 o 1.

Aquí es donde generalmente termina la descripción de los métodos para estimar los intervalos de confianza en la mayoría de los libros sobre los conceptos básicos de estadística para investigadores médicos, y este problema es típico no solo para la literatura nacional, sino también para la extranjera. Ambos métodos se basan en el teorema del límite central, lo que implica una muestra grande.

Dadas las deficiencias de estimar los intervalos de confianza utilizando los métodos anteriores, Clopper (Clopper) y Pearson (Pearson) propusieron en 1934 un método para calcular el llamado intervalo de confianza exacto, teniendo en cuenta la distribución binomial del rasgo estudiado. Este método está disponible en muchas calculadoras en línea, sin embargo, los intervalos de confianza obtenidos de esta manera son en la mayoría de los casos demasiado amplios. Al mismo tiempo, se recomienda el uso de este método en los casos en que se requiera una estimación conservadora. El grado de conservadurismo del método aumenta a medida que disminuye el tamaño de la muestra, especialmente para N< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

Según muchos estadísticos, la estimación más óptima de los intervalos de confianza para las frecuencias se realiza mediante el método de Wilson, propuesto en 1927, pero prácticamente no utilizado en la investigación biomédica nacional. Este método no solo permite estimar intervalos de confianza para frecuencias muy pequeñas y muy altas, sino que también es aplicable a un número reducido de observaciones. EN vista general el intervalo de confianza según la fórmula de Wilson tiene la forma de

donde toma el valor 1.96 al calcular el intervalo de confianza del 95%, N es el número de observaciones y p es la frecuencia de la característica en la muestra. Este método está disponible en calculadoras en línea, por lo que su aplicación no es problemática. y no recomiendo usar este método para n p< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

Además del método de Wilson, también se cree que el método de Wald corregido por Agresti-Caull proporciona una estimación óptima del intervalo de confianza para las frecuencias. La corrección de Agresti-Coulle es un reemplazo en la fórmula de Wald de la frecuencia de ocurrencia de un rasgo en la muestra (p) por p`, al calcular qué 2 se suma al numerador y 4 al denominador, es decir , p` = (X + 2) / (N + 4), donde X es el número de participantes del estudio que tienen el rasgo en estudio y N es el tamaño de la muestra. Esta modificación produce resultados muy similares a los de la fórmula de Wilson, excepto cuando la tasa de eventos se aproxima al 0% o al 100% y la muestra es pequeña. Además de los métodos anteriores para calcular los intervalos de confianza de las frecuencias, se han propuesto correcciones de continuidad tanto para el método de Wald como para el método de Wilson para muestras pequeñas, pero los estudios han demostrado que su uso es inapropiado.

Considere la aplicación de los métodos anteriores para calcular los intervalos de confianza utilizando dos ejemplos. En el primer caso, estudiamos una muestra grande de 1000 participantes del estudio seleccionados al azar, de los cuales 450 tienen el rasgo en estudio (ya sea un factor de riesgo, un resultado o cualquier otro rasgo), que es una frecuencia de 0.45, o 45%. En el segundo caso, el estudio se realiza utilizando una muestra pequeña, digamos, solo 20 personas, y solo 1 participante en el estudio (5%) tiene el rasgo en estudio. Los intervalos de confianza para el método de Wald, para el método de Wald con corrección Agresti-Coll, para el método de Wilson se calcularon usando una calculadora en línea desarrollada por Jeff Sauro (http://www./wald.htm). Los intervalos de confianza de Wilson corregidos por continuidad se calcularon utilizando la calculadora proporcionada por Wassar Stats: sitio web para el cálculo estadístico (http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html). Los cálculos utilizando la transformación angular de Fisher se realizaron "manualmente" utilizando el valor crítico de t para 19 y 999 grados de libertad, respectivamente. Los resultados del cálculo se presentan en la tabla para ambos ejemplos.

