Ko'pincha baholovchi baholash ob'ekti joylashgan segmentning ko'chmas mulk bozorini tahlil qilishi kerak. Agar bozor rivojlangan bo'lsa, taqdim etilgan ob'ektlarning butun to'plamini tahlil qilish qiyin bo'lishi mumkin, shuning uchun tahlil qilish uchun ob'ektlarning namunasi qo'llaniladi. Ushbu namuna har doim ham bir xil emas, ba'zida uni haddan tashqari yuqori yoki juda past bozor takliflaridan tozalash talab etiladi. Shu maqsadda u qo'llaniladi ishonch oralig'i. Maqsad bu tadqiqot- ishonch oralig'ini hisoblashning ikkita usulini qiyosiy tahlil qilish va tanlash eng yaxshi variant estimatica.pro tizimida turli xil namunalar bilan ishlashda hisoblash.

Ishonch oralig'i - namuna asosida hisoblangan xarakteristikaning qiymatlari oralig'i, ma'lum ehtimollik bilan umumiy populyatsiyaning taxminiy parametrini o'z ichiga oladi.

Ishonch oralig'ini hisoblashning ma'nosi namunaviy ma'lumotlarga asoslanib, taxmin qilingan parametrning qiymati ushbu oraliqda ekanligini ma'lum bir ehtimollik bilan tasdiqlash mumkin bo'lgan shunday intervalni qurishdir. Boshqacha qilib aytganda, ma'lum bir ehtimollik bilan ishonch oralig'i taxmin qilingan miqdorning noma'lum qiymatini o'z ichiga oladi. Interval qanchalik keng bo'lsa, noaniqlik shunchalik yuqori bo'ladi.

Ishonch oralig'ini aniqlashning turli usullari mavjud. Ushbu maqolada biz ikkita usulni ko'rib chiqamiz:

• median va standart og'ish orqali;
• t-statistikaning kritik qiymati orqali (Talaba koeffitsienti).

CIni hisoblashning turli usullarini qiyosiy tahlil qilish bosqichlari:

1. ma'lumotlar namunasini shakllantirish;

2. qayta ishlash statistik usullar: o'rtacha, mediana, dispersiya va boshqalarni hisoblash;

3. ishonch oralig'ini ikki usulda hisoblaymiz;

4. Tozalangan namunalar va olingan ishonch oraliqlarini tahlil qiling.

1-bosqich. Ma’lumotlardan namuna olish

Namuna estimatica.pro tizimi yordamida tuzilgan. Namuna "Xrushchev" rejalashtirish turi bilan 3-narx zonasida 1 xonali kvartiralarni sotish bo'yicha 91 ta taklifni o'z ichiga oladi.

Jadval 1. Dastlabki namuna

1-rasm. Dastlabki namuna

2-bosqich. Dastlabki namunani qayta ishlash

Namunalarni statistik usullar bilan qayta ishlash quyidagi qiymatlarni hisoblashni talab qiladi:

1. O‘rtacha arifmetik

2. Median - namunani tavsiflovchi raqam: namuna elementlarining aynan yarmi medianadan katta, qolgan yarmi medianadan kichik.

(toq sonli qiymatli namuna uchun)

3. Diapazon - namunadagi maksimal va minimal qiymatlar orasidagi farq

4. Dispersiya - ma'lumotlarning o'zgarishini aniqroq baholash uchun ishlatiladi

5. Namuna uchun standart og'ish (bundan buyon matnda RSD deb yuritiladi) o'rtacha arifmetik atrofida sozlash qiymatlarining tarqalishining eng keng tarqalgan ko'rsatkichidir.

6. Variatsiya koeffitsienti - sozlash qiymatlarining tarqalish darajasini aks ettiradi

7. tebranish koeffitsienti - namunadagi narxlarning o'rtacha qiymatlari atrofida nisbiy o'zgarishini aks ettiradi.

Jadval 2. Dastlabki namunaning statistik ko'rsatkichlari

Ma'lumotlarning bir xilligini tavsiflovchi o'zgaruvchanlik koeffitsienti 12,29% ni tashkil qiladi, ammo tebranish koeffitsienti juda katta. Shunday qilib, biz asl namuna bir hil emasligini aytishimiz mumkin, shuning uchun ishonch oralig'ini hisoblashga o'tamiz.

3-bosqich. Ishonch oralig'ini hisoblash

Usul 1. Median va standart og'ish orqali hisoblash.

Ishonch oralig'i quyidagicha aniqlanadi: minimal qiymat - standart og'ish medianadan chiqariladi; maksimal qiymat - standart og'ish medianaga qo'shiladi.

Shunday qilib, ishonch oralig'i (47179 CU; 60689 CU)

Guruch. 2. Ishonch oralig'idagi qiymatlar 1.

2-usul. T-statistikaning kritik qiymati orqali ishonch oralig'ini qurish (Talaba koeffitsienti)

S.V. Gribovskiy kitobida " Matematik usullar mulk qiymatini baholash ”Student koeffitsienti orqali ishonch oralig'ini qanday hisoblashni tavsiflaydi. Ushbu usul bilan hisoblashda, baholovchining o'zi ishonch oralig'ini qurish ehtimolini aniqlaydigan ∝ ahamiyatlilik darajasini belgilashi kerak. 0,1 ahamiyatlilik darajasi odatda qo'llaniladi; 0,05 va 0,01. Ular 0,9 ishonch ehtimoliga mos keladi; 0,95 va 0,99. Ushbu usul yordamida matematik kutish va dispersiyaning haqiqiy qiymatlari deyarli noma'lum deb hisoblanadi (bu amaliy baholash muammolarini hal qilishda deyarli har doim to'g'ri bo'ladi).

Ishonch oralig'i formulasi:

n - namuna hajmi;

Muhimlik darajasi ∝ bo'lgan t-statistikaning kritik qiymati (Talabalar taqsimoti), maxsus statistik jadvallar yoki MS Excel (→"Statistik"→ STUDRASPOBR) yordamida aniqlanadigan erkinlik darajalari soni n-1;

∝ - ahamiyatlilik darajasi, biz ∝=0,01 ni olamiz.

Guruch. 2. Ishonch oralig'idagi qiymatlar 2.

Qadam 4. Ishonch oralig'ini hisoblashning turli usullarini tahlil qilish

Ishonch oralig'ini hisoblashning ikkita usuli - median va Student koeffitsienti orqali - intervallarning turli qiymatlariga olib keldi. Shunga ko'ra, ikki xil tozalangan namunalar olingan.

Jadval 3. Uchta namuna uchun statistik ko'rsatkichlar.

Amalga oshirilgan hisob-kitoblarga asoslanib, biz turli usullar bilan olingan ishonch oraliqlarining qiymatlari kesishadi, deb aytishimiz mumkin, shuning uchun siz baholovchining ixtiyoriga ko'ra har qanday hisoblash usullaridan foydalanishingiz mumkin.

