UDC 711.4 MAZAEV A. G

Métodos y criterios de optimización en teoría moderna restablecimiento

El artículo analiza el concepto de optimización en la planificación urbana. Se muestra el origen del término “optimización”, su conexión con los términos básicos en el campo de la metodología de la ciencia y, en particular, de la economía. Se muestran las posibilidades de un mayor desarrollo del concepto de optimización en la planificación urbana. Como conclusiones, se propone un conjunto de criterios de optimización aplicados a la planificación urbana.

Palabras clave: optimización en urbanismo, teoría de la optimización, criterios y métodos de optimización, criterio de Pareto.

OPTIMIZACIÓN DE MÉTODOS Y CRITERIOS EN LA TEORÍA MODERNA DEL ASENTAMIENTO

En el apartado se considera el concepto de optimización urbanística. Se muestra el origen del término optimización, su conexión con los conceptos básicos en el campo de la metodología de una ciencia, la economía. Se consideran las posibilidades de desarrollo del concepto de optimización en el urbanismo moderno. Se ofrece el conjunto de criterios de optimización posibles en la actividad urbanística moderna.

Palabras clave: optimización en urbanismo, teoría de la optimización, criterios y métodos de optimización, criterio de Pareto.

Antón Mazaev

Grigorievich

candidato de arquitectura, asesor de RAASN, director. Laboratorio de la Subdivisión de la Institución Presupuestaria del Estado Federal "TsNIIP Ministerio de Construcción de Rusia" UralNIIproekt

correo electrónico: [correo electrónico protegido]

El propósito de este artículo es presentar una consideración teórica del concepto de "optimización" en relación con los objetos de planificación urbana: ciudades y sistemas de asentamiento. Optimización del reasentamiento gran región Rusia, utilizando el ejemplo del Distrito Federal de los Urales, es el tema de la investigación científica realizada por el autor. La relevancia de este tema está relacionada con la urgente cuestión de racionalizar el desarrollo. sistemas regionales reasentamiento del Sistema Nacional de Rusia, cuyo desarrollo se ha vuelto incontrolable y desequilibrado. La metodología para el desarrollo del tema se basa en la teoría del desarrollo geopolítico del asentamiento que se está conformando actualmente.

El concepto de optimización en ciencia moderna

Es necesario aclarar el concepto de optimización en la teoría de la ciencia y luego dar su definición en relación con la teoría del asentamiento. Inicialmente, el término "optimización" surgió en matemáticas: "La optimización es en matemáticas, informática e investigación operativa el problema de encontrar el extremo (mínimo o máximo) de una función objetivo en alguna región de un espacio vectorial de dimensión finita, limitado por un conjunto de igualdades y/o desigualdades lineales y/o no lineales. Estudia teoría y métodos para resolver problemas de optimización.

programación matemática... (Se) trata de métodos matemáticos para resolver problemas de encontrar las mejores opciones entre todas las posibles”. La Gran Enciclopedia Soviética aclara: “La optimización es el proceso de encontrar el extremo (máximo o mínimo global) de una determinada función o elegir la mejor opción (óptima) entre muchas posibles. La forma más confiable de encontrar la mejor opción es comparar todas opciones posibles(alternativas)". En otras palabras, puede haber muchos criterios de optimización para un mismo fenómeno, sistema. Puede optimizar cualquier cosa y según una cantidad significativa de criterios de optimización. Además, estos criterios pueden entrar en conflicto entre sí, y para la optimización es necesario decidir sobre ellos, de lo contrario la solución al problema de optimización resultará incorrecta, es decir, falsa, peligrosa e ineficaz. Las fuentes interpretan el contenido de la optimización de manera diferente, según las metas y objetivos de una disciplina científica en particular. Por ejemplo, el diccionario de economía interpreta este concepto de la siguiente manera: “La optimización es la determinación de valores indicadores económicos, en el que se logra el óptimo, es decir, el mejor estado óptimo del sistema. En la mayoría de los casos, lo óptimo corresponde a lograr el resultado más alto para un gasto de recursos determinado.

o lograr un resultado determinado con costos mínimos de recursos”. En otras palabras, la optimización está asociada a los costos de los recursos y la eficiencia de su uso.

El concepto de optimización en la teoría económica.

Es en economía donde las cuestiones de optimización se plantean con mayor frecuencia como un problema científico y práctico apremiante. En el marco de las teorías económicas, se ha desarrollado una teoría de optimización desarrollada, y la economía y la teoría de la liquidación tienen un objeto de estudio similar: la sociedad en su conjunto, sus necesidades económicas, con la diferencia de que la teoría de la liquidación se ocupa de la Aspecto espacial de la vida humana.

Los economistas dan una gran cantidad de definiciones de optimizaciones, que pueden extenderse a cuestiones de la teoría de la liquidación. "Optimización: maximizar el bienestar económico de la sociedad en relación con los objetivos macroeconómicos". De aquí podemos derivar una comprensión de la optimización como la acumulación de un determinado recurso que se identifica con el bien. En este caso, estamos hablando del bienestar económico como un bien clave, y la optimización está asociada a lograr no un valor o conjunto de valores óptimo, sino un aumento ilimitado de este bien.

La definición más amplia y profunda de optimización la dio en un momento V. Pareto: "... Cualquier cambio que no cause pérdidas a nadie y que beneficie a algunas personas (según su propia evaluación) es una mejora". Este criterio tiene un significado muy amplio: se utiliza para resolver problemas cuando la optimización significa mejorar algunos indicadores, siempre que otros no se deterioren, así como cuando se implementa un enfoque compositivo para la construcción de un plan de desarrollo de un sistema económico, teniendo en cuenta en cuenta los intereses de sus subsistemas (grupos) constituyentes (objetos económicos). La definición anterior puede formalizarse mediante la siguiente afirmación: el estado de la economía S* se considera mejor, según V. Pareto, que otro estado B1, si al menos un sujeto económico prefiere S*, y todos los demás al menos no. distingue entre estos estados, pero al mismo tiempo no hay personas que prefieran 81; según V. Pareto, el estado 8* es indiferente al estado B1 si todas las entidades económicas no los diferencian; finalmente, es óptimo si no existe un estado factible de la economía que sea mejor que éste. El criterio de optimización de W. Pareto es de gran importancia metodológica, ya que permite comprender qué cambios en el sistema económico pueden considerarse positivos, es decir, dirigidos a su mejora general, y cuáles no. El crecimiento del bienestar económico de unos sujetos a expensas de otros no puede considerarse positivo según este criterio. La Ilustración 1 muestra el efecto del criterio de B. Pareto en forma de gráfico, mostrando el área de “valores aceptables” que proporcionan una mejora en al menos un indicador sin provocar un deterioro en los demás.

Creemos que es imposible dar una única definición detallada de optimización para todos los tipos de actividad humana debido a su naturaleza fundamentalmente diferente. La investigación sobre problemas de optimización ha recibido un desarrollo significativo en la URSS debido al carácter planificado de su economía. Las cuestiones de optimización económica ocuparon a los científicos soviéticos hasta la transición a economía de mercado. Además, la gravedad del problema

Ilustración 1. Optimidad de Pareto

La optimización en la economía no disminuyó debido al rápido crecimiento de la gama de productos producidos, la ubicación de un número significativo de instalaciones de producción en un gran territorio y, como consecuencia, un gran volumen de transporte de carga. Los científicos occidentales se enfrentaron a preguntas similares, especialmente la cuestión de la optimización se agudizó durante la Segunda Guerra Mundial, cuando surgió la necesidad de una gestión centralizada similar de grandes volúmenes de tropas, equipos y equipos. Durante las últimas décadas, se han desarrollado muchas técnicas de optimización teóricas y aplicadas, que se presentan sistemáticamente en la Figura 2.

El concepto de optimización en la ciencia del urbanismo.

Este concepto de planificación urbana se utilizó en el período soviético en varios sentidos. En primer lugar, se asoció con el concepto de optimización económica, al servicio de los intereses económicos. La planificación urbana fue entendida como una de las herramientas de optimización, cuya tarea es conciliar los intereses del complejo productivo con los intereses de la población. surgió varios conceptos optimización, uno de los más importantes es el concepto de GSNM - sistemas de grupo de áreas pobladas. Fue un intento de optimizar el asentamiento mediante la reducción multifactorial de sus deficiencias: el aislamiento de la población rural de los lugares de trabajo y de los centros culturales y la excesiva expansión urbana, que crea una enorme carga para la biosfera.

La implementación del concepto GSNM se llevó a cabo en el marco del Plan General de Asentamientos de la URSS, desarrollado en la década de 1970. La creación de GSNM tenía como objetivo optimizar el proceso de aglomeración de ciudades grandes y medianas que había cobrado impulso en ese momento. En lugar de una “unificación” arbitraria de los asentamientos, debería haberse creado una organización jerárquica. Otra consecuencia de la optimización en la planificación urbana

Ilustración 2. Métodos básicos para la resolución de problemas de optimización. Un resumen sistemático de sus diversas técnicas.

Comenzó a aclarar la cuestión del llamado “tamaño óptimo” de las ciudades. Se entendió que, dado que en algunas ciudades hay una superpoblación excesiva, entonces existe una cantidad óptima de ella, que puede ser calculada por la ciencia de la planificación urbana. “...El concepto de ciudad “óptima” siguió siendo uno de los elementos más esenciales de la política de planificación urbana soviética. No había duda de que ese óptimo existía. Los desacuerdos comenzaron al intentar determinar qué tipo de población debería considerarse óptima. En la década de 1920 Una población de 50.000 habitantes parecía óptima. Era lo suficientemente grande como para aprovechar los beneficios de las economías de escala y la infraestructura urbana, pero no tan grande como para destruir el sentido de comunidad y la ética comunitaria socialista. A mediados de los años cincuenta. Las estimaciones óptimas fluctuaron entre 150 mil y 200 mil, y en 1960 saltaron a 250-300 mil personas, y la legitimidad misma de este concepto. fue puesto en duda." La disputa resultó escolástica, porque el tamaño óptimo de una ciudad no depende del tamaño absoluto.

del tamaño de su población, sino de la posición económica y geográfica en el sistema de asentamiento. Es decir, lo importante no es el tamaño absoluto, sino el relativo de la ciudad, que varía en cada caso concreto.

La cuestión de este tamaño óptimo de una ciudad se agudizó de una manera nueva en los años 1960-1970, cuando el número de ciudades grandes y importantes en la URSS comenzó a crecer y sus deficiencias se hicieron notorias. En un artículo con el característico título “ Dimensiones máximas ciudades" (1970) se afirmó: "Desde el punto de vista de la economía urbana, las ciudades más económicas son aquellas en las que el monto de inversiones de capital y costos operativos per cápita es menor. Tanto las ciudades demasiado pequeñas como las ciudades gigantes resultan antieconómicas. En la construcción urbana se manifiesta un principio común a todos los ámbitos de la economía, según el cual una gran unidad económica es más eficaz que una pequeña. En las ciudades pequeñas con una población de hasta 20 mil habitantes, es necesario crear pequeñas empresas de servicios públicos y domésticas de baja productividad. A medida que las ciudades crecen, se vuelven más económicas.<.>A medida que la población sigue creciendo, la situación empeora.<.>imposible

garantizar el funcionamiento normal de la ciudad sin grandes obras de ingeniería y técnicas y tipos de transporte que antes no eran necesarios”.