Intervalos de confianza calculados de seis maneras diferentes para los dos ejemplos descritos en el texto

Como puede verse en la tabla, para el primer ejemplo, el intervalo de confianza calculado por el método de Wald "generalmente aceptado" entra en la región negativa, lo que no puede ser el caso de las frecuencias. Desafortunadamente, tales incidentes no son infrecuentes en la literatura rusa. La forma tradicional de representar los datos como una frecuencia y su error enmascara parcialmente este problema. Por ejemplo, si la frecuencia de aparición de un rasgo (en porcentaje) se presenta como 2,1 ± 1,4, entonces esto no es tan "irritante" como el 2,1 % (95 % IC: -0,7; 4,9), aunque y significa lo mismo. El método de Wald con la corrección de Agresti-Coulle y el cálculo mediante la transformación angular dan un límite inferior que tiende a cero. El método de Wilson con corrección de continuidad y el "método exacto" dan intervalos de confianza más amplios que el método de Wilson. Para el segundo ejemplo, todos los métodos dan aproximadamente los mismos intervalos de confianza (las diferencias aparecen solo en milésimas), lo cual no es sorprendente, ya que la frecuencia del evento en este ejemplo no difiere mucho del 50 % y el tamaño de la muestra es bastante grande. .

Para los lectores interesados ​​en este problema, podemos recomendar los trabajos de R. G. Newcombe y Brown, Cai y Dasgupta, que dan las ventajas y desventajas de usar 7 y 10 métodos diferentes para calcular los intervalos de confianza, respectivamente. De manuales domésticos, se recomienda el libro y, en el que, además de una descripción detallada de la teoría, se presentan los métodos de Wald y Wilson, así como un método para calcular intervalos de confianza, teniendo en cuenta la distribución de frecuencia binomial. Además de las calculadoras en línea gratuitas (http://www./wald.htm y http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html), los intervalos de confianza para las frecuencias (¡y no solo!) pueden calcularse utilizando el Programa CIA (Análisis de intervalos de confianza), que puede descargarse de http://www. escuela de Medicina. sotón C.A. reino unido/cia/.

El siguiente artículo analizará formas univariadas de comparar datos cualitativos.

Bibliografía

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES

A. M. Grjibovski

Instituto Nacional de Salud Pública, Oslo, Noruega

El artículo presenta varios métodos para el cálculo de intervalos de confianza para proporciones binomiales, a saber, los métodos de Wald, Wilson, arcoseno, Agresti-Coull y exacto de Clopper-Pearson. El documento solo brinda una introducción general al problema de la estimación del intervalo de confianza de una proporción binomial y su objetivo no es solo estimular a los lectores a usar intervalos de confianza al presentar los resultados de sus propios intervalos de investigación empíricos, sino también alentarlos a consultar libros de estadística antes. hasta el análisis de datos propios y la preparación de manuscritos.

palabras clave: intervalo de confianza, proporción

Información del contacto:

– Asesor Principal, Instituto Nacional de Salud Pública, Oslo, Noruega

En las subsecciones anteriores, consideramos la cuestión de estimar el parámetro desconocido A un número. Tal evaluación se llama "punto". En una serie de tareas, se requiere no solo encontrar el parámetro A valor numérico adecuado, sino también evaluar su precisión y fiabilidad. Se requiere saber a qué errores puede conducir la sustitución de parámetros A su estimación puntual A y ¿con qué grado de confianza podemos esperar que estos errores no vayan más allá de los límites conocidos?

Los problemas de este tipo son especialmente relevantes para un pequeño número de observaciones, cuando la estimación puntual y en es en gran medida aleatorio y una sustitución aproximada de a por a puede conducir a errores graves.

Para dar una idea de la precisión y fiabilidad de la estimación. A,

en estadística matemática se utilizan los llamados intervalos de confianza y probabilidades de confianza.

Sea para el parámetro A derivado de la experiencia estimación imparcial A. Queremos estimar el posible error en este caso. Asignemos una probabilidad p lo suficientemente grande (por ejemplo, p = 0.9, 0.95 o 0.99) tal que un evento con probabilidad p pueda considerarse prácticamente seguro, y encontremos un valor de s para el cual

Entonces el rango de valores prácticamente posibles del error que ocurre al reemplazar A en A, será ± s; grandes errores absolutos aparecerán solo con una pequeña probabilidad a = 1 - p. Reescribamos (14.3.1) como:

La igualdad (14.3.2) significa que con probabilidad p el valor desconocido del parámetro A cae dentro del intervalo

En este caso, cabe señalar una circunstancia. Previamente, consideramos repetidamente la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en un intervalo no aleatorio dado. Aquí la situación es diferente: A no aleatorio, sino intervalo aleatorio / r. Aleatoriamente su posición en el eje x, determinada por su centro A; en general, la longitud del intervalo 2s también es aleatoria, ya que el valor de s se calcula, por regla general, a partir de datos experimentales. Por lo tanto, en este caso, sería mejor interpretar el valor de p no como la probabilidad de "dar" en el punto A en el intervalo / p, sino como la probabilidad de que un intervalo aleatorio / p cubra el punto A(Figura 14.3.1).