Biroq, biz estimatica.pro tizimida ishlayotganda, bozorning rivojlanish darajasiga qarab, ishonch oralig'ini hisoblash usulini tanlash maqsadga muvofiq deb hisoblaymiz:

• agar bozor rivojlanmagan bo'lsa, o'rtacha va standart og'ish orqali hisoblash usulini qo'llang, chunki bu holda nafaqaga chiqqan ob'ektlar soni kam;
• agar bozor rivojlangan bo'lsa, t-statistikaning kritik qiymati (Talaba koeffitsienti) orqali hisob-kitobni qo'llang, chunki katta boshlang'ich namunani shakllantirish mumkin.

Maqolani tayyorlashda foydalanilgan:

1. Gribovskiy S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Mulk qiymatini baholashning matematik usullari. Moskva, 2014 yil

2. estimatica.pro tizimidan olingan ma'lumotlar

CHASTOTLAR VA QISMLAR UCHUN ISHONCH INTERVALLARI

© 2008

Milliy sog'liqni saqlash instituti, Oslo, Norvegiya

Maqolada Wald, Wilson, Klopper-Pirson usullaridan foydalangan holda chastotalar va nisbatlar uchun ishonch oraliqlarini hisoblash, burchak o'zgartirish va Vald usulini Agresti-Cowll tuzatish bilan ta'riflaydi va muhokama qiladi. Taqdim etilgan material beradi umumiy ma'lumot chastotalar va nisbatlar uchun ishonch oraliqlarini hisoblash usullari to'g'risida va jurnal o'quvchilarida nafaqat o'z tadqiqotlari natijalarini taqdim etishda ishonch oraliqlaridan foydalanishga, balki kelgusi nashrlar ustida ishlashni boshlashdan oldin maxsus adabiyotlarni o'qishga qiziqish uyg'otish uchun mo'ljallangan.

Kalit so'zlar : ishonch oralig'i, chastota, nisbat

Oldingi nashrlarning birida sifat ma'lumotlarining tavsifi qisqacha eslatib o'tilgan va ularning intervalli bahosi umumiy populyatsiyada o'rganilayotgan belgining paydo bo'lish chastotasini tavsiflash uchun nuqtali bahodan afzalroq ekanligi xabar qilingan. Darhaqiqat, tadqiqotlar namunaviy ma'lumotlardan foydalangan holda olib borilganligi sababli, natijalarning umumiy populyatsiya bo'yicha prognozi tanlov bahosida noaniqlik elementini o'z ichiga olishi kerak. Ishonch oralig'i taxmin qilingan parametrning aniqligi o'lchovidir. Qizig'i shundaki, shifokorlar uchun statistika asoslari bo'yicha ba'zi kitoblarda chastotalar uchun ishonch oralig'i mavzusi butunlay e'tiborga olinmaydi. Ushbu maqolada takrorlanmaslik va reprezentativlik, shuningdek, kuzatishlarning bir-biridan mustaqilligi kabi namunaviy xususiyatlarni qabul qilib, chastotalar uchun ishonch oraliqlarini hisoblashning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz. Ushbu maqoladagi chastota jamida u yoki bu qiymatning necha marta sodir bo'lishini ko'rsatadigan mutlaq raqam emas, balki o'rganilayotgan xususiyatga ega bo'lgan tadqiqot ishtirokchilarining ulushini belgilaydigan nisbiy qiymat sifatida tushuniladi.

Biotibbiyot tadqiqotlarida 95% ishonch oralig'i eng ko'p qo'llaniladi. Bu ishonch oralig'i haqiqiy nisbat vaqtining 95% ga to'g'ri keladigan mintaqadir. Boshqacha qilib aytganda, 95% ishonch bilan aytish mumkinki, umumiy populyatsiyada belgining paydo bo'lish chastotasining haqiqiy qiymati 95% ishonch oralig'ida bo'ladi.

Tibbiyot tadqiqotchilari uchun ko'pgina statistik darsliklarda chastota xatosi formuladan foydalanib hisoblanganligi haqida xabar beriladi

Bu erda p - namunadagi xususiyatning paydo bo'lish chastotasi (0 dan 1 gacha qiymat). Ko'pgina mahalliy ilmiy maqolalarda namunadagi (p) xususiyatning paydo bo'lish chastotasining qiymati, shuningdek uning xatosi (lar) p ± s ko'rinishida ko'rsatilgan. Biroq, umumiy populyatsiyada belgilarning paydo bo'lish chastotasi uchun 95% ishonch oralig'ini taqdim etish maqsadga muvofiqdir, bu qiymatlarni o'z ichiga oladi.

oldin.

Ba'zi darsliklarda kichik namunalar uchun 1,96 qiymatini N - 1 erkinlik darajasi uchun t qiymatiga almashtirish tavsiya etiladi, bu erda N - namunadagi kuzatishlar soni. T ning qiymati statistika bo'yicha deyarli barcha darsliklarda mavjud bo'lgan t-tarqatish jadvallarida topilgan. Vald usuli uchun t ning taqsimlanishidan foydalanish quyida muhokama qilinadigan boshqa usullarga nisbatan ko'rinadigan afzalliklarni ta'minlamaydi va shuning uchun ba'zi mualliflar tomonidan mamnuniyat bilan qabul qilinmaydi.

Chastotalar yoki kasrlar uchun ishonch oraliqlarini hisoblashning yuqoridagi usuli Avraam Vald (Abraham Vald, 1902–1950) sharafiga nomlangan, chunki u 1939 yilda Vald va Volfovits nashridan keyin keng qo'llanila boshlandi. Biroq, usulning o'zi 1812 yilda Per Simon Laplas (1749-1827) tomonidan taklif qilingan.

Wald usuli juda mashhur, ammo uni qo'llash muhim muammolar bilan bog'liq. Usul kichik namuna o'lchamlari uchun tavsiya etilmaydi, shuningdek, xususiyatning paydo bo'lish chastotasi 0 yoki 1 ga (0% yoki 100%) moyil bo'lgan va 0 va 1 chastotalar uchun shunchaki mumkin bo'lmagan hollarda tavsiya etilmaydi. xatoni hisoblashda qo'llaniladigan normal taqsimotning taxminiyligi n p bo'lgan hollarda "ishlamaydi".< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

Yangi o'zgaruvchi normal taqsimlanganligi sababli, ph o'zgaruvchisi uchun 95% ishonch oralig'ining pastki va yuqori chegaralari ph-1,96 va ph+1,96left"> bo'ladi.

Kichik namunalar uchun 1,96 o'rniga t qiymatini N - 1 erkinlik darajasiga almashtirish tavsiya etiladi. Ushbu usul salbiy qiymatlarni bermaydi va chastotalar uchun ishonch oraliqlarini Vald usuliga qaraganda aniqroq baholashga imkon beradi. Bundan tashqari, u tibbiy statistika bo'yicha ko'plab mahalliy ma'lumotnomalarda tasvirlangan, ammo bu uning tibbiy tadqiqotlarda keng qo'llanilishiga olib kelmadi. 0 yoki 1 ga yaqinlashadigan chastotalar uchun burchak konvertatsiyasi yordamida ishonch oraliqlarini hisoblash tavsiya etilmaydi.