Los autores del artículo creen que lograron encontrar la respuesta al problema de la optimización: “Sopesando todos los pros y los contras, en muchos países, incluida la URSS, los urbanistas y economistas llegaron a la conclusión de que en la actualidad es necesario limitar el crecimiento de ciudades con una población de un millón, estimulando el desarrollo de ciudades de tamaño mediano (cursiva nuestra - A.M.)".

Vemos que una ciudad de tamaño mediano con una población de 50 mil a 100 mil habitantes se considera óptima. Con esta conclusión no está de acuerdo V. I. Perevedentsev, quien ve la solución del problema nuevamente en el ámbito económico, pero más profundamente. Muestra la naturaleza no lineal de las dependencias. eficiencia económica sobre el tamaño de la ciudad: “Una ciudad no son sólo las casas donde vive la gente, sino también las fábricas donde trabajan. ¿El tamaño de la ciudad afecta la productividad laboral? Sí, lo hace. Una gran ciudad es beneficiosa desde el punto de vista de la producción. Estos son los beneficios de compartir

instalaciones de energía, transporte, suministro de agua y alcantarillado. Esta es la provisión de personal calificado. mano de obra... La concentración territorial de la industria aumenta la productividad laboral. Por lo tanto, una gran ciudad crea por sí misma las condiciones previas para una mayor concentración de la producción”. El autor señala además que “mantener” a una persona en una ciudad muy grande es más caro que el promedio, pero el rendimiento de una persona en esa ciudad, en su opinión, es mayor. Señala: “La comprensión actualmente aceptada del tamaño óptimo de una ciudad, en mi opinión, es fundamental y metodológicamente incorrecta. Si tenemos en cuenta no solo el consumo, sino también la producción, entonces la ciudad óptima no será aquella en la que el mantenimiento de una persona sea más barato, sino aquella en la que la diferencia entre lo que una persona da y lo que se gasta en ella. será el más grande" [ Ibíd.]. El resultado es un modelo costo-costo aplicado a un residente de una ciudad determinada, que muestra que el crecimiento de la eficiencia económica puede ser de muy largo plazo a medida que crece el tamaño de la ciudad, ya que debido al efecto de cooperación, la productividad laboral puede crecer. dentro de un amplio rango. En otras palabras, el tamaño óptimo de una ciudad puede ser tan grande como se desee, siempre y cuando continúe la tendencia hacia retornos económicos crecientes de cada individuo.

Al mismo tiempo, el autor crea el concepto de tamaño óptimo de ciudad. Desde su punto de vista, el tamaño óptimo de una ciudad generalmente está determinado por el criterio de conformidad del tamaño de la ciudad con sus valores previamente planificados. “... La mayoría de los inconvenientes de una gran ciudad no se deben a su tamaño en sí, sino a errores de planificación urbana. Se trata de errores en la previsión del crecimiento de la ciudad, inconsistencia del "equipamiento" de la ciudad con su tamaño, errores puramente de planificación y, finalmente, un enfoque económico estrecho hacia el sector de servicios. A menudo se planea construir para medio millón de habitantes, pero la ciudad crece hasta alcanzar el millón. Al mismo tiempo, todas las comunicaciones, todos los servicios públicos, la estructura de la ciudad y su trazado se conservan básicamente como estaba previsto en el proyecto inicial". En esencia, esta afirmación cierra la discusión sobre el tamaño óptimo de una ciudad: se reconoce como óptima una ciudad cuyo desarrollo corresponde a su propio plan general.

Hay que decir que utilizando este criterio es muy difícil encontrar ciudades óptimas porque, como muestran numerosos estudios, las disposiciones clave de los planes maestros casi nunca se han implementado. Resulta que las ciudades rusas se encuentran crónicamente en un estado "no optimizado".

Para concluir esta discusión, vale la pena citar la queja sintomática del propio V. I. Perevedentsev de que las ciudades en su desarrollo se están alejando del estado de optimización, en lugar de llegar a él: "... Las tasas más altas de crecimiento demográfico se produjeron en las ciudades de que en 1959 contaba entre 400 y 600 mil personas, más del 35 por ciento. Según las opiniones predominantes en nuestra planificación urbana, las ciudades con una población de 50 a 200 mil personas se consideran óptimas y hasta 400 mil, aceptables. Esto significa que las ciudades que superaron los límites “permisibles” crecieron más rápido. Las ciudades “óptimas” también crecieron rápidamente, volviéndose subóptimas (la cursiva nuestra es A.M.)”.

Desde nuestro punto de vista, esta discusión es muy fructífera en términos científicos, aunque sus resultados prácticos resultaron negativos, ya que nunca se encontró el tamaño óptimo de la ciudad. Sin embargo, se puede aislar su resultado teórico:

1 El concepto de optimizar una ciudad basándose en un parámetro clave: el tamaño de la población, no ha recibido una confirmación teórica y práctica adecuada. No fue posible formular y justificar claramente ese valor. No se ha creado ninguna metodología para guiar eficazmente el desarrollo urbano hacia valores óptimos.

2 La cuestión de si en principio existe tal valor óptimo sigue abierta y aún sin resolver. Para solucionarlo, nuevo enfoques metodológicos, que se están formando como parte de la investigación en curso sobre la optimización del sistema de asentamientos del Distrito Federal de los Urales.

3 Ha surgido una nueva comprensión del concepto de tamaño óptimo de una ciudad, una especie de tamaño óptimo no absoluto, sino relativo, que no está asociado con indicadores absolutos, sino relativos. Además, se propone que el indicador más claro sea la correspondencia del tamaño de la ciudad con sus parámetros especificados en el plan general.

4 Los autores del concepto de optimización de la ciudad simplemente abordaron su pregunta a un nivel que no era adecuado al problema. Nos parece que la forma más probable de resolver este problema es optimizar no una ciudad individual, sino el sistema de asentamiento, regional y nacional. Esto se debe al hecho de que cualquier ciudad existe sólo como un elemento de un sistema de nivel superior, es decir, el sistema de asentamientos, y optimizarla aisladamente de este sistema parece ser una tarea difícil. La escala real a la que es posible la formulación y solución del problema de optimización es la escala del sistema de liquidación. Determinar el tamaño y el nivel de este sistema representa un desafío teórico adicional.

Tipos de problemas de optimización en planificación urbana

Ha sido posible identificar varios criterios clave mediante los cuales es necesario evaluar el problema de optimización del reasentamiento. La combinación de estos criterios es una especie de matriz que debería revelar la esencia del problema de optimizar los sistemas de liquidación.

1 Por la presencia o ausencia de un límite al crecimiento del recurso que se optimiza. Para algunos problemas de optimización, teóricamente es posible un crecimiento ilimitado del indicador que debe optimizarse. O, por el contrario, hay un cierto nivel final, después del cual el crecimiento del indicador se vuelve imposible. En nuestro caso, creemos tentativamente que el problema de optimizar el asentamiento pertenece a la primera opción, ya que el aumento en el indicador de optimización está relacionado con el tamaño de la población, y este indicador teóricamente puede aumentar indefinidamente.

2 Por la presencia de un óptimo o varios óptimos (conjunto óptimo). Dependiendo del tipo de problema podrá tener un óptimo o varios óptimos. En nuestro caso, podemos describir preliminarmente el problema como si tuviera varios óptimos debido a que son posibles varias opciones para optimizar la distribución en una superficie plana limitada.

3 Según el cumplimiento del criterio de Pareto (aumentar el parámetro de optimización para algunos elementos no viene a costa de reducirlo para otros elementos). En esta situación, es necesario responder a la pregunta: ¿es posible aumentar el nivel de optimización?

mización de algunos elementos del sistema de liquidación, sin reducirla nunca en otros. La práctica de la planificación urbana muestra que el desarrollo de un gran sistema de asentamientos cumpliendo el criterio de Pareto parece imposible. El desarrollo de elementos del sistema de asentamiento se produce, entre otras cosas, debido al flujo de población a lo largo de la jerarquía de asentamiento (por regla general, de los niveles inferiores a superiores).

4 ¿Con qué número de criterios se debe realizar la optimización? Uno o varios. El mayor problema teórico es si la optimización debe ser multicriterio o monocriterio. Para solucionarlo es necesario utilizar un aparato metodológico ya desarrollado: en primer lugar, es necesario señalar que a nivel macro, la actividad vital de la sociedad se forma como resultado de la interacción de sus tres subsistemas principales. En orden de aparición, se pueden enumerar en el siguiente orden:

1) Subsistema natural-ecológico.

2) Subsistema sociodemográfico.

3) Subsistema económico.

En el curso del desarrollo histórico, estos subsistemas se fueron generando sucesivamente unos a otros. El subsistema ecológico natural, que existió originalmente durante un tiempo inconmensurablemente más largo que el hombre mismo, lo engendró en el curso de su desarrollo evolutivo. La dirección principal de la actividad humana como ser racional se ha convertido en el deseo de asegurar la supervivencia y el desarrollo mediante el máximo uso efectivo recursos naturales con el deseo simultáneo de minimizar su dependencia de los desastres naturales. Gracias a este deseo, el subsistema sociodemográfico creado por el hombre ha adquirido una importante autonomía en relación al subsistema ecológico natural. Comenzaron a formarse conexiones directas e inversas entre ellos y se desarrollaron contradicciones. Para superarlos, el hombre ha creado un subsistema económico que le permite aumentar drásticamente el volumen de bienes producidos y consumidos y, por lo tanto, consolida su separación del subsistema ecológico natural. Cabe señalar que el tema en este sistema es, por supuesto, el desarrollo social.

Subsistema mográfico, que es un conjunto de individuos humanos unidos en varias comunidades por motivos étnicos, raciales, religiosos y de otro tipo. A lo largo de su historia, la humanidad vive y se desarrolla en este triángulo de fuerzas: naturaleza - sociedad - economía.

Como puede ver, existen tres criterios mediante los cuales se puede optimizar el sistema de asentamiento, dependiendo de la prioridad de desarrollo que elija la sociedad. Al mismo tiempo, en el marco de un estudio anterior, se hizo la siguiente afirmación: el sistema de asentamiento territorial, en nuestra opinión, es el elemento que mantiene unidos los tres subsistemas del desarrollo de la sociedad humana. Esto sucede por varias razones.

En primer lugar, porque la humanidad en general y cualquier comunidad humana en particular surge y se desarrolla en un territorio formado evolutivamente (principalmente tierra), que es, ante todo, un espacio de biosfera, una zona apta para la existencia. especies biológicas. Así, la creación de cualquier asentamiento humano siempre se produce, en primer lugar, por la exclusión y uso del territorio perteneciente a la biosfera. El subsistema ecológico natural también desempeña una función muy importante como limitador del desarrollo de otros subsistemas y establece las características específicas de su desarrollo en determinadas condiciones.

En segundo lugar, el desarrollo del sistema de asentamiento territorial es un reflejo directo de las actividades del subsistema sociodemográfico. El sistema de asentamiento territorial refleja de forma concentrada las características específicas de una sociedad, su historia y presente, el nivel de desarrollo que ha alcanzado y estructura demográfica. Estas características se manifiestan espacialmente a través de indicadores tales como el tamaño y la densidad de la población, la proporción y distribución de las poblaciones rurales y urbanas, la dirección y la intensidad de los flujos migratorios.

En tercer lugar, el subsistema económico, al ser un derivado del subsistema sociodemográfico, es su continuación espacial directa y realiza espacialmente varias funciones básicas. Esto es para asegurar la producción necesaria.

procesos de riego, organización de enlaces de transporte entre asentamientos, extracción de los recursos naturales necesarios. El subsistema económico, como el subsistema sociodemográfico que lo generó, sólo puede existir y desarrollarse en el marco del subsistema ecológico natural. Su desarrollo reduce aún más el espacio del sistema ecológico natural, tanto directamente a través de sus objetos materiales ubicados en el espacio como a través de las consecuencias de sus actividades. El sistema de asentamiento territorial es el elemento que une todos los subsistemas de la sociedad humana y, como tal, es su síntesis. Fuera y sin el sistema de asentamiento territorial, estos subsistemas simplemente no pueden existir.