Arroz. 14.3.1

La probabilidad p se llama nivel de confianza, y el intervalo / p - intervalo de confianza. Límites de intervalo si. a x \u003d a- arena un 2 = un + y se llaman límites de confianza.

Démosle una interpretación más al concepto de intervalo de confianza: puede considerarse como un intervalo de valores de parámetros A, compatible con los datos experimentales y que no los contradiga. De hecho, si aceptamos considerar un evento con una probabilidad a = 1-p prácticamente imposible, entonces aquellos valores del parámetro a para los cuales un - un> s deben ser reconocidos como contradictorios con los datos experimentales, y aquellos para los cuales |a - A en t na 2 .

Sea para el parámetro A hay una estimación imparcial A. Si conociéramos la ley de distribución de la cantidad A, el problema de encontrar el intervalo de confianza sería bastante simple: bastaría con encontrar un valor de s para el cual

La dificultad radica en el hecho de que la ley de distribución de la estimación A depende de la ley de distribucion de la cantidad X y, en consecuencia, sobre sus parámetros desconocidos (en particular, sobre el propio parámetro A).

Para sortear esta dificultad, se puede aplicar el siguiente truco aproximado: reemplazar los parámetros desconocidos en la expresión de s con sus estimaciones puntuales. Con un número relativamente grande de experimentos PAG(alrededor de 20 ... 30) esta técnica suele dar resultados satisfactorios en términos de precisión.

Como ejemplo, considere el problema del intervalo de confianza para la expectativa matemática.

dejar producido PAG X, cuyas características son la esperanza matemática T y varianza D- desconocido. Para estos parámetros se obtuvieron las siguientes estimaciones:

Se requiere construir un intervalo de confianza / р, correspondiente a la probabilidad de confianza р, para la expectativa matemática T cantidades X.

Para resolver este problema, usamos el hecho de que la cantidad T es la suma PAG variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente X h y de acuerdo con el teorema del límite central para suficientemente grande PAG su ley de distribución es cercana a la normal. En la práctica, incluso con un número relativamente pequeño de términos (del orden de 10 ... 20), la ley de distribución de la suma puede considerarse aproximadamente normal. Supondremos que el valor T distribuidos de acuerdo con la ley normal. Las características de esta ley - la expectativa matemática y la varianza - son iguales, respectivamente T Y

(ver capítulo 13 subsección 13.3). Supongamos que el valor D nos es conocido y encontraremos tal valor Ep para el cual

Aplicando la fórmula (6.3.5) del Capítulo 6, expresamos la probabilidad del lado izquierdo de (14.3.5) en términos de la función de distribución normal

donde es la desviación estándar de la estimación t

De la ecuación

encontrar el valor Sp:

donde arg Ф* (x) es la función inversa de Ф* (X), aquellos. tal valor del argumento para el cual la función de distribución normal es igual a X.

Dispersión D, a través del cual se expresa el valor A 1P, no lo sabemos exactamente; como su valor aproximado, puede utilizar la estimación D(14.3.4) y poner aproximadamente:

Así, se resuelve aproximadamente el problema de construir un intervalo de confianza, el cual es igual a:

donde gp se define por la fórmula (14.3.7).

Para evitar la interpolación inversa en las tablas de la función Ф * (l) al calcular s p, es conveniente compilar una tabla especial (Tabla 14.3.1), que enumera los valores de la cantidad

dependiendo de R. El valor (p determina para la ley normal el número de desviaciones estándar que deben reservarse a la derecha y a la izquierda del centro de dispersión para que la probabilidad de caer en el área resultante sea igual a p.

A través del valor de 7 p, el intervalo de confianza se expresa como:

Tabla 14.3.1

Ejemplo 1. Se realizaron 20 experimentos sobre el valor X; los resultados se muestran en la tabla. 14.3.2.