Tibbiyot tadqiqotchilari uchun statistika asoslari bo'yicha ko'pgina kitoblarda ishonch oralig'ini baholash usullarining tavsifi odatda shu erda tugaydi va bu muammo nafaqat mahalliy, balki xorijiy adabiyotlar uchun ham xosdir. Ikkala usul ham markaziy chegara teoremasiga asoslanadi, bu katta namunani nazarda tutadi.

Yuqoridagi usullardan foydalangan holda ishonch oraliqlarini baholashning kamchiliklarini hisobga olib, Klopper (Klopper) va Pirson (Pirson) 1934 yilda o'rganilayotgan belgining binomial taqsimotini hisobga olgan holda aniq ishonch oralig'i deb ataladigan usulni taklif qildilar. Ushbu usul ko'plab onlayn kalkulyatorlarda mavjud, ammo shu tarzda olingan ishonch oraliqlari ko'p hollarda juda keng. Shu bilan birga, bu usul konservativ baholash zarur bo'lgan hollarda foydalanish uchun tavsiya etiladi. Usulning konservatizm darajasi, ayniqsa N uchun, namuna hajmining kamayishi bilan ortadi< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

Ko'pgina statistiklarning fikriga ko'ra, chastotalar uchun ishonch oraliqlarining eng maqbul bahosi 1927 yilda taklif qilingan, ammo mahalliy biotibbiyot tadqiqotlarida amalda qo'llanilmagan Uilson usuli bilan amalga oshiriladi. Ushbu usul nafaqat juda kichik, ham juda yuqori chastotalar uchun ishonch oraliqlarini baholash imkonini beradi, balki kichik miqdordagi kuzatuvlarga ham tegishli. IN umumiy ko'rinish Uilson formulasi bo'yicha ishonch oralig'i dan shaklga ega

bu erda 95% ishonch oralig'ini hisoblashda 1,96 qiymatini oladi, N - kuzatishlar soni, p - namunadagi xususiyatning chastotasi. Ushbu usul onlayn kalkulyatorlarda mavjud, shuning uchun uni qo'llash muammoli emas. va n p uchun bu usuldan foydalanishni tavsiya etmang< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

Uilson usulidan tashqari, Agresti-Koll tomonidan tuzatilgan Vald usuli ham chastotalar uchun ishonch oralig'ini optimal baholashni ta'minlaydi deb ishoniladi. Agresti-Coulle tuzatish - namunadagi belgining paydo bo'lish chastotasi uchun Vald formulasini (p) p` ga almashtirish, hisoblashda qaysi 2 raqamga qo'shiladi va 4 maxrajga qo'shiladi, ya'ni , p` = (X + 2) / (N + 4), bu erda X - o'rganilayotgan xususiyatga ega bo'lgan tadqiqot ishtirokchilari soni va N - namuna hajmi. Ushbu modifikatsiya Uilson formulasiga juda o'xshash natijalarni beradi, hodisa tezligi 0% yoki 100% ga yaqinlashganda va namuna kichik bo'lsa. Chastotalar uchun ishonch oraliqlarini hisoblashning yuqoridagi usullariga qo'shimcha ravishda, kichik namunalar uchun ham Wald usuli, ham Wilson usuli uchun uzluksizlikni tuzatishlar taklif qilingan, ammo tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, ulardan foydalanish nomaqbuldir.

Ikki misol yordamida ishonch oraliqlarini hisoblash uchun yuqoridagi usullarni qo'llashni ko'rib chiqing. Birinchi holda, biz 1000 ta tasodifiy tanlangan tadqiqot ishtirokchilarining katta namunasini o'rganamiz, ulardan 450 tasi o'rganilayotgan xususiyatga ega (xavf omili, natija yoki boshqa xususiyat bo'ladimi), bu chastota 0,45 yoki 45%. Ikkinchi holda, tadqiqot kichik namunadan foydalangan holda o'tkaziladi, aytaylik, faqat 20 kishi va tadqiqotning faqat 1 ishtirokchisi (5%) o'rganilayotgan xususiyatga ega. Wald usuli uchun ishonch intervallari, Agresti-Coll tuzatish bilan Wald usuli uchun, Wilson usuli uchun Jeff Sauro (http://www./wald.htm) tomonidan ishlab chiqilgan onlayn kalkulyator yordamida hisoblab chiqilgan. Uzluksizlik bilan tuzatilgan Uilson ishonch intervallari Wassar Stats tomonidan taqdim etilgan kalkulyator yordamida hisoblab chiqilgan: Statistik hisoblash veb-sayti (http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html). Fisher burchak konvertatsiyasi yordamida hisob-kitoblar mos ravishda 19 va 999 daraja erkinlik uchun t ning kritik qiymatidan foydalangan holda "qo'lda" amalga oshirildi. Hisoblash natijalari ikkala misol uchun ham jadvalda keltirilgan.

Matnda tasvirlangan ikkita misol uchun olti xil usulda hisoblangan ishonch intervallari

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, birinchi misol uchun "umumiy qabul qilingan" Vald usuli bilan hisoblangan ishonch oralig'i salbiy mintaqaga kiradi, bu chastotalar uchun bo'lishi mumkin emas. Afsuski, rus adabiyotida bunday voqealar kam uchraydi. Ma'lumotlarni chastota sifatida ko'rsatishning an'anaviy usuli va uning xatosi bu muammoni qisman yashiradi. Misol uchun, agar belgining paydo bo'lish chastotasi (foizlarda) 2,1 ± 1,4 sifatida taqdim etilgan bo'lsa, bu 2,1% (95% CI: -0,7; 4,9) kabi "tirnash xususiyati beruvchi" emas, garchi bir xil bo'lsa ham. Agresti-Coulle to'g'rilash bilan Vald usuli va burchak o'zgarishidan foydalangan holda hisoblash nolga moyil bo'lgan pastki chegarani beradi. Uzluksizlikni to'g'rilash bilan Wilson usuli va "aniq usul" Wilson usuliga qaraganda kengroq ishonch oraliqlarini beradi. Ikkinchi misol uchun barcha usullar taxminan bir xil ishonch oraliqlarini beradi (farqlar faqat mingdan birida paydo bo'ladi), bu ajablanarli emas, chunki bu misoldagi hodisaning chastotasi 50% dan unchalik farq qilmaydi va namuna hajmi juda katta. .

Ushbu muammoga qiziqqan o'quvchilar uchun biz R. G. Nyukomb va Braun, Kay va Dasguptaning ishonch intervallarini hisoblash uchun mos ravishda 7 va 10 xil usullardan foydalanishning ijobiy va salbiy tomonlarini beradigan asarlarini tavsiya qilishimiz mumkin. Mahalliy qo'llanmalardan kitob va tavsiya etilgan bo'lib, unda nazariyaning batafsil tavsifiga qo'shimcha ravishda Vald va Uilson usullari, shuningdek binomial chastota taqsimotini hisobga olgan holda ishonch oraliqlarini hisoblash usuli taqdim etilgan. Bepul onlayn kalkulyatorlarga qo'shimcha ravishda (http://www./wald.htm va http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html), chastotalar uchun ishonch intervallari (va nafaqat!) yordamida hisoblanishi mumkin. CIA dasturi (Confidence Intervals Analysis), uni http://www. tibbiyot maktabi. soton. ac. uk/cia/ .