Por tanto, estamos ante una situación ambigua. Por un lado, existen tres criterios para optimizar el asentamiento: ambiental, social y económico. Al mismo tiempo, el estudio introduce como criterio clave un criterio de optimización completamente nuevo: el geopolítico. Se da el concepto principal de este criterio de optimización, su contenido se revela a continuación: el nivel más adecuado para considerar el desarrollo de los sistemas de ordenamiento territorial es el nivel nacional. Y la verdadera unidad del sistema de liquidación territorial es el sistema de liquidación nacional. Exactamente fronteras estatales Existen límites claros y justificados del sistema de liquidación.

En este sentido, se plantea la pregunta: ¿qué papel juega el sistema de asentamiento nacional en el funcionamiento del Estado, y no en general de alguna comunidad humana abstracta? En nuestra opinión, el objetivo principal de la existencia y funcionamiento del sistema nacional de asentamiento territorial es garantizar el control más eficaz y duradero sobre el territorio nacional del Estado existente y de la nación que lo habita. El sistema de asentamiento territorial es una especie de “estructura de dominación” que asegura el desarrollo más eficiente del territorio y de los recursos disponibles en él, asegurando el más eficiente

desarrollo de esta sociedad nacional en particular, tanto en su conjunto como de sus miembros individuales. Y además, garantizar la mayor estabilidad de la nación frente a posibles influencias externas adversas. El cumplimiento o incumplimiento de este criterio principal para un control espacial efectivo es clave para evaluar la calidad del sistema de asentamiento territorial.

Conclusión

Así, teóricamente tenemos cuatro posibles respuestas a la pregunta planteada sobre cuál debe ser la naturaleza de la optimización en la planificación urbana:

1 La optimización es posible según cualquiera de tres parámetros separados: ambiental, social o económico, que es lo que realmente se intentó hacer en el período soviético en el marco del sistema de planificación regional, cuando se suponía que era posible lograr la optimización. del sistema de asentamientos según el parámetro económico, en su comprensión socialista.

2 La optimización es posible (al menos teóricamente) para los tres parámetros separados simultáneamente, suavizando las contradicciones que existen entre ellos. En esencia, dicha optimización se acerca al concepto desarrollo sostenible, que se basa en el deseo de equilibrar las necesidades socioeconómicas de la sociedad y las capacidades ambientales para satisfacerlas.

3 La optimización según el parámetro geopolítico, cuando se vuelve primordial garantizar el control más efectivo y a largo plazo sobre el territorio nacional de un estado existente y la nación que lo habita. Este tipo de optimización corresponde a la metodología este estudio y parece ser el más prometedor.

4 Optimización de los cuatro parámetros a la vez, cuando se logra la optimización simultánea de los parámetros ambientales, sociales, económicos y geopolíticos. Este tipo de optimización se puede denominar superoptimización, cuando todos los parámetros se optimizan simultáneamente. Alcanzar tal estado parece muy dudoso, pero hay que tenerlo en cuenta

como resultado final ideal.

Lista de literatura usada

1 Shuper V.A. Autoorganización de asentamientos urbanos/Rus. Universidad Abierta M., 1995.

2 Pokshishevsky V.V. Asentamiento de Siberia. Ensayos históricos y geográficos. M., 1951.

3 Brazovskaya N.V. Métodos de optimización: libro de texto. subsidio / Estado de Altai. tecnología. Universidad que lleva el nombre I. I. Polzunova [Centro a distancia. capacitación]. Barnaúl, 2000.

4 Gran Enciclopedia Soviética. 3ª edición. M., 1975. T. 19.

5 Raizberg B. A., Lozovsky L. Sh., Starodubtseva E. B. Diccionario económico moderno. 2ª ed., rev. M., 1999.

6 Economía: diccionario explicativo. M., 2000.

7 Perevedentsev V. I. Métodos para estudiar la migración de población, M., 1975.

8 Dubrovsky P. N. Dimensiones máximas de la ciudad // Ciencia y tecnología. 1970. N° 6.

9 Mazaev A. G. El sistema de asentamiento territorial nacional como factor de control: enfoque geopolítico // Boletín académico UralNIIproekt RAASN. 2008. N° 1. Págs. 32-37.

10 Mazaev A. G. Formación y desarrollo del sistema de asentamiento de los Urales (siglos XVII-XIX): etapas y características geopolíticas // Boletín académico UralNIIproekt RAASN. 2014. N° 1. Pág. 10.

11 Mazaev A. G. Análisis del desarrollo de la estructura del sistema de asentamiento de los Urales (finales del siglo XIV - XX) utilizando el método de media móvil // Boletín académico UralNIIproekt RAASN. 2014. N° 3. Pág. 34.

Parámetros para una estructura de objeto dada, entonces se llama optimización paramétrica. El problema de elegir la estructura óptima es optimización estructural.

Un problema de optimización matemática estándar se formula de la siguiente manera. Entre los elementos χ que forman los conjuntos Χ, encuentre un elemento χ * que proporcione el valor mínimo f(χ *) de la función dada f(χ). Para formular correctamente el problema de optimización es necesario establecer:

1. conjunto admisible- un montón de $\backslash mathbb(X)=\backslash (\backslash vec(x)|\backslash ;g\_i(\backslash vec(x))\backslash leq\; 0,\backslash ;i=1,\backslash ldots,m\backslash )\; \backslash subset\; \backslash mathbb(R)^n$;
2. Función objetivo- mostrar $f:\backslash ;\backslash mathbb(X)\backslash a\backslash mathbb(R)$;
3. Criterio de búsqueda(máximo o mínimo).

Luego resuelve el problema $f(x)\backslash to\; \backslash min\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathrm(X))$ significa uno de:

1. Mostrar que $\backslash mathbb(X)=\backslash varnada$.
2. Demuestre que la función objetivo $f(\backslash vec(x))$ no limitado desde abajo.
3. Encontrar $\backslash vec(x)^*\backslash in\backslash mathbb(X):\backslash ;f(\backslash vec(x)^*)=\backslash min\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathbb(X))f(\backslash vec(x\; ))$.
4. Si $\backslash nexistas\; \backslash vec(x)^*$, entonces busca $\backslash inf\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathbb(X))f(\backslash vec(x))$.

Si la función que se está minimizando no es convexa, entonces uno a menudo se limita a buscar mínimos y máximos locales: puntos $x\_0$ tal que en todas partes en algunos de sus barrios $f(x)\backslash ge\; f(x\_0)$ por mínimo y $f(x)\backslash le\; f(x\_0)$ para el máximo.

Si un conjunto admisible $\backslash mathbb(X)=\backslash mathbb(R)^n$, entonces tal problema se llama problema de optimización sin restricciones, de lo contrario - problema de optimización restringida.

Clasificación de métodos de optimización.

La notación general de los problemas de optimización especifica una amplia variedad de sus clases. La elección del método (la eficacia de su solución) depende de la clase del problema. La clasificación de los problemas está determinada por: la función objetivo y la región factible (establecida por un sistema de desigualdades e igualdades o un algoritmo más complejo).

Los métodos de optimización se clasifican según los problemas de optimización:

• Métodos locales: convergen a algún extremo local de la función objetivo. En el caso de una función objetivo unimodal, este extremo es único y será el máximo/mínimo global.
• Métodos globales: tratan con funciones objetivo multiextremos. En la búsqueda global, la tarea principal es identificar tendencias en el comportamiento global de la función objetivo.

Los métodos de búsqueda existentes actualmente se pueden dividir en tres grandes grupos:

1. determinista;
2. aleatorio (estocástico);
3. conjunto.

Según el criterio de la dimensión del conjunto admisible, los métodos de optimización se dividen en métodos optimización unidimensional y metodos optimización multidimensional.

Según el tipo de función objetivo y el conjunto admisible, los problemas de optimización y los métodos para resolverlos se pueden dividir en las siguientes clases:

• Problemas de optimización en los que la función objetivo $f(\backslash vec(x))$ y restricciones $g\_i(\backslash vec(x)),\backslash ;\; i=1,\backslash ldots,m$ son funciones lineales, resueltas mediante los llamados métodos programación lineal.
• De lo contrario, ocúpate de la tarea. programación no lineal y aplicar los métodos adecuados. A su vez, se distinguen de ellas dos tareas particulares:
  • Si $f(\backslash vec(x))$ Y $g\_i(\backslash vec(x)),\backslash ;i=1,\backslash ldots,m$ son funciones convexas, entonces tal problema se llama problema programación convexa;
  • Si $\backslash mathbb(X)\backslash subconjunto\; \backslash mathbb(Z)$, luego lidiar con el problema programación entera (discreta).

Según los requisitos de suavidad y la presencia de derivadas parciales en la función objetivo, también se pueden dividir en:

• métodos directos que requieren únicamente cálculos de la función objetivo en puntos de aproximación;
• métodos de primer orden: requieren el cálculo de las primeras derivadas parciales de una función;
• Métodos de segundo orden: requieren el cálculo de segundas derivadas parciales, es decir, la hessiana de la función objetivo.

Además, los métodos de optimización se dividen en los siguientes grupos:

• métodos analíticos (por ejemplo, el método del multiplicador de Lagrange y las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker);

Dependiendo de la naturaleza del conjunto X Los problemas de programación matemática se clasifican en:

• problemas de programación discreta (u optimización combinatoria) - si X finito o contable;
• problemas de programación entera - si X es un subconjunto del conjunto de números enteros;
• problemas de programación no lineal, si las restricciones o la función objetivo contienen funciones no lineales y X es un subconjunto de un espacio vectorial de dimensión finita.
• Si todas las restricciones y la función objetivo contienen sólo funciones lineales, entonces se trata de un problema de programación lineal.

Además, las ramas de la programación matemática son la programación paramétrica, la programación dinámica y la programación estocástica.

La programación matemática se utiliza para resolver problemas de optimización en la investigación de operaciones.

El método para encontrar el extremo está completamente determinado por la clase del problema. Pero antes de obtener un modelo matemático, es necesario realizar 4 etapas de modelado:

• Determinar los límites del sistema de optimización.
  • Descartamos aquellas conexiones entre el objeto de optimización y el mundo exterior que no pueden influir mucho en el resultado de la optimización o, más precisamente, aquellas sin las cuales se simplifica la solución.
• Seleccionar variables controladas
  • “Congelamos” los valores de algunas variables (variables no controladas). Dejamos que otros acepten cualquier valor del rango de soluciones factibles (variables controladas)
• Definición de restricciones sobre variables controladas.
  • … (igualdades y/o desigualdades)
• Seleccionar un criterio de optimización numérico (por ejemplo, un indicador de rendimiento)
  • Crear una función objetivo

Historia

En 1949, Kantorovich, junto con M.K. Gavurin, desarrolló un método potencial que se utiliza para resolver problemas de transporte. En trabajos posteriores de Kantorovich, Nemchinov, V.V. Novozhilov, A.L. Lurie, A. Brudno, Aganbegyan, D.B. Yudin, E.G. Golshtein y otros matemáticos y economistas, se desarrollaron aún más como una teoría matemática de la programación lineal y no lineal, y la aplicación de sus métodos para el estudio de diversos Problemas económicos.