Tabla 14.3.2

Se requiere encontrar una estimación de para la expectativa matemática de la cantidad X y construya un intervalo de confianza correspondiente a un nivel de confianza p = 0,8.

Solución. Tenemos:

Eligiendo por el origen n: = 10, según la tercera fórmula (14.2.14) encontramos la estimación insesgada D :

Según la tabla 14.3.1 encontramos

Límites de confianza:

Intervalo de confianza:

Valores paramétricos T, que se encuentran en este intervalo son compatibles con los datos experimentales que figuran en la tabla. 14.3.2.

De manera similar, se puede construir un intervalo de confianza para la varianza.

dejar producido PAG experimentos independientes en una variable aleatoria X con parámetros desconocidos de y A, y para la varianza D se obtiene la estimación insesgada:

Se requiere construir aproximadamente un intervalo de confianza para la varianza.

De la fórmula (14.3.11) se puede ver que el valor D representa

cantidad PAG variables aleatorias de la forma . Estos valores no son

independientes, ya que cualquiera de ellos incluye la cantidad T, dependiente de todos los demás. Sin embargo, se puede demostrar que como PAG la ley de distribución de su suma también es cercana a la normal. casi en PAG= 20...30 ya se puede considerar normal.

Supongamos que esto es así, y busquemos las características de esta ley: la esperanza matemática y la varianza. Desde la puntuación D- imparcial, entonces M[D] = D.

Cálculo de varianza D D está asociado a cálculos relativamente complejos, por lo que damos su expresión sin derivación:

donde c 4 - el cuarto momento central de la cantidad X.

Para usar esta expresión, debe sustituir en ella los valores de 4 y D(al menos aproximado). En lugar de D puedes usar la evaluacion D. En principio, el cuarto momento central también puede ser reemplazado por su estimación, por ejemplo, por un valor de la forma:

pero tal reemplazo dará una precisión extremadamente baja, ya que en general, con un número limitado de experimentos, los momentos de alto orden se determinan con grandes errores. Sin embargo, en la práctica sucede a menudo que la forma de la ley de distribución de la cantidad X conocido de antemano: sólo se desconocen sus parámetros. Entonces podemos tratar de expresar u4 en términos de D.

Tomemos el caso más común, cuando el valor X distribuidos de acuerdo con la ley normal. Entonces su cuarto momento central se expresa en términos de la varianza (ver Capítulo 6 Subsección 6.2);

y la fórmula (14.3.12) da o

Reemplazando en (14.3.14) la incógnita D su evaluación D, obtenemos: de donde

El momento u 4 se puede expresar en términos de D también en algunos otros casos, cuando la distribución de la cantidad X no es normal, pero su apariencia es conocida. Por ejemplo, para la ley de densidad uniforme (ver Capítulo 5) tenemos:

donde (a, P) es el intervalo en el que se da la ley.

Por eso,

De acuerdo con la fórmula (14.3.12) obtenemos: de donde encontramos aproximadamente

En los casos en que se desconozca la forma de la ley de distribución del valor de 26, al estimar el valor de a /) todavía se recomienda usar la fórmula (14.3.16), si no hay motivos especiales para creer que esto ley es muy diferente de la normal (tiene una marcada curtosis positiva o negativa) .

Si el valor aproximado de a/) se obtiene de una forma u otra, entonces es posible construir un intervalo de confianza para la varianza de la misma forma que lo construimos para la esperanza matemática:

donde el valor que depende de la probabilidad dada p se encuentra en la Tabla. 14.3.1.

Ejemplo 2. Hallar un intervalo de confianza de aproximadamente el 80 % para la varianza de una variable aleatoria X bajo las condiciones del ejemplo 1, si se sabe que el valor X distribuidos de acuerdo con una ley cercana a la normal.

Solución. El valor sigue siendo el mismo que en la Tabla. 14.3.1:

Según la fórmula (14.3.16)

Según la fórmula (14.3.18) encontramos el intervalo de confianza:

El rango correspondiente de valores de la desviación estándar: (0.21; 0.29).