Keyingi maqolada sifat ma'lumotlarini solishtirishning bir o'zgaruvchan usullari ko'rib chiqiladi.

Adabiyotlar ro'yxati

NISBATLAR UCHUN ISHONCH INTERVALLARI

A. M. Grjibovski

Milliy sog'liqni saqlash instituti, Oslo, Norvegiya

Maqolada binomial nisbatlar uchun ishonch oraliqlarini hisoblashning bir necha usullari, ya'ni Vald, Uilson, arksinus, Agresti-Koul va Klopper-Pirsonning aniq usullari keltirilgan. Maqolada binomial proporsiyaning ishonch oralig'ini baholash muammosi haqida umumiy ma'lumot berilgan va uning maqsadi nafaqat o'quvchilarni o'zlarining empirik tadqiqot oraliqlari natijalarini taqdim etishda ishonch oraliqlaridan foydalanishga undash, balki ularni oldindan statistik kitoblar bilan maslahatlashishga undashdir. o'z ma'lumotlarini tahlil qilish va qo'lyozmalarni tayyorlash.

kalit so'zlar: ishonch oralig'i, nisbat

Bog'lanish uchun ma'lumot:

– Katta maslahatchi, Milliy sog'liqni saqlash instituti, Oslo, Norvegiya

Oldingi bo'limlarda biz noma'lum parametrni baholash masalasini ko'rib chiqdik A bitta raqam. Bunday baholash "nuqta" deb ataladi. Bir qator vazifalarda nafaqat parametrni topish kerak A tegishli raqamli qiymat, balki uning aniqligi va ishonchliligini ham baholang. Parametrlarni almashtirish qanday xatolarga olib kelishi mumkinligini bilish talab qilinadi A uning taxminiy nuqtasi A va bu xatolar ma'lum chegaralardan tashqariga chiqmasligiga qay darajada ishonch bilan kutish mumkin?

Ushbu turdagi muammolar, ayniqsa, nuqta hisoblanganda, oz sonli kuzatishlar uchun dolzarbdir va ichida asosan tasodifiydir va a ni taxminan a bilan almashtirish jiddiy xatolarga olib kelishi mumkin.

Baholashning aniqligi va ishonchliligi haqida fikr berish A,

matematik statistikada ishonch intervallari va ishonch ehtimollari deb ataladigan narsalar qo'llaniladi.

Parametr uchun ruxsat bering A tajriba xolis bahosidan olingan A. Biz bu holatda mumkin bo'lgan xatoni taxmin qilmoqchimiz. Etarlicha katta p ehtimollik (masalan, p = 0,9, 0,95 yoki 0,99) ni shunday belgilaylikki, p ehtimoli bo'lgan hodisani amalda aniq deb hisoblash mumkin va buning uchun s qiymatini topamiz.

Keyin almashtirishda yuzaga keladigan xatoning amalda mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'i A yoqilgan A, ± s bo'ladi; katta mutlaq xatolar faqat kichik ehtimollik bilan paydo bo'ladi a = 1 - p. (14.3.1) ni quyidagicha qayta yozamiz:

Tenglik (14.3.2) p ehtimolligi bilan parametrning noma'lum qiymatini bildiradi A oralig'iga to'g'ri keladi

Bunday holda, bitta holatni ta'kidlash kerak. Ilgari biz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan tasodifiy bo'lmagan intervalga tushish ehtimolini qayta-qayta ko'rib chiqdik. Bu erda vaziyat boshqacha: A tasodifiy emas, balki tasodifiy intervalli / r. Tasodifiy ravishda uning x o'qidagi o'rni, uning markazi bilan belgilanadi A; umuman olganda, 2s oralig'ining uzunligi ham tasodifiydir, chunki s qiymati, qoida tariqasida, eksperimental ma'lumotlardan hisoblanadi. Shuning uchun, bu holda, p qiymatini nuqtaga "urish" ehtimoli sifatida emas, balki talqin qilish yaxshiroqdir. A oralig'iga / p, lekin tasodifiy interval / p nuqtani qoplash ehtimoli sifatida A(14.3.1-rasm).

Guruch. 14.3.1

p ehtimollik deyiladi ishonch darajasi, va interval / p - ishonch oralig'i. Interval chegaralari agar. a x \u003d a- s va a 2 = a + va chaqiriladi ishonch chegaralari.

Ishonch oralig'i tushunchasiga yana bir izoh beraylik: uni parametr qiymatlari oralig'i deb hisoblash mumkin. A, eksperimental ma'lumotlarga mos keladi va ularga zid kelmaydi. Haqiqatan ham, agar biz a = 1-p ehtimoli bo'lgan hodisani amalda imkonsiz deb hisoblashga rozi bo'lsak, u holda a parametrining qiymatlari a - a> s eksperimental ma'lumotlarga zid deb tan olinishi kerak va ular uchun |a - A a t na 2.

Parametr uchun ruxsat bering A xolis baho mavjud A. Agar miqdorning taqsimlanish qonunini bilsak A, ishonch oralig'ini topish muammosi juda oddiy bo'ladi: buning uchun s qiymatini topish kifoya qiladi.

Qiyinchilik smeta taqsimot qonuni aslida yotadi A miqdorning taqsimlanish qonuniga bog'liq X va shuning uchun uning noma'lum parametrlari bo'yicha (xususan, parametrning o'zi bo'yicha A).

Ushbu qiyinchilikni yengish uchun quyidagi taxminiy hiyla-nayrangni qo'llash mumkin: s ifodasidagi noma'lum parametrlarni ularning nuqta baholari bilan almashtiring. Nisbatan katta miqdordagi tajribalar bilan P(taxminan 20 ... 30) bu texnika odatda aniqlik nuqtai nazaridan qoniqarli natijalar beradi.

Misol sifatida, matematik kutish uchun ishonch oralig'i muammosini ko'rib chiqing.

Ishlab chiqarsin P x, uning xarakteristikalari matematik kutishdir T va dispersiya D- noma'lum. Ushbu parametrlar bo'yicha quyidagi taxminlar olingan:

Matematik kutish uchun r ishonch ehtimoliga mos keladigan ishonch oralig'ini / r qurish kerak. T miqdorlar x.

Bu masalani hal qilishda biz miqdor faktidan foydalanamiz T summa hisoblanadi P mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar X h va etarlicha katta uchun markaziy chegara teoremasiga ko'ra P uning taqsimot qonuni normaga yaqin. Amalda, nisbatan kam sonli atamalar bilan ham (10 ... 20 tartibida) yig'indining taqsimot qonunini taxminan normal deb hisoblash mumkin. Biz qiymat deb taxmin qilamiz T oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Bu qonunning xarakteristikalari - matematik kutish va dispersiya mos ravishda tengdir T Va

(13-bobning 13.3-kichik bo'limiga qarang). Faraz qilaylik, qiymat D biz bilamiz va buning uchun Ep qiymatini topamiz

6-bobning (6.3.5) formulasini qo‘llagan holda, (14.3.5) ning chap tomonidagi ehtimollikni normal taqsimot funksiyasi ko‘rinishida ifodalaymiz.

smetaning standart og'ishi qayerda T.