Muchos trabajos de científicos extranjeros están dedicados a métodos de programación lineal. En 1941, F. L. Hitchcock planteó un problema de transporte. El método principal para resolver problemas de programación lineal, el método simplex, fue publicado en 1949 por Danzig. Mayor desarrollo Los métodos de programación lineal y no lineal se obtuvieron en los trabajos de Kuhn ( Inglés), A. Tucker ( Inglés), Gass (Saul. I. Gass), Charnes (Charnes A.), Beale (E. M.), etc.

Simultáneamente con el desarrollo de la programación lineal, se prestó mucha atención a los problemas de programación no lineal, en los que la función objetivo, las restricciones o ambas son no lineales. En 1951, Kuhn y Tucker publicaron un artículo que proporcionaba condiciones de optimización necesarias y suficientes para resolver problemas de programación no lineal. Este trabajo sirvió de base para investigaciones posteriores en esta área.

Desde 1955 se han publicado numerosos trabajos sobre programación cuadrática (trabajos de Beal, Barankin y Dorfman R., Frank M. y Wolfe P., Markowitz, etc.). Los trabajos de Dennis J. B., Rosen J. B. y Zontendijk G. desarrollaron métodos de gradiente para resolver problemas de programación no lineal.

Actualmente, para el uso eficaz de métodos de programación matemática y resolución de problemas en computadoras, se han desarrollado lenguajes de modelado algebraico, cuyos representantes son AMPL y LINGO.

ver también

Escribe una reseña sobre el artículo "Optimización (matemáticas)"

Notas

Literatura

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Enlaces

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Un extracto que caracteriza la optimización (matemáticas)

El vagabundo se calmó y, de nuevo entablando conversación, habló largo rato del padre Anfiloquio, que era tan santo de la vida que su mano olía a palma, y ​​de cómo los monjes que conoció en su último viaje a Kiev le dieron la llaves de las cuevas, y cómo ella, llevándose galletas, pasó dos días en las cuevas con los santos. “Rezaré a uno, leeré, iré a otro. Tomaré un pino, iré y volveré a tomar un beso; y tal silencio, madre, tanta gracia, que ni siquiera quieres salir a la luz de Dios”.
Pierre la escuchó atenta y seriamente. El príncipe Andrei salió de la habitación. Y después de él, dejando que el pueblo de Dios terminara su té, la princesa María condujo a Pierre a la sala de estar.
“Eres muy amable”, le dijo.
- ¡Oh, realmente no pensé en ofenderla, entiendo y valoro mucho estos sentimientos!
La princesa María lo miró en silencio y sonrió con ternura. “Después de todo, te conozco desde hace mucho tiempo y te amo como a un hermano”, dijo. – ¿Cómo encontraste a Andrey? - preguntó apresuradamente, sin darle tiempo a decir nada en respuesta a sus amables palabras. - Me preocupa mucho. Su salud mejora en invierno, pero la primavera pasada se abrió la herida y el médico dijo que debía recibir tratamiento. Y moralmente tengo mucho miedo por él. Él no es el tipo de personaje que somos las mujeres para sufrir y llorar nuestro dolor. Lo lleva dentro de sí. Hoy está alegre y vivaz; pero fue tu llegada lo que le afectó tanto: rara vez es así. ¡Si pudieras convencerlo de que se fuera al extranjero! Necesita actividad y esta vida tranquila y tranquila lo está arruinando. Otros no se dan cuenta, pero yo veo.
A las diez, los camareros corrieron al porche al oír acercarse las campanas del carruaje del viejo príncipe. El príncipe Andréi y Pedro también salieron al porche.
- ¿Quién es? - preguntó el viejo príncipe, bajándose del carruaje y adivinando a Pierre.
– ¡La IA está muy feliz! "Beso", dijo, habiendo aprendido quién era el joven desconocido.
El viejo príncipe estaba de buen humor y trataba a Pierre con amabilidad.
Antes de cenar, el príncipe Andrés, al regresar a la oficina de su padre, encontró al viejo príncipe discutiendo acaloradamente con Pierre.
Pierre argumentó que llegaría el momento en que no habría más guerra. El viejo príncipe, burlándose pero no enojado, lo desafió.
- Deja que la sangre salga de tus venas, vierte un poco de agua, así no habrá guerra. "Una tontería de mujer, una tontería de mujer", dijo, pero aun así le dio una cariñosa palmada en el hombro a Pierre y se acercó a la mesa donde el príncipe Andrei, aparentemente sin querer entablar una conversación, estaba clasificando los papeles que el príncipe había traído de la biblioteca. ciudad. El viejo príncipe se acercó a él y empezó a hablar de negocios.
- El líder, el conde Rostov, no liberó a la mitad del pueblo. Llegué a la ciudad, decidí invitarlo a cenar, - Le di una cena así... Pero mira esto... Bueno, hermano, - el Príncipe Nikolai Andreich se volvió hacia su hijo, dándole una palmada en el hombro a Pierre, - ¡Bien hecho, tu amigo, lo amaba! Me enciende. El otro habla cosas inteligentes, pero no quiero escucharlo, pero miente y me inflama, que soy un anciano. Bueno, ve, ve”, dijo, “tal vez iré y me sentaré en tu cena”. Volveré a discutir. "Amo a mi tonto, princesa Marya", le gritó a Pierre desde la puerta.
Sólo ahora, durante su visita a Montes Calvos, Pierre apreció toda la fuerza y ​​el encanto de su amistad con el príncipe Andrés. Este encanto se expresaba no tanto en sus relaciones consigo mismo, sino en sus relaciones con todos sus familiares y amigos. Pierre, con el viejo y severo príncipe y con la mansa y tímida princesa María, a pesar de que apenas los conocía, inmediatamente se sintió como un viejo amigo. Todos ya lo amaban. No sólo la princesa María, sobornada por su actitud mansa hacia los extraños, lo miró con la mirada más radiante; pero el pequeño príncipe Nicolás, de un año, como lo llamaba su abuelo, le sonrió a Pierre y se echó en sus brazos. Mijaíl Ivanovich, señorita Bourienne, le miraba con sonrisas alegres mientras hablaba con el viejo príncipe.
El viejo príncipe salió a cenar: esto era evidente para Pierre. Fue extremadamente amable con él los dos días de su estancia en Bald Mountains y le dijo que viniera a verlo.
Cuando Pierre se fue y todos los miembros de la familia se reunieron, comenzaron a juzgarlo, como siempre sucede después de la partida de una nueva persona, y, como rara vez sucede, todos dijeron algo bueno de él.

Al regresar esta vez de sus vacaciones, Rostov sintió y descubrió por primera vez cuán fuerte era su conexión con Denisov y con todo el regimiento.
Cuando Rostov llegó al regimiento, experimentó una sensación similar a la que experimentó al acercarse a la Casa del Cocinero. Cuando vio al primer húsar con el uniforme desabrochado de su regimiento, cuando reconoció al pelirrojo Dementyev, vio los postes de los caballos rojos, cuando Lavrushka gritó alegremente a su amo: "¡Ha llegado el conde!" y el peludo Denisov, que dormía en la cama, salió corriendo del refugio, lo abrazó y los oficiales se acercaron al recién llegado; Rostov experimentó el mismo sentimiento que cuando su madre, su padre y sus hermanas lo abrazaron, y las lágrimas de alegría que Llegó a su garganta y le impidió hablar. El regimiento era también un hogar, y el hogar era invariablemente dulce y querido, al igual que el hogar de los padres.
Después de comparecer ante el comandante del regimiento, haber sido asignado al escuadrón anterior, haber estado de servicio y buscar comida, haber entrado en todos los pequeños intereses del regimiento y sentirse privado de libertad y encadenado a un marco estrecho e inmutable, Rostov experimentó la la misma calma, el mismo apoyo y la misma conciencia de estar aquí en casa, en su lugar, que sentía bajo el techo de sus padres. No existía todo este caos del mundo libre, en el que no encontraba un lugar y cometía errores en las elecciones; no había ninguna Sonya con quien fuera necesario o no explicar las cosas. No había opción de ir o no; no existían las 24 horas del día que pudieran utilizarse de tantas maneras diferentes; no existía esta innumerable multitud de personas, de las cuales nadie estaba más cerca, nadie estaba más lejos; no había estos poco claros e inciertos relaciones monetarias¡Con su padre, Dolokhov no recordaba la terrible pérdida! Aquí en el regimiento todo era claro y sencillo. El mundo entero estaba dividido en dos secciones desiguales. Uno es nuestro regimiento de Pavlogrado y el otro es todo lo demás. Y no había nada más de qué preocuparse. En el regimiento se sabía todo: quién era el teniente, quién el capitán, quién era una buena persona, quién era una mala persona y, lo más importante, un camarada. El comerciante cree en las deudas, el salario es un tercio; no hay nada que inventar ni elegir, simplemente no hacer nada que se considere malo en el regimiento de Pavlogrado; pero si os envían, haced lo que es claro y distinto, definido y ordenado: y todo irá bien.
Habiendo ingresado estos nuevamente ciertas condiciones En la vida del regimiento, Rostov experimentó alegría y tranquilidad, similares a las que siente una persona cansada cuando se acuesta a descansar. Esta vida de regimiento fue aún más gratificante para Rostov durante esta campaña porque, después de perder ante Dolokhov (un acto que él, a pesar de todos los consuelos de su familia, no podía perdonarse), decidió servir no como antes, sino en Para hacer las paces, servir bien y ser un excelente compañero y oficial, es decir, una persona maravillosa, lo que parecía tan difícil en el mundo, pero tan posible en el regimiento.
Rostov, desde el momento de su pérdida, decidió que pagaría esta deuda a sus padres en cinco años. Le enviaron 10 mil al año, pero ahora decidió tomar solo dos y darle el resto a sus padres para saldar la deuda.

Nuestro ejército, después de repetidas retiradas, ofensivas y batallas en Pultusk, en Preussisch Eylau, se concentró cerca de Bartenstein. Estaban esperando la llegada del soberano al ejército y el inicio de una nueva campaña.
El regimiento de Pavlogrado, que formaba parte del ejército que estaba en campaña en 1805, fue reclutado en Rusia y llegó tarde a las primeras acciones de la campaña. No estaba ni cerca de Pultusk ni cerca de Preussisch Eylau, y en la segunda mitad de la campaña, habiéndose unido al ejército activo, fue asignado al destacamento de Platov.
El destacamento de Platov actuó independientemente del ejército. Varias veces los habitantes de Pavlograd estuvieron en unidades en escaramuzas con el enemigo, capturaron prisioneros y una vez incluso recuperaron las tripulaciones del mariscal Oudinot. En abril, los residentes de Pavlograd permanecieron sin moverse durante varias semanas cerca de una aldea alemana vacía que había sido destruida hasta los cimientos.
Hubo escarcha, barro, frío, los ríos se rompieron, los caminos se volvieron intransitables; Durante varios días no dieron alimento ni a los caballos ni a la gente. Dado que la entrega se volvió imposible, la gente se dispersó por aldeas abandonadas del desierto en busca de patatas, pero encontraron poco de eso. Todo fue comido y todos los habitantes huyeron; los que se quedaron eran peores que los mendigos, y no había nada que quitarles, e incluso poco; los soldados compasivos a menudo, en lugar de aprovecharse de ellos, les daban lo último.

Se considera óptima la opción de decisión más aceptable, la que se toma a nivel gerencial sobre cualquier tema, y ​​se considera optimización el proceso de búsqueda de la misma.