14.4. Métodos exactos para construir intervalos de confianza para los parámetros de una variable aleatoria distribuida según la ley normal

En la subsección anterior, consideramos métodos aproximadamente aproximados para construir intervalos de confianza para la media y la varianza. Aquí damos una idea de los métodos exactos para resolver el mismo problema. Resaltamos que para encontrar con precisión los intervalos de confianza, es absolutamente necesario conocer de antemano la forma de la ley de distribución de la cantidad X, mientras que esto no es necesario para la aplicación de métodos aproximados.

La idea de métodos exactos para construir intervalos de confianza es la siguiente. Cualquier intervalo de confianza se encuentra a partir de la condición que expresa la probabilidad de cumplimiento de algunas desigualdades, que incluyen la estimación que nos interesa. A. Ley de distribución de calificaciones A en el caso general depende de los parámetros desconocidos de la cantidad X. Sin embargo, a veces es posible pasar desigualdades de una variable aleatoria A a alguna otra función de los valores observados X p X 2, ..., X pág. cuya ley de distribución no depende de parámetros desconocidos, sino que depende solo del número de experimentos y de la forma de la ley de distribución de la cantidad X. Las variables aleatorias de este tipo juegan un papel importante en las estadísticas matemáticas; han sido estudiados con más detalle para el caso de una distribución normal de la cantidad X.

Por ejemplo, se ha probado que bajo una distribución normal de la cantidad X valor aleatorio

sujeto a los llamados ley de distribucion del estudiante Con PAG- 1 grados de libertad; la densidad de esta ley tiene la forma

donde G(x) es la función gamma conocida:

También se demuestra que la variable aleatoria

tiene "distribución % 2 " con PAG- 1 grados de libertad (ver capítulo 7), cuya densidad se expresa mediante la fórmula

Sin detenernos en las derivaciones de las distribuciones (14.4.2) y (14.4.4), mostraremos cómo se pueden aplicar al construir intervalos de confianza para los parámetros Ty D.

dejar producido PAG experimentos independientes en una variable aleatoria X, distribuidos de acuerdo con la ley normal con parámetros desconocidos TÍO. Para estos parámetros, las estimaciones

Se requiere construir intervalos de confianza para ambos parámetros correspondientes a la probabilidad de confianza p.

Primero construyamos un intervalo de confianza para la expectativa matemática. Es natural tomar este intervalo simétrico con respecto a T; denote por s p la mitad de la longitud del intervalo. El valor de sp debe elegirse de modo que la condición

Intentemos pasar por el lado izquierdo de la igualdad (14.4.5) de una variable aleatoria T a una variable aleatoria T, distribuidos de acuerdo con la ley de Student. Para ello, multiplicamos ambas partes de la desigualdad |m-w?|

a un valor positivo: o, usando la notación (14.4.1),

Encontremos un número / p tal que el valor / p se pueda encontrar a partir de la condición

De la fórmula (14.4.2) se puede ver que (1) es una función par, por lo que (14.4.8) da

La igualdad (14.4.9) determina el valor /p en función de p. Si tienes a tu disposición una tabla de valores integrales

entonces el valor / p se puede encontrar por interpolación inversa en la tabla. Sin embargo, es más conveniente compilar una tabla de valores / p por adelantado. Tal tabla se da en el Apéndice (Tabla 5). Esta tabla muestra los valores en función de la probabilidad de confianza p y el número de grados de libertad PAG- 1. Habiendo determinado / p según la tabla. 5 y suponiendo

encontramos la mitad del ancho del intervalo de confianza / p y el propio intervalo

Ejemplo 1. Se realizaron 5 experimentos independientes sobre una variable aleatoria X, distribuida normalmente con parámetros desconocidos T y sobre Los resultados de los experimentos se dan en la tabla. 14.4.1.

Tabla 14.4.1

Encuentre una estimación T para la expectativa matemática y construya un intervalo de confianza del 90% / p para ello (es decir, el intervalo correspondiente a la probabilidad de confianza p \u003d 0.9).

Solución. Tenemos:

Según el cuadro 5 de la solicitud de PAG - 1 = 4 y p = 0.9 encontramos dónde

El intervalo de confianza será

Ejemplo 2. Para las condiciones del ejemplo 1 del inciso 14.3, asumiendo el valor X distribuida normalmente, encuentre el intervalo de confianza exacto.