Tenglamadan

Sp qiymatini toping:

Bu yerda arg F* (x) F* ning teskari funksiyasi (X), bular. normal taqsimot funksiyasi teng bo'lgan argumentning shunday qiymati X.

Dispersiya D, bu orqali qiymat ifodalanadi A 1P, biz aniq bilmaymiz; uning taxminiy qiymati sifatida siz smetadan foydalanishingiz mumkin D(14.3.4) va taxminan qo'ying:

Shunday qilib, ishonch oralig'ini qurish muammosi taxminan hal qilinadi, bu quyidagilarga teng:

bu erda gp (14.3.7) formula bilan aniqlanadi.

s p ni hisoblashda F * (l) funktsiyasi jadvallarida teskari interpolyatsiyaga yo'l qo'ymaslik uchun kattalik qiymatlari ro'yxati keltirilgan maxsus jadvalni (14.3.1-jadval) tuzish qulay.

r ga qarab. Qiymat (p normal qonun uchun dispersiya markazining o'ng va chap tomoniga ajratilishi kerak bo'lgan standart og'ishlar sonini aniqlaydi, natijada yuzaga keladigan maydonga tushish ehtimoli p ga teng bo'ladi.

7 p qiymati orqali ishonch oralig'i quyidagicha ifodalanadi:

14.3.1-jadval

1-misol. Qiymati bo'yicha 20 ta tajriba o'tkazildi x; natijalar jadvalda keltirilgan. 14.3.2.

14.3.2-jadval

Miqdorning matematik kutilishi uchun smetasini topish talab qilinadi X va p = 0,8 ishonch darajasiga mos keladigan ishonch oralig'ini tuzing.

Yechim. Bizda ... bor:

Kelib chiqishi uchun n: = 10 ni tanlab, uchinchi formula (14.2.14) bo'yicha biz xolis bahoni topamiz. D :

Jadvalga ko'ra 14.3.1 topamiz

Ishonch chegaralari:

Ishonch oralig'i:

Parametr qiymatlari T, Bu oraliqda yotganlar jadvalda keltirilgan eksperimental ma'lumotlarga mos keladi. 14.3.2.

Xuddi shunday tarzda, dispersiya uchun ishonch oralig'i tuzilishi mumkin.

Ishlab chiqarsin P tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha mustaqil tajribalar X va A dan noma'lum parametrlar bilan va dispersiya uchun D xolis baho olinadi:

Taxminan dispersiya uchun ishonch oralig'ini qurish talab qilinadi.

(14.3.11) formuladan qiymat ekanligini ko'rish mumkin D o'zida aks ettiradi

miqdori P shaklning tasodifiy o'zgaruvchilari. Bu qiymatlar emas

mustaqil, chunki ularning har biri miqdorni o'z ichiga oladi T, boshqalarga bog'liq. Biroq, buni shunday ko'rsatish mumkin P ularning yig'indisining taqsimot qonuni ham normalga yaqin. Taxminan P= 20...30 allaqachon normal deb hisoblanishi mumkin.

Bu shunday deb faraz qilaylik va bu qonunning xususiyatlarini topamiz: matematik kutish va dispersiya. Hisobdan beri D- xolis, demak M[D] = D.

Farqni hisoblash D D nisbatan murakkab hisob-kitoblar bilan bog'liq, shuning uchun biz uning ifodasini hosilasiz beramiz:

bu erda c 4 - miqdorning to'rtinchi markaziy momenti x.

Ushbu iborani ishlatish uchun undagi 4 va ning qiymatlarini almashtirishingiz kerak. D(hech bo'lmaganda taxminan). O'rniga D baholashdan foydalanishingiz mumkin D. Asos sifatida, to'rtinchi markaziy momentni uning bahosi bilan ham almashtirish mumkin, masalan, shaklning qiymati:

ammo bunday almashtirish juda past aniqlikni beradi, chunki umuman olganda, cheklangan miqdordagi tajribalar bilan yuqori tartibli momentlar katta xatolar bilan aniqlanadi. Biroq, amalda ko'pincha miqdorning taqsimot qonunining shakli sodir bo'ladi X oldindan ma'lum: faqat uning parametrlari noma'lum. Keyin u4 ni ifodalashga harakat qilishimiz mumkin D.

Keling, eng keng tarqalgan holatni olaylik, qachon qiymat X oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Keyin uning to'rtinchi markaziy momenti dispersiya nuqtai nazaridan ifodalanadi (6-bob, 6.2-kichik bo'limga qarang);

va formula (14.3.12) beradi yoki

(14.3.14) da noma'lumni almashtirish D uning bahosi D, olamiz: qayerdan

u 4 momentini ifodalash mumkin D shuningdek, ba'zi boshqa hollarda, miqdorni taqsimlashda X normal emas, lekin uning ko'rinishi ma'lum. Masalan, bir xil zichlik qonuni uchun (5-bobga qarang) bizda:

bu yerda (a, P) - qonun berilgan interval.

Demak,

(14.3.12) formula bo'yicha biz quyidagilarni olamiz: taxminan qaerdan topamiz

26 qiymatini taqsimlash qonunining shakli noma'lum bo'lgan hollarda, a /) qiymatini baholashda hali ham (14.3.16) formuladan foydalanish tavsiya etiladi, agar bunga ishonish uchun maxsus asoslar mavjud bo'lmasa. qonun odatdagidan juda farq qiladi (sezilarli ijobiy yoki salbiy kurtozga ega).

Agar a /) ning taxminiy qiymati u yoki bu tarzda olingan bo'lsa, u holda biz uni matematik kutish uchun qurganimizdek, dispersiya uchun ishonch oralig'ini qurish mumkin:

bu erda berilgan p ehtimolga bog'liq qiymat Jadvalda topilgan. 14.3.1.

2-misol. Tasodifiy o‘zgaruvchining o‘zgarishi uchun taxminan 80% ishonch oralig‘ini toping. X 1-misol shartlariga ko'ra, agar qiymat ma'lum bo'lsa X me'yorga yaqin qonun bo'yicha taqsimlanadi.

Yechim. Qiymat jadvaldagi kabi qoladi. 14.3.1:

Formula bo'yicha (14.3.16)

(14.3.18) formula bo'yicha biz ishonch oralig'ini topamiz:

Standart og'ish qiymatlarining tegishli diapazoni: (0,21; 0,29).

14.4. Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining parametrlari uchun ishonch oraliqlarini qurishning aniq usullari

Oldingi bo'limda biz o'rtacha va dispersiya uchun ishonch oraliqlarini yaratishning taxminiy usullarini ko'rib chiqdik. Bu erda biz bir xil muammoni hal qilishning aniq usullari haqida fikr beramiz. Ishonch oraliqlarini aniq topish uchun miqdorning taqsimlanish qonunining shaklini oldindan bilish mutlaqo zarurligini ta'kidlaymiz. x, holbuki, bu taxminiy usullarni qo'llash uchun zarur emas.