La interdependencia y complejidad de los aspectos organizativos, socioeconómicos, técnicos y otros de la gestión de la producción actualmente se reduce a tomar una decisión de gestión que afecte un gran número de varios tipos de factores que están estrechamente entrelazados entre sí, por lo que resulta imposible analizar cada uno por separado utilizando métodos analíticos tradicionales.

La mayoría de los factores son decisivos en el proceso de toma de decisiones y (inherentemente) no pueden cuantificarse. También los hay que prácticamente no cambian. En este sentido, era necesario desarrollar métodos especiales que pudieran garantizar la selección de importantes las decisiones de gestión en el marco de complejos problemas organizativos, económicos y técnicos (evaluaciones de expertos, investigación operativa y métodos de optimización, etc.).

Los métodos destinados a la investigación operativa se utilizan para encontrar soluciones óptimas en áreas de gestión como la organización de los procesos de producción y transporte, la planificación de la producción a gran escala, el suministro de materiales y técnicos.

Los métodos para optimizar soluciones implican la investigación comparando estimaciones numéricas de una serie de factores, cuyo análisis no se puede realizar mediante métodos tradicionales. La solución óptima es la mejor entre las opciones posibles con respecto al sistema económico, y la más aceptable en relación con los elementos individuales del sistema es subóptima.

La esencia de los métodos de investigación de operaciones.

Como se mencionó anteriormente, forman métodos para optimizar las decisiones de gestión. Se basan en modelos matemáticos (deterministas) probabilísticos que representan el proceso, tipo de actividad o sistema en estudio. Este tipo de modelo representa una característica cuantitativa del problema correspondiente. Sirven como base para la toma de importantes decisiones de gestión en el proceso de búsqueda de la opción óptima.

Una lista de cuestiones que desempeñan un papel importante para los responsables directos de producción y que se resuelven durante el uso de los métodos considerados:

• el grado de validez de las opciones de decisión elegidas;
• cuánto mejores son que las alternativas;
• grado de consideración de los factores determinantes;
• ¿Cuál es el criterio para la optimización de las soluciones seleccionadas?

Estos métodos de optimización de decisiones (de gestión) tienen como objetivo encontrar soluciones óptimas para tantas empresas, empresas o sus divisiones como sea posible. Se basan en logros existentes en disciplinas estadísticas, matemáticas y económicas (teoría de juegos, colas, gráficos, programación óptima, estadística matemática).

Métodos de evaluación de expertos.

Estos métodos para optimizar las decisiones de gestión se utilizan cuando el problema no está total o parcialmente sujeto a formalización y su solución no se puede encontrar a través de métodos matemáticos.

La experiencia es el estudio de cuestiones especiales complejas en la etapa de desarrollo de una decisión de gestión específica por parte de personas relevantes que tienen una base de conocimientos especial y una experiencia impresionante para obtener conclusiones, recomendaciones, opiniones y evaluaciones. En el proceso de investigación de expertos se utilizan los últimos logros tanto de la ciencia como de la tecnología en el marco de la especialización del experto.

Los métodos considerados para optimizar una serie de decisiones de gestión (evaluaciones de expertos) son eficaces para resolver las siguientes tareas de gestión en el campo de la producción:

1. Estudiando procesos complejos, fenómenos, situaciones, sistemas que se caracterizan por características informales y cualitativas.
2. Clasificación y determinación, según un determinado criterio, de factores significativos que resultan decisivos para el funcionamiento y desarrollo del sistema productivo.
3. Los métodos de optimización considerados son particularmente efectivos para predecir tendencias en el desarrollo de un sistema de producción, así como su interacción con el entorno externo.
4. Incrementar la confiabilidad de la evaluación de expertos de funciones principalmente objetivo que son de naturaleza cuantitativa y cualitativa, promediando las opiniones de especialistas calificados.

Y estos son sólo algunos métodos para optimizar una serie de decisiones de gestión (evaluación de expertos).

Clasificación de los métodos considerados.

Los métodos para resolver problemas de optimización, según la cantidad de parámetros, se pueden dividir en:

• Métodos de optimización unidimensionales.
• Métodos de optimización multidimensional.

También se les llama “métodos de optimización numérica”. Para ser precisos, estos son algoritmos para buscarlo.

Como parte del uso de derivados, los métodos son:

• métodos de optimización directa (orden cero);
• métodos de gradiente (primer orden);
• Métodos de segundo orden, etc.

La mayoría de los métodos de optimización multidimensional se acercan al problema del segundo grupo de métodos (optimización unidimensional).

Métodos de optimización unidimensionales.

Cualquier método de optimización numérica se basa en el cálculo aproximado o exacto de características tales como los valores de la función objetivo y las funciones que definen el conjunto admisible y sus derivadas. Por lo tanto, para cada tarea individual, la cuestión de la elección de las características para el cálculo se puede resolver dependiendo de las propiedades existentes de la función considerada, las capacidades disponibles y las limitaciones en el almacenamiento y procesamiento de información.

Existen los siguientes métodos para resolver problemas de optimización (unidimensionales):

• método de Fibonacci;
• dicotomías;
• proporción áurea;
• duplicando el paso.

método fibonacci

Primero, debe establecer las coordenadas del punto x en el intervalo como un número igual a la relación entre la diferencia (x - a) y la diferencia (b - a). Por lo tanto, a tiene una coordenada de 0 con respecto al intervalo, b tiene una coordenada de 1 y el punto medio es ½.

Si suponemos que F0 y F1 son iguales entre sí y tomamos el valor 1, F2 será igual a 2, F3 - 3, ..., entonces Fn = Fn-1 + Fn-2. Entonces, Fn son números de Fibonacci, y la búsqueda de Fibonacci es la estrategia óptima para la llamada búsqueda secuencial del máximo debido a que está bastante relacionada con ellos.

Como parte de la estrategia óptima, se acostumbra elegir xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Para cualquiera de los dos intervalos (o), cada uno de los cuales puede actuar como un intervalo de incertidumbre reducido, el punto (heredado) con respecto al nuevo intervalo tendrá coordenadas o . A continuación, se toma un punto como xn - 2 que tiene una de las coordenadas presentadas con respecto al nuevo intervalo. Si utiliza F(xn - 2), un valor de función que se hereda del intervalo anterior, es posible reducir el intervalo de incertidumbre y heredar un valor de función.

En el paso final, será posible pasar a un intervalo de incertidumbre como , mientras que el punto medio se hereda del paso anterior. Como x1, se establece un punto que tiene una coordenada relativa de ½+ε, y el intervalo de incertidumbre final será o [½, 1] con respecto a .

En el primer paso, la duración de este intervalo se redujo a Fn-1: Fn (de uno). En los pasos finales, la reducción en las longitudes de los intervalos correspondientes está representada por los números Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε ). Entonces, la longitud de dicho intervalo como versión final tomará el valor (1 + 2ε): Fn.

Si descuidamos ε, entonces asintóticamente 1: Fn será igual a rn, con n→∞, y r = (√5 - 1) : 2, que es aproximadamente igual a 0,6180.

Vale la pena señalar que asintóticamente para n significativo, cada paso posterior de la búsqueda de Fibonacci reduce significativamente el intervalo considerado por el coeficiente anterior. Este resultado debe compararse con 0,5 (el coeficiente de reducción del intervalo de incertidumbre dentro del método de bisección para encontrar el cero de la función).

método de dicotomía

Si imagina una determinada función objetivo, primero debe encontrar su extremo en el intervalo (a; b). Para ello, el eje de abscisas se divide en cuatro partes equivalentes, luego es necesario determinar el valor de la función en cuestión en 5 puntos. A continuación, se selecciona el mínimo entre ellos. El extremo de la función debe estar dentro del intervalo (a"; b"), que es adyacente al punto mínimo. Los límites de búsqueda se reducen 2 veces. Y si el mínimo se encuentra en el punto aob, entonces se estrecha cuatro veces. El nuevo intervalo también se divide en cuatro segmentos iguales. Debido a que los valores de esta función en tres puntos se determinaron en la etapa anterior, entonces es necesario calcular la función objetivo en dos puntos.

Método de la proporción áurea

Para valores significativos de n, las coordenadas de puntos como xn y xn-1 están cerca de 1 - r, igual a 0,3820 y r ≈ 0,6180. El impulso de estos valores está muy cerca de la estrategia óptima deseada.

Si suponemos que F(0,3820) > F(0,6180), entonces se delinea el intervalo. Sin embargo, debido al hecho de que 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, entonces F ya se conoce en este punto. En consecuencia, en cada etapa, a partir de la 2ª, sólo es necesario un cálculo de la función objetivo, y cada paso reduce la longitud del intervalo considerado en un factor de 0,6180.

A diferencia de la búsqueda de Fibonacci, este método no requiere fijar el número n antes de iniciar la búsqueda.

La “sección áurea” de una sección (a; b) es una sección en la que la relación entre su longitud r y la parte mayor (a; c) es idéntica a la relación entre la parte mayor r y la más pequeña, es decir , (a; c) a (c; b). No es difícil adivinar que r está determinado por la fórmula anterior. En consecuencia, para n significativo, el método de Fibonacci se aplica a este.

Método de duplicación de pasos

La esencia es la búsqueda de la dirección de disminución de la función objetivo, movimiento en esta dirección en caso de una búsqueda exitosa con un paso que aumenta gradualmente.

Primero, determinamos la coordenada inicial M0 de la función F(M), el valor de paso mínimo h0 y la dirección de búsqueda. Luego definimos la función en el punto M0. A continuación, damos un paso y encontramos el valor de esta función en este punto.

Si la función es menor que el valor que tenía en el paso anterior, el siguiente paso debe realizarse en la misma dirección, habiéndolo aumentado primero 2 veces. Si su valor es mayor que el anterior, deberá cambiar la dirección de búsqueda y luego comenzar a moverse en la dirección seleccionada con los pasos h0. El algoritmo presentado se puede modificar.

Métodos de optimización multidimensional.

El método de orden cero mencionado anteriormente no tiene en cuenta las derivadas de la función minimizada, por lo que su uso puede resultar eficaz si surge alguna dificultad al calcular las derivadas.

El grupo de métodos de primer orden también se denomina métodos de gradiente, porque para establecer la dirección de búsqueda se utiliza el gradiente de una función determinada, un vector cuyos componentes son las derivadas parciales de la función minimizada con respecto a los parámetros optimizados correspondientes. .

En el grupo de métodos de 2º orden se utilizan 2 derivadas (su uso es bastante limitado debido a las dificultades en su cálculo).

Lista de métodos de optimización sin restricciones

Cuando se utiliza la búsqueda multidimensional sin utilizar derivados, los métodos de optimización sin restricciones son los siguientes:

• Hook y Jeeves (realizando 2 tipos de búsqueda: basada en patrones y exploratoria);
• minimización mediante el simplex correcto (buscando el punto mínimo de la función correspondiente comparando sus valores en los vértices del simplex en cada iteración individual);
• descenso cíclico de coordenadas (utilizando vectores de coordenadas como puntos de referencia);
• Rosenbrock (basado en el uso de minimización unidimensional);
• minimización usando un simplex deformado (modificación del método de minimización usando un simplex regular: agregando un procedimiento de compresión y estiramiento).

En la situación de utilizar derivadas en el proceso de búsqueda multidimensional, se distingue el método de descenso más pronunciado (el procedimiento más fundamental para minimizar una función diferenciable con varias variables).

También existen otros métodos que utilizan direcciones conjugadas (método de Davidon-Fletcher-Powell). Su esencia es la representación de las direcciones de búsqueda como Dj*grad(f(y)).