Solución. Según la tabla 5 de la solicitud, encontramos en PAG - 1 = 19ir =

0,8/p = 1,328; de aquí

Comparando con la solución del ejemplo 1 de la subsección 14.3 (e p = 0.072), vemos que la discrepancia es muy pequeña. Si mantenemos la precisión al segundo decimal, entonces los intervalos de confianza encontrados por los métodos exacto y aproximado son los mismos:

Pasemos a construir un intervalo de confianza para la varianza. Considere la estimación de la varianza imparcial

y expresar la variable aleatoria D a través del valor V(14.4.3) con distribución x 2 (14.4.4):

Conociendo la ley de distribución de la cantidad v, es posible encontrar el intervalo / (1 ) en el que cae con una probabilidad dada p.

ley de distribucion k n _ x (v) el valor de I 7 tiene la forma que se muestra en la fig. 14.4.1.

Arroz. 14.4.1

Surge la pregunta: ¿cómo elegir el intervalo / p? Si la ley de distribución de la cantidad V fuera simétrica (como una ley normal o la distribución de Student), sería natural tomar el intervalo /p simétrico con respecto a la esperanza matemática. En este caso, la ley k n _ x (v) asimétrico. Acordemos elegir el intervalo /p de modo que las probabilidades de salida de la cantidad V fuera del intervalo a la derecha y a la izquierda (áreas sombreadas en la Fig. 14.4.1) eran iguales e iguales

Para construir un intervalo / p con esta propiedad, usamos Table. 4 aplicaciones: contiene números y) tal que

por la cantidad v, que tiene una distribución x 2 con r grados de libertad. En nuestro caso r = norte- 1. Fijar r = norte- 1 y encontrar en la línea correspondiente de la tabla. 4 dos valores x2 - uno correspondiente a una probabilidad el otro - probabilidades Designemos estos

valores a las 2 Y ¿SG? El intervalo tiene y 2 , con la izquierda y y ~ extremo derecho

Ahora encontramos el intervalo de confianza requerido /| para la varianza con límites D, y D2, que cubre el punto D con probabilidad p:

Construyamos tal intervalo / (, = (?> b A), que cubre el punto D si y solo si el valor V cae en el intervalo / r. Demostremos que el intervalo

satisface esta condición. De hecho, las desigualdades son equivalentes a las desigualdades

y estas desigualdades se cumplen con probabilidad p. Así, se encuentra el intervalo de confianza para la dispersión y se expresa mediante la fórmula (14.4.13).

Ejemplo 3. Encuentre el intervalo de confianza para la varianza bajo las condiciones del ejemplo 2 de la subsección 14.3, si se sabe que el valor X distribuido normalmente.

Solución. Tenemos . Según la tabla 4 de la solicitud

nos encontramos en r = norte - 1 = 19

De acuerdo con la fórmula (14.4.13) encontramos el intervalo de confianza para la dispersión

Intervalo correspondiente para la desviación estándar: (0,21; 0,32). Este intervalo solo supera ligeramente el intervalo (0.21; 0.29) obtenido en el Ejemplo 2 de la Subsección 14.3 por el método aproximado.

• La figura 14.3.1 considera un intervalo de confianza que es simétrico con respecto a a. En general, como veremos más adelante, esto no es necesario.

Intervalo de confianza para la esperanza matemática - este es un intervalo de este tipo calculado a partir de los datos, que con una probabilidad conocida contiene la expectativa matemática de la población general. La estimación natural de la expectativa matemática es la media aritmética de sus valores observados. Por lo tanto, más adelante durante la lección usaremos los términos "promedio", "valor promedio". En los problemas de cálculo del intervalo de confianza, la respuesta que se requiere con mayor frecuencia es "El intervalo de confianza del número promedio [valor en un problema específico] es de [valor más bajo] a [valor más alto]". Con la ayuda del intervalo de confianza, es posible evaluar no solo los valores promedio, sino también la participación de una u otra característica de la población general. Los valores medios, la varianza, la desviación estándar y el error, a través de los cuales llegaremos a nuevas definiciones y fórmulas, se analizan en la lección. Características de la muestra y la población .