Ishonch oraliqlarini yaratishning aniq usullari g'oyasi quyidagicha. Har qanday ishonch oralig'i bizni qiziqtiradigan bahoni o'z ichiga olgan ma'lum tengsizliklarning bajarilishi ehtimolini ifodalovchi shartdan topiladi. A. Darajani taqsimlash qonuni A umumiy holatda miqdorning noma'lum parametrlariga bog'liq x. Biroq, ba'zida tasodifiy o'zgaruvchidan tengsizliklarni o'tkazish mumkin A kuzatilgan qiymatlarning boshqa funksiyasiga X p X 2, ..., X p. taqsimot qonuni noma'lum parametrlarga bog'liq emas, faqat tajribalar soniga va miqdorning taqsimlanish qonuni shakliga bog'liq. x. Bu turdagi tasodifiy o'zgaruvchilar matematik statistikada katta rol o'ynaydi; ular miqdorning normal taqsimlanishi holati uchun eng batafsil o'rganilgan x.

Masalan, miqdorning normal taqsimoti ostida ekanligi isbotlangan X tasodifiy qiymat

deb ataladigan narsaga bo'ysunadi Talabalar taqsimoti qonuni Bilan P- 1 daraja erkinlik; bu qonunning zichligi shaklga ega

Bu yerda G(x) ma’lum gamma funksiya:

Tasodifiy miqdor ekanligi ham isbotlangan

bilan "tarqatish % 2" ga ega P- 1 erkinlik darajasi (7-bobga qarang), uning zichligi formula bilan ifodalanadi

(14.4.2) va (14.4.4) taqsimotlarning hosilalari haqida to'xtalmasdan, biz parametrlar uchun ishonch oraliqlarini qurishda ularni qanday qo'llash mumkinligini ko'rsatamiz. Ty D.

Ishlab chiqarsin P tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha mustaqil tajribalar x, noma'lum parametrlar bilan normal qonun bo'yicha taqsimlanadi TIO. Ushbu parametrlar uchun taxminlar

Ishonch ehtimoli p ga mos keladigan ikkala parametr uchun ishonch oraliqlarini qurish talab qilinadi.

Keling, birinchi navbatda matematik kutish uchun ishonch oralig'ini tuzamiz. ga nisbatan bu intervalni simmetrik qabul qilish tabiiy T; interval uzunligining yarmini s p bilan belgilang. sp qiymati sharti shunday tanlanishi kerak

Keling, tasodifiy o'zgaruvchidan tenglikning (14.4.5) chap tomoniga o'tishga harakat qilaylik T tasodifiy o'zgaruvchiga T, Student qonuniga muvofiq taqsimlanadi. Buning uchun |m-w?| tengsizlikning ikkala qismini ko'paytiramiz

ijobiy qiymatga: yoki (14.4.1) yozuvdan foydalangan holda,

Shartdan / p qiymatini topish mumkin bo'lgan / p sonini topamiz

(14.4.2) formuladan (1) juft funktsiya ekanligini ko'rish mumkin, shuning uchun (14.4.8)

Tenglik (14.4.9) p ga qarab qiymati / p ni belgilaydi. Agar sizning ixtiyoringizda integral qiymatlar jadvali mavjud bo'lsa

keyin / p qiymatini jadvalda teskari interpolyatsiya orqali topish mumkin. Biroq, oldindan qiymatlar / p jadvalini tuzish qulayroqdir. Bunday jadval Ilovada keltirilgan (5-jadval). Ushbu jadval p ishonch ehtimoli va erkinlik darajalari soniga bog'liq qiymatlarni ko'rsatadi P- 1. Jadvalga muvofiq / p ni aniqlab. 5 va taxmin

ishonch oralig'i / p kengligining yarmini va intervalning o'zini topamiz

1-misol. Tasodifiy miqdor bo'yicha 5 ta mustaqil tajriba o'tkazildi x, odatda noma'lum parametrlar bilan taqsimlanadi T va taxminan. Tajriba natijalari jadvalda keltirilgan. 14.4.1.

14.4.1-jadval

Taxmini toping T matematik kutish uchun va u uchun 90% ishonch oralig'ini / p ni yarating (ya'ni, p \u003d 0,9 ishonch ehtimoliga mos keladigan interval).

Yechim. Bizda ... bor:

Arizaning 5-jadvaliga muvofiq P - 1 = 4 va p = 0,9 ni topamiz qayerda

Ishonch oralig'i bo'ladi

2-misol. 14.3-kichik bo'limning 1-misolidagi shartlar uchun qiymatni qabul qilgan holda X normal taqsimlangan, aniq ishonch oralig'ini toping.

Yechim. Ilovaning 5-jadvaliga ko'ra, biz topamiz P - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; bu yerdan

14.3-kichik bo'limning 1-misolining yechimi bilan solishtirganda (e p \u003d 0,072), biz tafovut juda kichik ekanligini ko'ramiz. Agar aniqlikni ikkinchi kasrgacha saqlasak, aniq va taxminiy usullar bilan topilgan ishonch oraliqlari bir xil bo'ladi:

Keling, dispersiya uchun ishonch oralig'ini qurishga o'tamiz. Xolis dispersiyani baholashni ko'rib chiqing

va tasodifiy o'zgaruvchini ifodalang D qiymati orqali V(14.4.3) taqsimoti x 2 (14.4.4):

Miqdorning taqsimlanish qonunini bilish V, berilgan p ehtimollik bilan tushadigan / (1) oraliqni topish mumkin.

tarqatish qonuni k n _ x (v) I 7 qiymati rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. 14.4.1.

Guruch. 14.4.1

Savol tug'iladi: oraliq / p ni qanday tanlash mumkin? Agar miqdorning taqsimot qonuni V simmetrik bo'lgan (oddiy qonun yoki Student taqsimoti kabi), matematik kutishga nisbatan /p simmetrik intervalni olish tabiiy bo'lar edi. Bunday holda, qonun k n _ x (v) assimetrik. Miqdorning chiqish ehtimoli bo'lishi uchun /p oralig'ini tanlashga rozi bo'laylik V o'ng va chapdagi intervaldan tashqarida (14.4.1-rasmdagi soyali joylar) bir xil va teng edi.

Ushbu xususiyat bilan interval / p ni qurish uchun biz Jadvaldan foydalanamiz. 4 ta ilova: unda raqamlar mavjud y) shu kabi

miqdori uchun V, ega bo'lgan x 2 -r erkinlik darajasi bilan taqsimlash. Bizning holatda r = n- 1. Tuzatish r = n- 1 va jadvalning tegishli qatoridan toping. 4 ikkita qiymat x 2 - biri ehtimolga mos keladi, ikkinchisi - ehtimollar Bularni belgilaymiz

qiymatlar 2 da Va xl? Interval mavjud y 2, chap tomoni bilan, va y ~ o'ng uchi.