Clasificación de métodos de optimización matemática.

Convencionalmente, según la dimensión de funciones (objetivo), son:

• con 1 variable;
• multidimensional.

Dependiendo de la función (lineal o no lineal), existen una gran cantidad de métodos matemáticos destinados a encontrar un extremo para resolver el problema.

Según el criterio de utilización de derivadas, los métodos de optimización matemática se dividen en:

• métodos para calcular 1 derivada de la función objetivo;
• multidimensional (1ª derivada-cantidad vectorial-gradiente).

Según la eficiencia del cálculo, existen:

• métodos para el cálculo rápido del extremo;
• cálculo simplificado.

Esta es una clasificación condicional de los métodos considerados.

Optimización de procesos de negocio

Aquí se pueden utilizar varios métodos, dependiendo de los problemas que se estén resolviendo. Se acostumbra distinguir los siguientes métodos para optimizar los procesos comerciales:

• excepciones (reducir los niveles del proceso existente, eliminar las causas de interferencia y control de entrada, reducir las rutas de transporte);
• simplificación (procesamiento de pedidos facilitado, complejidad reducida de la estructura del producto, distribución del trabajo);
• estandarización (uso de programas, métodos, tecnologías, etc. especiales);
• aceleración (ingeniería paralela, estimulación, diseño operativo de prototipos, automatización);
• cambio (cambios en materias primas, tecnología, métodos de trabajo, personal, sistemas de trabajo, volumen de pedidos, procedimientos de procesamiento);
• asegurar la interacción (en relación con las unidades organizativas, el personal, el sistema de trabajo);
• selección e inclusión (en relación con los procesos y componentes necesarios).

Optimización fiscal: métodos

La legislación rusa brinda al contribuyente oportunidades muy ricas para reducir los impuestos, por lo que se acostumbra distinguir los métodos destinados a minimizarlos en generales (clásicos) y especiales.

Los métodos generales de optimización de impuestos son los siguientes:

• elaboración de la política contable de la empresa con el máximo uso posible de las oportunidades que brinda la legislación rusa (el procedimiento para cancelar las pequeñas empresas, la elección de un método para calcular los ingresos por la venta de bienes, etc.);
• optimización a través de un contrato (celebración de transacciones preferenciales, uso claro y competente de la redacción, etc.);
• aplicación de diversos tipos de beneficios y exenciones tributarias.

El segundo grupo de métodos también puede ser utilizado por todas las empresas, pero todavía tienen un ámbito de aplicación bastante limitado. Los métodos especiales de optimización de impuestos son los siguientes:

• sustitución de relaciones (una operación que implica una tributación onerosa se reemplaza por otra que permite lograr un objetivo similar, pero al mismo tiempo utilizar un trato fiscal preferencial).
• división de relaciones (reemplazo de solo una parte de una transacción comercial);
• aplazamiento del pago del impuesto (aplazamiento del momento de aparición del objeto imponible a otro período natural);
• reducción directa del objeto de tributación (deshacerse de muchas transacciones o propiedades sujetas a impuestos sin proporcionar influencia negativa a principal actividad económica compañías).

Rechazo de la definición actualmente dominante

La teoría económica es la ciencia de cuáles de los raros recursos productivos que las personas y la sociedad, con el tiempo, con o sin la ayuda del dinero, seleccionan para la producción de diversos bienes y su distribución para el consumo en el presente y en el futuro entre diferentes personas y grupos de personas. sociedad.

A favor de lo corto

ET es la ciencia de optimizar la economía (gestión) en todos los niveles hasta el nivel global.

Relacionado con las capacidades del concepto de optimización.

OPTIMIZACIÓN (una de las formulaciones): determinación de los valores de los indicadores económicos en los que se logra el óptimo, es decir, el mejor estado del sistema. En la mayoría de los casos, lo óptimo corresponde a lograr el resultado más alto con un gasto de recursos determinado o lograr un resultado determinado con un gasto de recursos mínimo. http://slovari.yandex.ru/dict/economic

O Optimización (del latín óptimo - el mejor): el proceso de encontrar el extremo (máximo o mínimo global) de una determinada función o elegir la mejor opción (óptima) entre muchas posibles. La forma más fiable de encontrar la mejor opción es una evaluación comparativa de todas las opciones posibles (alternativas).
Si el número de alternativas es grande, se suelen utilizar métodos de programación matemática para encontrar la mejor. Los métodos se pueden aplicar si existe una formulación estricta del problema: se especifica un conjunto de variables, se establece el área de su posible cambio (se especifican restricciones) y el tipo de función objetivo (la función cuyo extremo necesita ser encontrado) a partir de estas variables se determina. Este último es una medida cuantitativa (criterio) para evaluar el grado de consecución del objetivo. En problemas dinámicos, cuando las restricciones impuestas a las variables dependen del tiempo, se utilizan métodos de control óptimo y programación dinámica para encontrar el mejor curso de acción.

Para encontrar la óptima entre una gran cantidad de opciones racionales, se necesita información sobre la preferencia de varias combinaciones de valores de indicadores que caracterizan las opciones. En ausencia de esta información, la mejor opción entre las racionales es elegida por el directivo responsable de tomar la decisión...

La introducción del concepto de optimización en la definición de la teoría económica reduce las posibilidades de que haya una charla generalizada en esta ciencia.

La teoría económica como ciencia de la optimización de la economía requiere

Optimización del aparato conceptual de esta teoría;
- optimización de los métodos de investigación económica;
- optimización de la consideración y definición de cada concepto;
- optimización de las decisiones económicas en todos los niveles de la vida económica;
- uso de criterios de optimización al evaluar cualquier fenómeno económico.

Objetivos de la educación económica:
formación de las bases del pensamiento de optimización económica;
desarrollo de conocimientos económicos funcionales y capacidades para optimizar el autodesarrollo;
desarrollar habilidades prácticas para tomar decisiones óptimas en diversas situaciones económicas;

Objetivos de la educación económica:
desarrollar conocimientos, destrezas y habilidades necesarias para la optimización de la vida económica;
Desarrollar una cultura de pensamiento de optimización económica, enseñar a utilizar herramientas de optimización económica.

Los clásicos de la economía política reconocen el beneficio personal como criterio de optimización.
El neoclasicismo y los movimientos cercanos a él tampoco están en contra del egoísmo económico.

La teoría económica, con su énfasis en la optimización, acepta el interés propio como un caso especial (aunque común) de decisiones económicas en todos los niveles.

Al mismo tiempo, dicha ET permite en todos los niveles la optimización del beneficio colectivo, el beneficio primario de la mayoría (especialmente de todos) los participantes en cualquier nivel de la vida económica: familia (donde hay 2 o más miembros de la familia), local, regional. , estatal, interestatal, global...

Los diversos beneficios (privados y generales), como criterio de optimización, también son característicos de la naturaleza viva (http://ddarwin.narod.ru/), y también incluyen los beneficios de la supervivencia misma de cualquier sistema.

La teoría económica actualmente dominante (intensamente competitiva, “mercado”) justifica sólo los beneficios privados, a menudo haciendo la vista gorda ante los esfuerzos de los países y pueblos por lograr beneficios comunes (a veces inevitablemente en detrimento de los privados) en nombre de la existencia. sistemas economicos niveles diferentes. Empezando por pequeños asentamientos y familias individuales (por ejemplo, agricultores).

La ET como ciencia de optimizar la economía (gestión) en todos los niveles hasta el global permite una mayor exploración de la armonización de los intereses personales y comunes para la supervivencia de todas las entidades comerciales.

Varios aspectos de la optimización empresarial. grupos sociales practicado desde tiempos primitivos. Los procesos de optimización se han intensificado en los últimos milenios con la formación de estados, el surgimiento de grandes grupos poliétnicos en China y la India, Egipto y Sumer, en la inmensidad de Escitia y otras regiones. Sin diversas formas de optimización (una u otra coordinación de intereses, a menudo violenta), la vida económica es imposible.

La optimización está relacionada con la eficiencia y la eficiencia con la optimización. Esta conexión atraviesa todos los conceptos básicos, incluso de los ET aún dominantes.

Necesidades y beneficios económicos, utilidad.
Recursos económicos, sus tipos, limitaciones de recursos (y su uso óptimo).
Elección económica. Costos de oportunidad. El principio de aumento de los costes económicos. Curva de posibilidades de producción.
Concepto de eficiencia. Criterio de eficiencia y optimización de Pareto. Eficiencia de recursos y eficiencia asignativa.
Teoría positiva y normativa. Política económica. Sistemas economicos.
Sistema de mercado. Mercado. Competencia.
Demanda y precio. Función y curva de demanda. Factores de demanda. Ley de demanda. Beneficio para el consumidor. Demanda individual y de mercado.
Oferta y precio. Función y curva de oferta. Factores de oferta. Ley de oferta. Ganancia del fabricante.
Equilibrio de mercado de oferta y demanda. Precio de equilibrio. Déficits y superávits.
La influencia de los impuestos y subvenciones a los productos, la distribución de la carga fiscal.
Elasticidad precio de la demanda y sus propiedades. Elasticidad del arco.
Elasticidad cruzada. Elasticidad ingreso de la demanda. Elasticidad precio de la oferta.
Requisitos previos para analizar la elección del consumidor. Utilidad. Utilidad marginal.
Equilibrio del consumidor en la teoría cardinalista.
Preferencias del consumidor. Curvas de indiferencia.
Restricción presupuestaria. Posición de equilibrio del consumidor.
Cambios en la renta de los consumidores y los precios de los bienes. Efecto de sustitución. Efecto renta.
Bienes de orden inferior. Intercambiabilidad y complementariedad de bienes.
Producción. Factores de producción. Renta de factores.
El concepto de función de producción.
Producto total, medio y marginal.
Ley de la productividad marginal decreciente
Isocuanta y sus propiedades. Isocosta. Equilibrio del productor
Empresa: concepto, tipos.
Costos firmes. Costos fijos y variables.
Costos generales. Costos promedio.
Costos marginales.
Beneficio contable y económico.
Ingresos totales, medios y marginales de la empresa.
Diferentes tipos de estructuras de mercado.
Competencia perfecta
Equilibrio de una empresa competitiva en el corto plazo
Equilibrio de una empresa competitiva en el largo plazo
Monopolio puro. Determinación del precio y volumen de producción en condiciones de monopolio. Indicadores de poder de mercado. Consecuencias económicas del monopolio.
Competencia monopolística. Fijación de precios y volúmenes de producción en condiciones de competencia monopolística. Competencia sin precios. Diversificación del producto.
Oligopolio. Determinación del precio y volumen de producción en un oligopolio.
Mercados de factores de producción: trabajo, capital, tierra. Formación de demanda de factores de producción, su carácter derivativo.
Mercado de trabajo. Oferta y demanda en el mercado laboral.
Monopsonio y monopolio bilateral en el mercado laboral. El papel de los sindicatos. Salarios efectivos. Teoría capital humano. Invertir en educación.
Mercado capital. Capital físico y monetario. Capital e intereses de préstamos. Oferta y demanda de fondos prestados.
Tasa de interés en términos competencia perfecta. Tasas de interés reales y nominales. Tasa de interés de equilibrio.
Decisiones de inversión de las empresas. El principio de descuento. Evaluación de la efectividad de las inversiones.
Equilibrio parcial y general. Equilibrio general y eficiencia asignativa.
Criterios de eficiencia en una economía de mercado.
Criterio de eficiencia y óptimo de Pareto (y aquí).
Eficiencia y justicia social, óptimo social y económico. Principio de compensación (principio de Kaldor-Hicks).
"Fallas de mercado" Sistema de seguridad social.
Desigualdad, pobreza y discriminación. Distribuciones del ingreso. Curva de Lorenz. Coeficiente GINI.
Bienes públicos. Demanda y oferta de bienes públicos. Análisis comparativo de bienes públicos y privados.
Costos privados y sociales. Beneficios privados (internos) y sociales (externos). problema de mercado bienes públicos y el papel regulador del Estado.
Provisión de bienes públicos a través de instituciones políticas. Elección pública en democracia directa y representativa. Decisiones tomadas tras su aprobación. La mayoría gobierna. Cabildeo. Buscadores de rentas políticas.
Externalidades: externalidades positivas y negativas.
El problema de la internalización de los efectos externos. Política de Estado: impuestos correctivos y subsidios.
La teoría de los derechos de propiedad. Teorema de Coase. Costos de transacción. Mercado de derechos de propiedad.