Estimaciones puntuales y de intervalo de la media

Si el valor medio de la población general se estima mediante un número (punto), entonces una media específica calculada a partir de una muestra de observaciones se toma como una estimación de la media desconocida de la población general. En este caso, el valor de la media muestral -una variable aleatoria- no coincide con el valor medio de la población general. Por lo tanto, al indicar el valor medio de la muestra, también es necesario indicar el error de muestra al mismo tiempo. El error estándar se utiliza como medida del error de muestreo, que se expresa en las mismas unidades que la media. Por lo tanto, a menudo se usa la siguiente notación: .

Si se requiere que la estimación de la media esté asociada con una cierta probabilidad, entonces el parámetro de la población general de interés debe estimarse no por un solo número, sino por un intervalo. Un intervalo de confianza es un intervalo en el que, con cierta probabilidad, PAG se encuentra el valor del indicador estimado de la población general. Intervalo de confianza en el que con probabilidad PAG = 1 - α es una variable aleatoria, se calcula de la siguiente manera:

,

α = 1 - PAG, que se puede encontrar en el apéndice de casi cualquier libro de estadística.

En la práctica, la media y la varianza de la población no se conocen, por lo que la varianza de la población se reemplaza por la varianza de la muestra y la media de la población por la media de la muestra. Por lo tanto, el intervalo de confianza en la mayoría de los casos se calcula de la siguiente manera:

.

La fórmula del intervalo de confianza se puede utilizar para estimar la media de la población si

• se conoce la desviación estándar de la población general;
• o no se conoce la desviación estándar de la población, pero el tamaño de la muestra es mayor a 30.

La media muestral es una estimación no sesgada de la media poblacional. A su vez, la varianza muestral no es una estimación imparcial de la varianza de la población. Para obtener una estimación no sesgada de la varianza de la población en la fórmula de la varianza de la muestra, el tamaño de la muestra es norte debe ser reemplazado con norte-1.

Ejemplo 1 Se recopila información de 100 cafeterías seleccionadas al azar en una ciudad determinada de que el número promedio de empleados en ellas es 10,5 con una desviación estándar de 4,6. Determine el intervalo de confianza del 95% del número de empleados del café.

donde es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significación α = 0,05 .

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95 % para el número medio de empleados de cafetería estaba entre 9,6 y 11,4.

Ejemplo 2 Para una muestra aleatoria de una población general de 64 observaciones, se calcularon los siguientes valores totales:

suma de valores en observaciones,

suma de las desviaciones al cuadrado de los valores de la media .

Calcule el intervalo de confianza del 95% para el valor esperado.

calcular la desviación estándar:

,

calcular el valor medio:

.

Sustituye los valores de la expresión por el intervalo de confianza:

donde es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significación α = 0,05 .

Obtenemos:

Así, el intervalo de confianza del 95% para la esperanza matemática de esta muestra osciló entre 7,484 y 11,266.

Ejemplo 3 Para una muestra aleatoria de una población general de 100 observaciones, se calculó un valor medio de 15,2 y una desviación estándar de 3,2. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para el valor esperado, luego el intervalo de confianza del 99 %. Si la potencia de la muestra y su variación siguen siendo las mismas, pero el factor de confianza aumenta, ¿se estrechará o ampliará el intervalo de confianza?

Sustituimos estos valores en la expresión del intervalo de confianza:

donde es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significación α = 0,05 .

Obtenemos:

.

Así, el intervalo de confianza del 95% para el promedio de esta muestra fue de 14,57 a 15,82.

De nuevo, sustituimos estos valores en la expresión del intervalo de confianza:

donde es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significación α = 0,01 .

Obtenemos:

.

Así, el intervalo de confianza del 99% para el promedio de esta muestra fue de 14,37 a 16,02.

Como puede ver, a medida que aumenta el factor de confianza, también aumenta el valor crítico de la distribución normal estándar y, por lo tanto, los puntos inicial y final del intervalo se ubican más lejos de la media, y por lo tanto el intervalo de confianza para la expectativa matemática aumenta

Estimaciones puntuales e interválicas de la gravedad específica

La participación de alguna característica de la muestra se puede interpretar como una estimación puntual Gravedad específica pag el mismo rasgo en la población general. Si es necesario asociar este valor con una probabilidad, entonces se debe calcular el intervalo de confianza de la gravedad específica. pag característica en la población general con una probabilidad PAG = 1 - α :

.