Endi D, va chegaralari bilan dispersiya uchun zarur bo'lgan ishonch oralig'ini /| topamiz D2, qaysi nuqtani qamrab oladi D p ehtimolligi bilan:

Nuqtani qamrab oluvchi shunday / (, = (?> b A) intervalni tuzamiz D agar va faqat qiymat bo'lsa V intervalgacha tushadi / r. Keling, intervalni ko'rsataylik

bu shartni qondiradi. Haqiqatan ham, tengsizliklar tengsizliklarga teng

va bu tengsizliklar p ehtimollik bilan bajariladi. Shunday qilib, dispersiya uchun ishonch oralig'i topiladi va (14.4.13) formula bilan ifodalanadi.

3-misol. 14.3-kichik bo'limning 2-misoli shartlari bo'yicha dispersiyaning ishonch oralig'ini toping, agar qiymat ma'lum bo'lsa. X normal taqsimlanadi.

Yechim. Bizda ... bor . Ilovaning 4-jadvaliga muvofiq

da topamiz r = n - 1 = 19

(14.4.13) formula bo'yicha dispersiya uchun ishonch oralig'ini topamiz

Standart og'ish uchun mos keladigan interval: (0,21; 0,32). Bu oraliq 14.3-kichik bo'limning 2-misolida taxminiy usulda olingan intervaldan (0,21; 0,29) biroz oshib ketadi.

• 14.3.1-rasmda a ga nisbatan simmetrik bo'lgan ishonch oralig'i ko'rib chiqiladi. Umuman olganda, keyinroq ko'rib chiqamiz, bu kerak emas.

Matematik kutish uchun ishonch oralig'i - bu ma'lum ehtimollik bilan umumiy aholining matematik kutishini o'z ichiga olgan ma'lumotlardan hisoblangan interval. Matematik kutishning tabiiy bahosi uning kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi. Shuning uchun keyingi dars davomida biz "o'rtacha", "o'rtacha qiymat" atamalaridan foydalanamiz. Ishonch oralig'ini hisoblash masalalarida eng ko'p talab qilinadigan javob "O'rtacha sonning ishonch oralig'i [aniq bir masaladagi qiymat] [pastki qiymatdan] [yuqoriroq qiymatga]". Ishonch oralig'i yordamida nafaqat o'rtacha qiymatlarni, balki umumiy aholining u yoki bu xususiyatlarining ulushini ham baholash mumkin. Darsda o'rtacha qiymatlar, dispersiya, standart og'ish va xatoliklar tahlil qilinadi, ular orqali biz yangi ta'riflar va formulalarga kelamiz. Namuna va populyatsiya xususiyatlari .

O'rtachaning nuqta va intervalli baholari

Agar umumiy populyatsiyaning o'rtacha qiymati raqam (nuqta) bilan baholansa, u holda kuzatuvlar tanlamasidan hisoblangan o'ziga xos o'rtacha umumiy aholining noma'lum o'rtacha qiymatini baholash sifatida qabul qilinadi. Bunday holda, tanlanma o'rtacha qiymati - tasodifiy o'zgaruvchi - umumiy populyatsiyaning o'rtacha qiymatiga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, namunaning o'rtacha qiymatini ko'rsatganda, bir vaqtning o'zida namuna xatosini ham ko'rsatish kerak. Standart xato tanlama xatosi o'lchovi sifatida ishlatiladi, bu o'rtacha bir xil birliklarda ifodalanadi. Shuning uchun quyidagi belgi ko'pincha ishlatiladi: .

Agar o'rtacha qiymatni ma'lum bir ehtimollik bilan bog'lash talab etilsa, unda qiziqishning umumiy populyatsiyasining parametri bitta raqam bilan emas, balki interval bilan baholanishi kerak. Ishonch oralig'i - bu ma'lum bir ehtimollik bilan P umumiy aholining taxminiy ko'rsatkichining qiymati topiladi. Ishonch oralig'i, unda ehtimollik bilan P = 1 - α tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, quyidagi tarzda hisoblanadi:

,

α = 1 - P, uni statistika bo'yicha deyarli har qanday kitobning ilovasida topish mumkin.

Amalda, aholi o'rtacha va dispersiya ma'lum emas, shuning uchun boshlanish dispersiyasi tanlama dispersiyasi bilan almashtiriladi va o'rtacha o'rtacha tanlov bilan almashtiriladi. Shunday qilib, ko'p hollarda ishonch oralig'i quyidagicha hisoblanadi:

.

Ishonch oralig'i formulasidan populyatsiya o'rtacha qiymatini baholash uchun foydalanish mumkin

• umumiy aholining standart og'ishi ma'lum;
• yoki populyatsiyaning standart og'ishi ma'lum emas, lekin tanlama hajmi 30 dan katta.

Namuna o'rtacha populyatsiya o'rtacha qiymatining xolis bahosidir. O'z navbatida, namunaviy dispersiya populyatsiya farqining xolis bahosi emas. Namuna dispersiyasi formulasida populyatsiya dispersiyasining xolis bahosini olish uchun tanlama hajmi n bilan almashtirilishi kerak n-1.

1-misol Ma'lum bir shahardagi tasodifiy tanlangan 100 ta kafedan ma'lumotlar yig'iladi, ulardagi xodimlarning o'rtacha soni 10,5 standart og'ish bilan 4,6. Kafe ishchilari sonining 95% ishonch oralig'ini aniqlang.

bu erda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .

Shunday qilib, kafe xodimlarining o'rtacha soni uchun 95% ishonch oralig'i 9,6 dan 11,4 gacha bo'lgan.

2-misol 64 ta kuzatuvning umumiy populyatsiyasidan tasodifiy tanlab olish uchun quyidagi umumiy qiymatlar hisoblab chiqilgan:

kuzatishlardagi qiymatlar yig'indisi,

qiymatlarning o'rtacha qiymatdan kvadrat og'ishlari yig'indisi .

Kutilgan qiymat uchun 95% ishonch oralig'ini hisoblang.

standart og'ishlarni hisoblang:

,

o'rtacha qiymatni hisoblang:

.

Ishonch oralig'i uchun ifodadagi qiymatlarni almashtiring:

bu erda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .

Biz olamiz:

Shunday qilib, ushbu namunaning matematik kutish uchun 95% ishonch oralig'i 7,484 dan 11,266 gacha bo'lgan.

3-misol 100 ta kuzatuvning umumiy populyatsiyasidan tasodifiy tanlov uchun o'rtacha qiymat 15,2 va standart og'ish 3,2 ga teng. Kutilgan qiymat uchun 95% ishonch oralig'ini, keyin esa 99% ishonch oralig'ini hisoblang. Agar namuna kuchi va uning o'zgarishi bir xil bo'lib qolsa, lekin ishonch omili oshsa, ishonch oralig'i torayadimi yoki kengayadimi?

Ushbu qiymatlarni ishonch oralig'i ifodasiga almashtiramiz:

bu erda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .

Biz olamiz:

.

Shunday qilib, ushbu namunaning o'rtacha qiymati uchun 95% ishonch oralig'i 14,57 dan 15,82 gacha bo'lgan.

Shunga qaramay, biz ushbu qiymatlarni ishonch oralig'i ifodasiga almashtiramiz:

bu erda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,01 .

Biz olamiz:

.

Shunday qilib, ushbu namunaning o'rtacha qiymati uchun 99% ishonch oralig'i 14,37 dan 16,02 gacha bo'lgan.

Ko'rib turganingizdek, ishonch omili ortishi bilan standart normal taqsimotning kritik qiymati ham ortadi va shuning uchun oraliqning boshlang'ich va oxirgi nuqtalari o'rtachadan uzoqroqda joylashgan va shuning uchun matematik kutish uchun ishonch oralig'i. ortadi.

O'ziga xos tortishishning nuqta va intervalli baholari

Namunaning ba'zi xususiyatlarining ulushini ball bahosi sifatida talqin qilish mumkin solishtirma og'irlik p umumiy populyatsiyada bir xil xususiyat. Agar bu qiymatni ehtimollik bilan bog'lash kerak bo'lsa, unda o'ziga xos tortishishning ishonch oralig'ini hisoblash kerak. p ehtimollik bilan umumiy populyatsiyadagi xususiyat P = 1 - α :

.

4-misol Muayyan shaharda ikkita nomzod bor A Va B hokimlikka nomzod. 200 nafar shahar aholisidan tasodifiy so‘rov o‘tkazildi, ulardan 46 foizi nomzodga ovoz berishini aytdi. A, 26% - nomzod uchun B 28 foizi esa kimga ovoz berishini bilmaydi. Nomzodni qo'llab-quvvatlagan shahar aholisining ulushi uchun 95% ishonch oralig'ini aniqlang A.

Kelinglar katta miqdorda ba'zi xususiyatlarning normal taqsimlanishiga ega bo'lgan narsalar (masalan, hajmi va og'irligi har xil bo'lgan bir xil turdagi sabzavotlarning to'liq ombori). Siz tovarlarning butun partiyasining o'rtacha xususiyatlarini bilmoqchisiz, lekin sizda har bir sabzavotni o'lchash va tortish uchun vaqt ham, moyillik ham yo'q. Bu kerak emasligini tushunasiz. Ammo tasodifiy tekshirish uchun qancha bo'lak olishingiz kerak bo'ladi? Ushbu vaziyat uchun foydali bo'lgan ba'zi formulalarni berishdan oldin, biz ba'zi belgilarni eslaymiz. Birinchidan, agar biz sabzavotlarning butun omborini o'lchagan bo'lsak (bu elementlar to'plami umumiy populyatsiya deb ataladi), unda biz mavjud bo'lgan barcha aniqlik bilan butun partiyaning og'irligining o'rtacha qiymatini bilib olamiz. Keling, buni o'rtacha deb ataymiz X o'rtacha gen. - umumiy o'rtacha. Agar uning o'rtacha qiymati va og'ish s ma'lum bo'lsa, nima to'liq aniqlanishini biz allaqachon bilamiz. To'g'ri, hozircha biz X o'rtacha genini ham, umumiy populyatsiyaning s ni ham bilmaymiz. Biz faqat bir nechta namunani olamiz, kerakli qiymatlarni o'lchaymiz va ushbu namuna uchun o'rtacha X o'rtacha qiymatni va S vyb standart og'ishini hisoblaymiz. Ma'lumki, agar bizning tanlama tekshiruvimiz juda ko'p sonli elementlarni o'z ichiga olsa (odatda n 30 dan ortiq) va ular haqiqatdan ham tasodifiy olingan bo'lsa, u holda populyatsiyaning s soni S namunalaridan deyarli farq qilmaydi.Bundan tashqari, quyidagi holatlar uchun Oddiy taqsimot uchun biz quyidagi formulalardan foydalanishimiz mumkin:

95% ehtimol bilan

99% ehtimol bilan

.

Ishonch oralig'ini bilmoqchi bo'lgan t qiymati va P(t) ehtimollik qiymati o'rtasidagi munosabatni quyidagi jadvaldan olish mumkin:

Shunday qilib, biz umumiy aholi uchun o'rtacha qiymat qanday diapazonda ekanligini aniqladik (ma'lum bir ehtimollik bilan).

Agar bizda etarlicha katta namuna bo'lmasa, populyatsiyada s = S namunalari bor deb da'vo qila olmaymiz. Bundan tashqari, bu holda namunaning normal taqsimotga yaqinligi muammoli. Bunday holda, formulada s o'rniga S ni ham ishlating:

lekin belgilangan ehtimollik uchun t qiymati P(t) n namunadagi elementlar soniga bog'liq bo'ladi. n qanchalik katta bo'lsa, natijada ishonch oralig'i (1) formulada berilgan qiymatga yaqinroq bo'ladi. Bu holda t qiymatlari boshqa jadvaldan olingan (Talabaning t-testi), biz quyida taqdim etamiz:

0,95 va 0,99 ehtimollik uchun talabaning t-test qiymatlari 

3-misol Tasodifiy yo‘l bilan kompaniya xodimlaridan 30 kishi tanlab olindi. Namunaga ko'ra, o'rtacha ish haqi (oyiga) 10 ming rubl, o'rtacha kvadrat og'ish 3 ming rubl bo'lganligi ma'lum bo'ldi. 0,99 ehtimollik bilan firmadagi o'rtacha ish haqini aniqlang. Yechim: Shartga ko'ra, bizda n = 30, X cf. =10000, S=3000, P=0,99. Ishonch oralig'ini topish uchun biz Student mezoniga mos keladigan formuladan foydalanamiz. n \u003d 30 va P \u003d 0,99 jadvaliga ko'ra biz t \u003d 2,756 ni topamiz, shuning uchun

bular. Istalgan ishonch oralig'i 27484< Х ср.ген < 32516.

Shunday qilib, 0,99 ehtimollik bilan, oraliq (27484; 32516) kompaniyadagi o'rtacha ish haqini o'z ichiga oladi, deb bahslashish mumkin.
Umid qilamizki, siz ushbu usuldan har safar yoningizda elektron jadval bo'lmasdan foydalanasiz. Excelda hisob-kitoblar avtomatik ravishda amalga oshirilishi mumkin. Excel faylida yuqori menyudagi fx tugmasini bosing. Keyin, funktsiyalar orasidan "statistik" turini va taklif qilingan ro'yxatdan STEUDRASP-ni tanlang. So'ngra, kursorni "ehtimol" maydoniga qo'yib, taklifda o'zaro ehtimollik qiymatini yozing (ya'ni, bizda 0,95 ehtimollik o'rniga 0,05 ehtimolligini kiritish kerak). Aftidan elektron jadval Natijada biz xato qilishimiz mumkinligi haqidagi savolga javob beradigan tarzda tuzilgan. Xuddi shunday, "erkinlik darajasi" maydoniga namunangiz uchun qiymatni (n-1) kiriting.