Parece que no hay necesidad de demostrar a los economistas modernos que las perspectivas de optimización son el principal problema de la teoría económica moderna. Casi todos los especialistas piensan en optimizar la economía en todos los niveles.

La ET moderna simplemente debería justificar estos esfuerzos de los especialistas.

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

2. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA OPTIMIZACIÓN
2.1 Parámetros del plan
2.2 Función objetivo (plan)

3. FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
3.1 Definición de una función de una variable y sus propiedades.
3.2 Estudio de la función en economía. Encontrar el beneficio máximo
3.3 Definición de extremo global
3.4 Funciones convexas y cóncavas
3.5 Criterio de optimización
3.6 Identificación de óptimos

4. OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL
4.1 Métodos para eliminar intervalos.
4.1.1 Método de escaneo
4.1.2 Método de dividir un segmento por la mitad
4.1.3 Método de la proporción áurea
4.1.4 Características comparativas métodos de eliminación de intervalos
4.2 Métodos de aproximación polinomial y estimación puntual
4.2.1 Método de aproximación parabólica
4.2.2 Método de Puell
4.3 Comparación de métodos de búsqueda unidimensionales

5. FUNCIONES DE MUCHAS VARIABLES
5.1 Funciones de muchas variables, su designación y dominio de definición.
5.2 Algunas funciones multivariadas utilizadas en economía
5.3 Derivadas parciales de funciones multivariables
5.4 Significado económico de los derivados parciales
5.5 Derivadas parciales de orden superior
5.6 Propiedades de una función de varias variables
5.7 Derivada direccional. Degradado. Líneas de nivel de función
5.8 Extremo de una función de varias variables

6. OPTIMIZACIÓN DE GRADIENTE INCONDICIONAL MULTIDIMENSIONAL
6.1 Concepto de métodos
6.2 Método de descenso de gradiente
6.3 Método de descenso más pronunciado

7. CRITERIOS DE OPTIMALIDAD EN PROBLEMAS CON RESTRICCIONES
7.1 Problemas con restricciones en forma de igualdades
7.2 multiplicadores de Lagrange
7.3 Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange
7.4 Condiciones de Kuhn-Tucker
7.4.1 Condiciones de Kuhn-Tucker y el problema de Kuhn-Tucker
7.5 teoremas de Kuhn-Tucker
7.6 Condiciones para la existencia de un punto de silla

8. MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA
8.1 Tema de programación dinámica
8.2 Planteamiento del problema de programación dinámica
8.3 Principio de optimización y descripción matemática del proceso de control dinámico.
8.4 Esquema general de aplicación del método de programación dinámica
8.5 Modelo bidimensional de asignación de recursos
8.6 Modelo dinámico discreto de asignación óptima de recursos
8.7 Seleccionar la estrategia óptima de actualización de hardware
8.8 selección de la ruta óptima para el transporte de carga.
8.9 Construcción de una secuencia óptima de operaciones en actividades comerciales

NORMAS DE EJECUCIÓN Y REGISTRO DE CÁLCULO Y TAREA GRÁFICA

CÁLCULO Y TAREA GRÁFICA 1

CÁLCULO Y TAREA GRÁFICA 2

CÁLCULO Y TAREA GRÁFICA 3

LITERATURA

INTRODUCCIÓN

La matematización de diversos campos del conocimiento no es actualmente algo nuevo. Implementación generalizada Los métodos matemáticos en una amplia variedad de campos de actividad hoy ya no sorprenden a nadie. No se trata solo de las ciencias técnicas y económicas, donde estos métodos llevan mucho tiempo dando frutos, sino también de diversas ciencias de gestión aplicadas que ahora se están desarrollando: gestión, toma de decisiones de gestión, previsión socioeconómica, etc.

Las ciencias aplicadas se desarrollan a su manera, utilizando el aparato matemático existente para resolver problemas emergentes, e incluso con sus necesidades estimulan el desarrollo de ciertas ramas de las matemáticas.

Este manual está destinado a estudiantes de especialidades económicas que estudian métodos de optimización. Dado que se requiere un conocimiento mínimo de matemáticas superiores para dominar con éxito el material de este curso, el manual cubre estos puntos. El material va acompañado de las correspondientes aplicaciones económicas. Cuando las aplicaciones en economía son de interés independiente, se separan en secciones especiales.

El tutorial no reemplaza los existentes. material didáctico plan académico, que están dedicados a los aspectos matemáticos de los métodos computacionales. La tarea principal es familiarizarse con los métodos computacionales como herramienta para la resolución de problemas, para obtener una comprensión clara de la estructura lógica de los métodos presentados, así como sus ventajas y desventajas comparativas.

Al trabajar con el manual, el alumno primero se familiariza con el material teórico, luego estudia la parte práctica, que se encuentra inmediatamente después de la parte teórica en cada sección. Cada capítulo contiene preguntas de control sobre las cuales el estudiante puede ejercer el autocontrol. Posteriormente, el estudiante procede a completar el trabajo de prueba previsto por el programa. Entonces prueba enviado para revisión. Si el revisor descubre errores o identifica lagunas en el conocimiento, se recomienda volver a las secciones correspondientes y trabajar nuevamente en el material hasta su completa asimilación.

Un manual educativo y práctico para el sistema de educación a distancia en la disciplina "Métodos de optimización y teoría de control" está destinado al trabajo independiente de los estudiantes con una forma no estacionaria de control del conocimiento.

Como parte de la disciplina, los estudiantes realizan tres tareas de cálculo y gráficos durante un curso de estudio de cinco años, los estudiantes que estudian durante 3,5 años realizan dos tareas de cálculo y gráficos: la segunda y la tercera. La solución a problemas similares se analiza en las partes teórica y práctica del manual.

Después de completar el curso, los estudiantes realizan una prueba. Las preguntas para las pruebas se compilan sobre la base. preguntas de prueba indicado al final de cada sección del manual.

Capítulo 1. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

El término "optimización" tiene un uso muy amplio y, por tanto, puede depender del contexto. Óptimo (del latín óptimo - el mejor) - un conjunto de las condiciones más favorables; la mejor opción para resolver un problema o la forma de lograr una meta en determinadas condiciones y recursos. Óptimo económico en un sentido amplio, el funcionamiento más eficiente de la producción, en un sentido estricto, el mejor uso de los recursos materiales, que logra el máximo efecto de producción posible o los costos mínimos posibles.

Mejoramiento es el proceso de seleccionar la mejor opción o el proceso de llevar el sistema al mejor estado (óptimo), que consiste en encontrar todos los elementos o puntos de silla maximizadores o minimizadores. La optimización es el núcleo análisis Economico. En pasivo modelos económicos(como los que estudian el equilibrio general), nos interesa el comportamiento óptimo de quien toma las decisiones. En los modelos activos (como los modelos de crecimiento eficiente), a nosotros mismos nos interesa obtener el óptimo. En los últimos años ha habido una tendencia a pasar de modelos input-output a modelos analíticos. procesos de producción, desde los modelos de crecimiento más simples hasta modelos que estudian trayectorias de crecimiento óptimo y eficiente.

Métodos de optimización– Los métodos para buscar el extremo de una función (en problemas prácticos, criterios de optimización) con o sin restricciones se utilizan ampliamente en la práctica. Se trata, ante todo, de un diseño óptimo (selección de los mejores modos tecnológicos nominales, elementos estructurales, estructura de cadenas tecnológicas, condiciones actividad económica, aumento de la rentabilidad, etc.), gestión óptima de la construcción de modelos no matemáticos de objetos de control (minimizando las discrepancias entre las diversas estructuras del modelo y el objeto real) y muchos otros aspectos de la resolución de problemas económicos y sociales (por ejemplo, gestionar inventarios, recursos laborales, flujos de tráfico, etc.) d.).

Los métodos de optimización son una rama del modelado matemático.

Estos temas cubren una amplia gama de diferentes problemas de modelado matemático que surgen al estudiar objetos reales de producción industrial, problemas económicos, financieros y otros.

Modelo- Se trata de un objeto material o imaginado mentalmente que, en el proceso de investigación, reemplaza al objeto original, de modo que su estudio directo proporcione nuevos conocimientos sobre el objeto original.

Para utilizar resultados matemáticos y métodos numéricos de la teoría de optimización para resolver problemas específicos, es necesario:

· establecer los límites del sistema a optimizar;

· determinar un criterio cuantitativo a partir del cual sea posible analizar opciones para identificar las “mejores”;

· seleccionar variables intrasistema que se utilicen para determinar características e identificar opciones;

· construir un modelo que refleje las relaciones entre variables.

Esta secuencia de acciones constituye el contenido. proceso de formulación de problemas de optimización .

Veamos algunos de los que se encuentran en actividades practicas problemas de modelado matemático en una interpretación matemática significativa más que formal.

Problemas de asignación óptima de recursos. En términos generales, estas tareas se pueden describir de la siguiente manera. Hay una serie de recursos que pueden entenderse como dinero, recursos materiales (por ejemplo, materias primas, productos semiacabados, recursos laborales, diferentes tipos equipos, etcétera). Estos recursos deben distribuirse entre varios objetos de su uso durante períodos de tiempo separados o entre varios objetos de tal manera que se obtenga la máxima eficiencia total del método de distribución elegido. Un indicador de eficiencia puede servir, por ejemplo, ganancias, productos comercializables, productividad del capital (tareas de maximizar el criterio de optimización) o costos totales, costo, tiempo para completar una determinada cantidad de trabajo, etc. (problemas de minimizar el criterio de optimización).

Hay una cantidad inicial de fondos. P 0, que debe distribuirse en PAG años entre S empresas. Medio y ki (k = 1,..., n; i = 1,..., S), resaltado en km año i-ésimo empresa, generar ingresos por la cantidad f ki (u ki) y para fin de año regresan en cantidad j ki (u ki). En la distribución posterior, la renta puede participar (parcial o totalmente) o no participar.

Se requiere determinar dicho método de distribución de recursos (la cantidad de fondos asignados a cada empresa en cada año del plan) de modo que los ingresos totales de S empresas para PAG años fue el máximo. Por lo tanto, como indicador de la eficiencia del proceso de asignación de recursos para PAG años, el ingreso total recibido de S empresas:

Número de recursos al principio. kth años se caracterizarán por el valor Parte 1(parámetro de estado). Gestión en volumen k El paso es seleccionar variables. Reino Unido 1, Reino Unido 2,…, Reino Unido, indicando los recursos asignados a volumen k año i-ésimo a la empresa.

Si asumimos que el ingreso no participa en una distribución posterior, entonces la ecuación del estado del proceso tiene la forma

Si una parte de los ingresos participa en una distribución posterior en cualquier año, entonces el valor correspondiente se suma al lado derecho de la última igualdad.