Ejemplo 4 Hay dos candidatos en cierta ciudad A Y B postulando para alcalde. Se encuestó aleatoriamente a 200 vecinos de la ciudad, de los cuales el 46% respondió que votaría por el candidato A, 26% - para el candidato B y el 28% no sabe por quién votará. Determine el intervalo de confianza del 95% para la proporción de residentes de la ciudad que apoyan al candidato A.

Déjanos tener un gran número de artículos con una distribución normal de algunas características (por ejemplo, un almacén lleno del mismo tipo de verduras, cuyo tamaño y peso varía). Desea conocer las características promedio de todo el lote de productos, pero no tiene ni el tiempo ni las ganas de medir y pesar cada verdura. Usted entiende que esto no es necesario. Pero, ¿cuántas piezas necesitaría tomar para una inspección aleatoria? Antes de dar algunas fórmulas útiles para esta situación, recordemos algunas notaciones. Primero, si midiéramos todo el almacén de verduras (este conjunto de elementos se llama población general), entonces encontraríamos con toda la precisión disponible el valor promedio del peso de todo el lote. Llamemos a este promedio gen promedio X. - promedio general. Ya sabemos lo que está completamente determinado si se conocen su valor medio y su desviación s. Es cierto que hasta ahora no conocemos ni el gen promedio ni el s de la población general. Solo podemos tomar alguna muestra, medir los valores que necesitamos y calcular para esta muestra tanto el valor promedio X avg como la desviación estándar S vyb. Se sabe que si nuestra muestra de verificación contiene una gran cantidad de elementos (generalmente n más de 30) y se toman realmente al azar, entonces las s de la población casi no diferirán de las muestras S. Además, para el caso de una distribución normal, podemos usar las siguientes fórmulas:

Con una probabilidad del 95%

Con una probabilidad del 99%

.

La relación entre el valor de t y el valor de la probabilidad P(t), con la que queremos conocer el intervalo de confianza, se puede tomar de la siguiente tabla:

Así, hemos determinado en qué rango se encuentra el valor promedio para la población general (con una probabilidad dada).

Si no tenemos una muestra lo suficientemente grande, no podemos afirmar que la población tiene s = S muestras. Además, en este caso, la cercanía de la muestra a la distribución normal es problemática. En este caso, también use S s en lugar de s en la fórmula:

pero el valor de t para una probabilidad fija P(t) dependerá del número de elementos de la muestra n. Cuanto mayor sea n, más cerca estará el intervalo de confianza resultante del valor dado por la fórmula (1). Los valores de t en este caso están tomados de otra tabla (prueba t de Student), que proporcionamos a continuación:

Valores de la prueba t de Student para probabilidad 0.95 y 0.99 

Ejemplo 3 Se seleccionaron aleatoriamente 30 personas entre los empleados de la empresa. Según la muestra, resultó que el salario promedio (por mes) es de 10 mil rublos con una desviación cuadrática promedio de 3 mil rublos. Con una probabilidad de 0.99 determine el salario promedio en la empresa. Solución: Por condición, tenemos n = 30, X cf. =10000, S=3000, P=0,99. Para encontrar el intervalo de confianza, usamos la fórmula correspondiente al criterio de Student. De acuerdo con la tabla para n \u003d 30 y P \u003d 0.99 encontramos t \u003d 2.756, por lo tanto,

aquellos. intervalo de confianza deseado 27484< Х ср.ген < 32516.

Entonces, con una probabilidad de 0.99, se puede argumentar que el intervalo (27484; 32516) contiene el salario promedio en la empresa.
Esperamos que utilice este método sin tener necesariamente una hoja de cálculo con usted cada vez. Los cálculos se pueden realizar automáticamente en Excel. Mientras está en un archivo de Excel, haga clic en el botón fx en el menú superior. Luego, seleccione entre las funciones el tipo "estadístico", y de la lista propuesta en el cuadro - STEUDRASP. Luego, cuando se le solicite, coloque el cursor en el campo "probabilidad", escriba el valor de la probabilidad recíproca (es decir, en nuestro caso, en lugar de la probabilidad de 0,95, debe escribir la probabilidad de 0,05). Aparentemente hoja de cálculo compilado para que el resultado responda a la pregunta de qué tan probable es que estemos equivocados. De manera similar, en el campo "grado de libertad", ingrese el valor (n-1) para su muestra.