Necesidad de determinar n s variables no negativas y ki, satisfaciendo las condiciones (2) y maximizando la función (1).

Gestión óptima de inventarios. La clase de problemas que consideran una gestión óptima de inventarios es una de las más complejas. Esto se debe a que en los problemas de gestión de inventarios el proceso se desarrolla naturalmente en el tiempo, y la gestión consiste en que una decisión en un período de tiempo determinado se toma teniendo en cuenta el estado al que llegó el sistema en períodos anteriores. Además, estos problemas están asociados, por regla general, a la naturaleza discreta de las variables y, por tanto, son bastante difíciles de resolver.

El problema de la gestión de inventarios es una de las áreas más importantes de la aplicación práctica de métodos económicos y matemáticos, incluidos los métodos de programación matemática.

Al formular problemas de gestión de inventarios, se utilizan los siguientes conceptos.

Reservas - Se trata de activos monetarios o materiales que se reponen periódicamente (producen, entregan, etc.) y se almacenan durante algún tiempo con el objetivo de gastarlos en períodos de tiempo posteriores. El nivel de inventario en cualquier momento está determinado por el nivel de inventario inicial más el reabastecimiento y menos el consumo durante el período de tiempo desde el momento inicial hasta el actual.

La gestión de inventarios en general consiste en influir en la relación entre dos factores principales: reposición y consumo. El objetivo de la gestión es optimizar algún criterio en función del coste de almacenamiento de inventario, coste de insumos, costes asociados a reposición, multas, etc.

En una formulación tan general, estos problemas pueden tener una amplia variedad de aplicaciones prácticas. Por ejemplo, el inventario puede entenderse como los productos de una empresa que se producen continuamente (reposición) y se envían a los consumidores en ciertos lotes discretos (consumo). En este caso, se supone que la demanda de productos está predeterminada (demanda determinista) o sujeta a fluctuaciones aleatorias (problema estocástico). La gestión de inventarios consiste en determinar el tamaño de la producción requerida para satisfacer una demanda determinada. El objetivo es minimizar los costes totales de almacenamiento y reposición de existencias.

Los inventarios pueden entenderse como existencias de materias primas u otros materiales suministrados en lotes discretos (reposición) que tienen como objetivo asegurar el consumo continuo durante el proceso productivo (gasto). El criterio de optimización pueden ser los costos totales de almacenar inventarios, congelar el capital de trabajo y suministrar inventarios.

El inventario puede ser bienes suministrados a una tienda en cantidades específicas y destinados a satisfacer la demanda continua, pero sujeta a fluctuaciones aleatorias de los clientes. El criterio de optimización son los costos totales de insumos, almacenamiento de inventarios y cambios en el ritmo de producción; relación con las variaciones de la demanda.

Los inventarios pueden ser productos de temporada, almacenado en un almacén de capacidad limitada. Los bienes se pueden comprar y vender en cantidades variables a precios que cambian con el tiempo. El problema consiste en determinar las políticas de compra y venta que aseguren el máximo beneficio total y es un ejemplo de problema de almacenamiento.

Problemas de reemplazo. Uno de los problemas económicos importantes con los que nos topamos en la práctica es determinar la estrategia óptima para sustituir máquinas, edificios de producción, unidades, máquinas, etc. viejos, es decir, equipos viejos por otros nuevos.

El envejecimiento del equipo incluye su desgaste físico y moral, como resultado de lo cual aumentan los costos de producción para producir productos en equipos viejos, aumentan los costos de reparación y mantenimiento y, al mismo tiempo, disminuyen la productividad y el llamado valor líquido.

Llega un momento en que es más rentable vender equipos viejos y reemplazarlos por equipos nuevos que operarlos con un gran costo. En este caso, el equipo se puede sustituir por equipos nuevos del mismo tipo o por equipos nuevos técnicamente más avanzados, teniendo en cuenta el progreso técnico.

La estrategia óptima para reemplazar equipos es determinar el momento óptimo de reemplazo. El criterio de optimización al determinar el momento del reemplazo puede ser el beneficio de operar el equipo, que debe maximizarse, o los costos operativos totales durante el período de tiempo considerado, que deben minimizarse.

Problemas de control óptimo. Normalmente, este tipo de problemas incluye tareas relacionadas con la búsqueda de una acción de control continua distribuida en el tiempo. En economía, se trata principalmente de problemas de previsión de tendencias de desarrollo, inversiones a largo plazo, etc. Por ejemplo, el problema de optimizar el fondo de consumo total, donde la cantidad de inversión en función del tiempo se considera como una influencia de control (el problema se puede formular con o sin tener en cuenta el rezago de la inversión), el problema de maximizar el consumo descontado, etc.

Todas las clases de problemas mencionadas (y su composición está lejos de ser completa) requieren el uso de métodos matemáticos especiales de programación lineal y no lineal, programación dinámica, el principio máximo y algunos otros para su solución. Una parte integral El trabajo computacional para resolver los problemas considerados puede incluir la resolución de ecuaciones no lineales y sus sistemas, el cálculo de integrales, la resolución de ecuaciones diferenciales, etc.

Existe una gran cantidad de métodos de optimización numérica. Los principales pueden ser clasificar de la siguiente manera:

· según la dimensión del problema a resolver: unidimensional y multidimensional;

Según el método de formación de pasos, los métodos multidimensionales se dividen en los siguientes tipos:

q gradiente:

o por el método de cálculo del gradiente: con muestra pareada y con muestra central;

o según el algoritmo de corrección de tono;

o según el algoritmo para calcular un nuevo punto: de un paso y de varios pasos;

q libre de gradientes: con cambios alternos de variables y con cambios simultáneos de variables;

q búsqueda aleatoria: con estrategia puramente aleatoria y con estrategia mixta;

· según la presencia de restricciones activas;

· sin restricciones (incondicional);

· con restricciones (condicional);

· con restricciones como la igualdad;

· con restricciones como las desigualdades;

· mezclado.

Los métodos de optimización unidimensionales son la base de algunos métodos "multidimensionales". En la optimización de gradiente multidimensional, se construye una secuencia de mejora dependiendo de la tasa de cambio del criterio en varias direcciones. En este caso, por secuencia de mejora nos referimos a la siguiente secuencia x 0, x 1,…, x i,…, en cada punto el valor del criterio de optimización es mejor que el anterior. En los métodos sin gradiente, la magnitud y dirección del paso hacia el óptimo al construir una secuencia de mejora se forma únicamente de acuerdo con ciertas funciones deterministas dependiendo de las propiedades del criterio de optimización en las proximidades del punto actual sin usar derivadas (es decir, gradiente ). Los métodos aleatorios se utilizan en problemas de alta dimensión. La optimización condicional multivariada tiene en cuenta restricciones activas expresadas como igualdades y desigualdades. En cada una de las áreas consideradas existe una gran cantidad de métodos que tienen sus propias ventajas y desventajas, que dependen, en primer lugar, de las propiedades de las funciones cuyo extremo se busca. Uno de los indicadores comparativos de la calidad de un método es el número de valores de función que deben calcularse para resolver un problema con un error determinado. Cuanto menor sea este número, más eficaz será el método, en igualdad de condiciones.

En problemas teóricos y matemáticos, se acostumbra considerar los problemas de optimización como problemas de encontrar el mínimo de una función. Incluso los métodos tienen un nombre común: métodos de descenso. Sin embargo, al resolver problemas prácticos reales, muy a menudo surgen problemas al máximo (por ejemplo, maximizar los ingresos, el volumen de producción, etc.). Por supuesto, es fácil pasar de un tipo de extremo a otro cambiando el signo del criterio de optimización, pero esto no siempre se hace en problemas aplicados no matemáticos, para no perder el hilo significativo del problema.

Preguntas para el Capítulo 1

1. ¿Por qué es necesario utilizar las matemáticas en economía?

2. ¿Qué es un modelo matemático?

3. ¿Cómo se construye un modelo matemático de un fenómeno y objeto económico? Dé un ejemplo de construcción de un modelo.

4. ¿Qué es la optimización?

5. ¿Qué métodos de optimización existen?

6. ¿Qué objetivos económicos¿Se resuelven mediante métodos de optimización?

Capítulo 2. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA OPTIMIZACIÓN

El término "mejoramiento" denota un proceso que permite obtener una solución refinada. Aunque el objetivo final de la optimización es encontrar la solución mejor u “óptima”, normalmente uno tiene que conformarse con mejorar las soluciones conocidas en lugar de perfeccionarlas. Por tanto, la optimización se entiende más bien como un deseo de perfección, que puede no alcanzarse.

Considerando algún sistema arbitrario descrito metro ecuaciones con norte desconocido, se pueden distinguir tres tipos principales de problemas:

· Si metro = norte, Eso h El problema se llama algebraico. Esta tarea suele tener única decisión;

· Si metro > norte, entonces la tarea se redefine, como regla, no tiene soluciones;

· Si metro< n , entonces el problema está subdeterminado, tiene infinitas soluciones.

En la práctica, lo más frecuente es que nos enfrentemos a problemas del tercer tipo.

Introduzcamos una serie de definiciones.

2.1. Opciones de planes

Definición. Opciones de planes– estos son parámetros variables independientes que determinan de forma completa y única el problema que se está resolviendo.

Se trata de cantidades desconocidas cuyos valores se calculan durante el proceso de optimización. Cualquier cantidad básica o derivada que sirva para describir cuantitativamente el sistema puede servir como parámetros de diseño.

Por ejemplo, Se pueden considerar como parámetros los valores de longitud, masa, tiempo y temperatura.

El número de parámetros de diseño caracteriza el grado de complejidad de un problema de diseño determinado.

Notación. Por lo general, el número de parámetros de diseño se denota por norte, x– los propios parámetros de diseño con los índices correspondientes

x 1, x 2, …, x n – n parámetros de diseño del problema.

2.2. Función objetivo (plan)

Definición. Función objetiva– una expresión cuyo valor nos esforzamos por hacer máximo o mínimo.

La función objetivo le permite comparar cuantitativamente dos soluciones alternativas. Desde un punto de vista matemático, la función objetivo describe algunos (n+1)-superficie dimensional.

1) Si solo hay un parámetro de diseño, entonces la función objetivo se puede representar mediante una curva en el plano (Fig. 1).

2) Si hay dos parámetros de diseño, entonces la función objetivo se representará como una superficie en un espacio tridimensional (Fig. 2).

Definición. Con tres o más parámetros de diseño, las superficies especificadas por la función objetivo se denominan hipersuperficies y no puede representarse por medios convencionales.

La función objetivo en varios casos se puede representar:

· función suave por partes;

· mesa;

· sólo valores enteros;

· dos valores – sí o no (función discreta).

Cualquiera que sea la forma en que se presente la función objetivo, debe ser una función inequívoca de los parámetros de diseño.

Varios problemas de optimización requieren la introducción de más de una función objetivo. En ocasiones uno de ellos puede ser incompatible con el otro. Un ejemplo es el diseño de aviones, donde se requieren simultáneamente máxima resistencia, mínimo peso y mínimo coste. En tales casos, el diseñador debe introducir un sistema de prioridades. El resultado es una "función de compensación" que permite el uso de una función objetivo compuesta durante el proceso de optimización.

Preguntas para el Capítulo 2

1. ¿Cuáles son los parámetros del plan?

2. Dé un ejemplo de parámetros del plan.

3. Definir la función objetivo.

4. ¿Cómo se representa la función objetivo?